Equazione di Schr¨ dinger in una dimensione

Equazione di Schr¨ dinger in una dimensione

• Per una particella su una retta ψ ⁰⁰ (x) + 2m

¯ h ² (E − V (x)) ψ(x) = 0

• per un potenziale centrale

u ⁰⁰ (r)+

à 2m

¯ h ² (E − V (r)) − l(l + 1) r ²

!

u(r) = 0

• la normalizzazione impone

Z _+∞

−∞ |ψ(x)| ² dx = 1 e

Z _+∞

0 |u(r)| ² dr = 1

Integrazione con il metodo di Eulero

L’equazione scalare del 2 ^o ordine y ⁰⁰ = f (x, y)

si pu` o trasformare in un’equazione vettoriale del 1 ^o ordine ponendo

y ₁ = y e y ₂ = y ⁰

L’equazione vettoriale ` e d

dx

à y y ⁰

!

= d dx

à y ₁ y ₂

!

=

à y ₁ ⁰ y ₂ ⁰

!

=

à y ⁰ y ⁰⁰

!

=

à y ₂ f (x, y ₁ )

!

Il metodo di Eulero diventa quindi

y ₁ (x + ∆) = y ₁ (x) + ∆ · y ₂ (x)

y ₂ (x + ∆) = y ₂ (x) + ∆ · f (x, y ₁ )

Normalizzabilit` a

Per le autofunzioni

Z

dV ψ ² = 1

Seleziono gli autovalori dal fatto che l’integrale sia finito

Costanti utili

m _e = 0.512M eV

m _p ≈ m _n = 938M eV

¯ hc = 197M eV · f m

Condizioni ai limiti

Per

x → ±∞ V (x) → 0 se V (x) va a zero abbastanza

rapidamente. L’equazione diventa quindi ψ ⁰⁰ (x) + 2m

¯ h ² Eψ(x) = 0

che per E < 0 ha una soluzione del tipo ψ(x) = A ₁ e ^kx + A ₂ e ^−kx

Per x → +∞ solo A ₁ = 0 d` a un’autofunzione, e per x → −∞ solo A ₂ = 0.

E _n sia un autovalore. ψ _E

e’ a quadrato

intergrabile ma per valori inferiori ψ _E diverge.

Per valori immediatamente superiori ψ _E intersecher` a l’asse reale una volta in piu’.

L’autovalore ` e quindi dato dal valore di E

immediatamente prima che ψ _E cambi segno

una volta di piu’.

Dettagli della soluzione

Posso allora prendere a x grande negativo

ψ(x) ∼ e ^kx e quindi la derivata ψ ⁰ (x) = kψ(x).

Il valore di ψ non ` e importante per gli autovalori e deve essere determinato dalla condizione

Z _+∞

−∞ |ψ(x)| ² dx = 1

Se integro da x grandi positivi verso x piccoli la soluzione giusta cresce com e ^kx : mi

conviene partire da x molto negativi integrando in avanti, e da x grandi positivi integrando

all’indietro.

Due esempi

• buca quadrata

• oscillatore armonico (ψ(x) ∼ e ^−αx

)

Buca quadrata

L’equazione agli autovalori ` e

− ¯ h ² 2m

d ² ψ

dx ² + V (x)ψ(x) = Eψ(x) Definendo

V (x) = ˜ 2m

¯ h ² V (x) E = ˜ 2m

¯ h ² E

k ⁰ =

s 2m(E + V ₀ )

¯ h ² k =

s 2m(E)

¯ h ²

le equazioni che determinano gli autovalori sono date da

k ⁰ tan(k ⁰ a) = k k ⁰ cot(k ⁰ a) = −k

Dal basso verso l’alto, aumentando l’energia,

il numero di nodi della funzione d’onda cresce

in corrispondenza degli autovalori, cosa che mi

consente di localizzarli. Parto da un certo va- lore della funzione d’onda molto lontano dalla buca imponendo un comportamento esponen- ziale, quindi integro verso e oltre il centro della buca: se ψ nono diverge ho trovato un autoval- ore e posso trovare anche l’autofunzione nor- malizzando la soluzione della mia equazione.

In pratica prendo x molto grande e scelgo un

arbitrario valore per ψ(x). se ψ(x) ∼ e ^−kx , al-

lora ψ(x − h) = e ^kh ψ(x) e l’integrazione pu` o a

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