1. Se Z `e una v.a. N (9, 9), trovare il numero t tale che P (Z > t) = 0.992.

Metodi Matematici e Statistici Prova scritta – 15/7/2008

1. Se Z `e una v.a. N (9, 9), trovare il numero t tale che P (Z > t) = 0.992.

t = 9 − 3q _0.992 = 9 − 3 · 2.41 = 1.77

2. Calcolare E [X ² + X] se X `e una v.a. discreta che assume i valori -4, 0, 4 con probabilit`a ¹ ₄ , ¹ ₂ , ¹ ₄ .

E £

X ² + X ¤

= 2 16

4 + 0 = 8.

3. Se X `e la v.a. dell’esercizio precedente, ed Y `e una N (0, 1) indipen- dente da X, quanto vale P (XY ≤ 1)?

= 1

4 P (−4 · Y ≤ 1) + 1

2 P (0 · Y ≤ 1) + 1

4 P (4 · Y ≤ 1)

= 1 4 P

µ

Y ≥ − 1 4

¶ + 1

2 + 1 4 P

µ Y ≤ 1

4

¶

= 1 4

µ 1 − Φ

µ

− 1 4

¶¶

+ 1 2 + 1

4 Φ µ 1

4

¶

= 1 2 Φ

µ 1 4

¶ + 1

2 = 1

2 · 0.5987 + 1

2 = 0.799.

4. Se X ed Y sono le v.a. dell’esercizio precedente, quanto vale E £ e ^X+Y ¤

?

= E £ e ^X ¤

E £ e ^Y ¤

= µ 1

4 e ⁻⁴ + 1 2 + 1

4 e ⁴

¶

e

= 23.336.

5. Se esaminiamo 1000 motorini (indipendenti), ciascuno con probabilit`a 0.1 di aver bisogno di una revisione al motore, che probabilit`a c’`e di trovarne meno di 120 che hanno bisogno di tale revisione?

P (X 1 + ... + X 1000 < 120) = P

µ X ₁ + ... + X ₁₀₀₀ − 1000 · 0.1

√ 1000 · 0.1 · 0.9 < 120 − 1000 · 0.1

√ 1000 · 0.1 · 0.9

¶

∼ Φ (2.108) = 0.9826.

1

6. Calcolare P

³

X − µ < ^{σq √} _n

´

dove X `e la media aritmetica di un campi- one di numerosit`a n estratto da una N (µ, σ ² ). Il numero β `e compreso tra 0 ed 1. A cosa pu`o servire questo calcolo? Soluzione:

P µ

X − µ < σq _β

√ n

¶

= P

µ X − µ σ

√ n < q _β

¶

= β

in quanto ^X−µ _σ √

n ∼ N (0, 1). Da qui si deduce che

µ > X − σq _β

√ n con probabilit`a β

che `e un intervallo di confidenza unilatero. Si pu`o anche vedere un legame con una carta di controllo unilatera. Pi`u indirettamente, lo si pu`o ricollegare anche all’errore di prima specie nei test unilaterali.

2

1. Un campione sperimentale gaussiano di numerosit`a 20 ha prodotto i valori x = 35.2, S = 2.5. Cerchiamo una stima della media al 95%.

Che precisione abbiamo?

2.5 · 2.093

√ 20 = 1.17.

2. Se, relativamente all’esercizio precedente non siamo soddisfatti della precisione e la vogliamo raddoppiare (dimezzare l’errore assoluto), quanti ulteriori esperimenti dobbiamo fare? Soluzione: Vogliamo un errore pari a

1

2 · 2.5 · 2.093

√ 20 = 2.5 · 2.093

√ 4 · 20

quindi la numerosit`a dev’essere 80 (4 volte la precedente), quindi ser- vono in pi`u 60 prove.

60.

3. La temperatura media di una certa macchina, che lavora a ciclo con- tinuo, deve mantenersi sotto i 70 gradi. La temperatura fluttua un po’, con una deviazione standard di 3 gradi. Sappiamo per certo che la temperatura media non diminuisce mai, ma se insorgono dei difetti in un congegno, potrebbe aumentare. Un certo giorno, dieci misurazioni in momenti diversi forniscono un valore medio aritmetico pari a 73 gradi. Fino a quali valori di significativit`a potremmo affermare che sono insorti dei difetti?

p = 1 − Φ

µ 73 − 70 3

√ 10 = 3. 162 3

¶

= 1 − 0.9992 = 0.0008.

4. Il 20% di chi vede una certa pubblicit`a acquista un certo prodotto nuovo; tra coloro che non l’hanno vista, solo il 3% lo acquista. Viene svolta una campagna pubblicitaria che si ritiene raggiunga il 60% della popolazione. Che probabilit`a c’`e che una persona scelta a caso compri quel nuovo prodotto?

P (A) = P (A|pubbl) P (pubbl) + P (A|non pubbl) P (non pubbl)

= 0.2 · 0.6 + 0.03 · 0.4 = 0.132.

3

5. La nostra ditta fornisce semilavorati a dieci aziende, di dimensioni sim- ili tra loro. Il numero di semilavorati richiesti durante un anno da ciascuna azienda non `e noto all’inizio dell’anno. Abbiamo registrato le richieste annuali delle dieci aziende per 3 anni. Che previsione possiamo fare delle richieste relative al prossimo anno? Ci interessa una previsione circa il numero minimo di semilavorati richiesti da una generica azienda, per capire il livello minimo di guadagno che possi- amo aspettarci. Soluzione: I dati a nostra disposizione sono 30 valori x ₁ , ..., x ₃₀ , le richieste annuali delle 10 aziende nei tra anni precedenti.

Con essi stimiamo media e deviazione standard della v.a. X = richiesta annuale di un’azienda di quel tipo. Coi valori stimati x ed S, possiamo calcolare il numero λ tale che P (X > λ) = 0.90 (0.90 `e scelto a titolo di esempio). Tale numero λ `e la richiesta minima che ci aspettiamo, al 90%. Se come media prendiamo x, troviamo λ = x − S · q _0.9 . Se invece riteniamo x suscettibile di essere sbagliato, prendiamo il valore cautelativo x − ^{S·q √}

₃₀ (se, a titolo di esempio, decidiamo di lavorare con confidenza 95% sulla stima della media). In questo caso quindi

λ = x − S · q _0.975

√ 30 − S · q _0.9 .

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