Analisi Matematica l, Scritto 2-B. Durata della prova: 2 ore

(1)

Analisi Matematica l, Scritto 2-B. Durata della prova: 2 ore

^15.2.10 ^~>-<

Domanda 1 [3+2

punti]

(i) Dare la definizione di liin an=-00

n----7OO

(ii) Descrivere

il

comportamento della successione (nQ)nEN, al variare di a ER

Risposta

(i)

L..

^0\.••"\-:;, ~(t) ~~

1/ H ^E-fK "3

^kl,)

E- ^I~ !:. <:.

V\-l> -hO

O\.. \"', ~

M_---"lI_""-_?-'---,

^_t.-'\._~ ^_

(ii) _

Domanda 2 [3+2

punti]

(i) Dare la definizione di differenziabilità per

f :

JR2-} JRin (xa, Va)·

(ii) Scrivere l'equazione del piano tangente p(x, y) a f(:r, y)

=

e-12y

+

,xy2 in (0,3).

Risposta

'\.

(i)~

:-1) l't ~ J.-~ ^n.JL.~~

() (\JJ::~~:;: )

~ ....tbtL<l -l (q o)

~ Pl( ~l~ ^{2-(

^0,

^'J.] -+ 12-~( 0\ 1) .. (K- o) t (::.'J{'L 1) .( 'j -:1)

~ --::t: + ~. ^x:: -+ ^f).. f~ -y = =-::t:: =+ ::j PC

(2)

Esercizio 1

^{[3 punti]}

Sia I :~ -+ ~ derivabile. Allora quale delle seguenti affermazioni é

[alsa

~ I é

intcgrabilc in

[O,

e]

JM ^III ^é ^derivabilc ⁱⁿ

^~

^eccetto ^al ^più ^{un numero} finito eli punti.

o III

^é ^continua ^iu

x

=3

@] f

^{ha massimo} ^{in [0,1]}

Risoluzione

__ ~._'~~-~A _

Esercizio 2

[3 punti]

Per quale delle seguenti successioni (all.)nEN vale an rv

3

n per n

-+

+oo?

~

a

n =

3

n

/nl

~

a

n

=

^17,3

+

In(3nⁿ⁾ ^~ a.,1

=

^17,3

+ 3

n

Risoluzione

__ ~~_~_1~_~ __ <L~+~_~~~l~_-i ~~Or-~_-_b~~~ _

• JIA - )""\

Esercizio 3

^[3 punti]

La formula

1

¹

^f(x)f" ^(x) ^dx ^:::;

^O

-1

ove

I

E C2[-1, 1]

è

~ vera per ogni

f

o

^{vera se}

^I ^è

^pari

(Suggerimento: Utilizzare integmzione per parti}

Risoluzione

~ vera se

1'(-1) =

1'(1)

=

O

@]

^faI.'a ^{per ogni}

I

(3)

Esercizio 4

[4punti)

Calcolare

o 2x(sin(x) -ln(l

+

x)) - x³

11m ----'----,--;-:----'--

x-tO

sin(

x4) /V ~'f

Risoluzione

~h' ~

^k\tL

tv:.Lrt~ ~l~k hko ~ ^'tQ~~~

• '2...)(-

s~t~ -- ?x:. x.- ~

^-*O(lC²⁾ ^~ ^2....'J(~-

~'+

+0 )l't

Esercizio 5 0[4

punti)

Calcolare 1

^:3

_,

¹

_dx

2 x2 - 4x

+ 5

(~!J ~o t,;

fA

tre.-... ^{+-;: )}

(4)

Esercizio 6

[5 punti]

Studiare dominio

X,

zeri, limiti alla frontiera di

X,

estremi locali e concavità della funzione

f(x) ⁼x

·ln

²

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