Calcolo delle Probabilit` a 2014/15 – Programma d’esame
Il programma svolto nel corso `e descritto dettagliatamente nel registro delle lezioni, disponibile in rete all’indirizzo:
http://www.matapp.unimib.it/~fcaraven/did1415/cp/index.html Per la prova orale `e richiesta la conoscenza di tutte le definizioni e gli enunciati visti nel corso. `E richiesta inoltre la conoscenza delle seguenti dimostrazioni :
• Continuit`a dal basso e dall’alto della probabilit`a e relazioni con la σ-additivit`a.
Subadditivit`a finita e numerabile della probabilit`a [01-02/10].
• Teorema di equivalenza per l’indipendenza di n eventi (fattorizzazione per sottofamiglie finite o per i complementari) [14/10].
• L’indipendenza di σ-algebre `e equivalente all’indipendenza di basi [10/11].
• Somma di v.a. di Bernoulli indipendenti (con lo stesso p) `e binomiale; somma di binomiali indipendenti (con lo stesso p) `e binomiale [11/11].
• Disuguaglianze di Markov e Chebyschev [18-20/11].
• Il processo di Poisson: dati 0 < s < t, le variabili aleatorie Nt− Ns e Ns sono indipendenti e hanno distribuzione di Poisson [4-9/12].
• Relazioni tra le nozioni di convergenza per v.a. reali:
– Le convergenze q.c. e in Lp implicano quella in probabilit`a [10/12]; la convergenza in probabilit`a implica quella in legge [16/12].
– Viceversa parziali: la convergenza in probabilit`a implica quella q.c. lungo una sottosuccessione; la convergenza in probabilit`a con dominazione in Lp implica la convergenza in Lp [10/12]; la convergenza in legge implica quella in probabilit`a se il limite `e q.c. costante [17/12].
– Controesempi: successione che converge in legge ma non in probabilit`a;
in probabilit`a ma non q.c. n´e in Lp; q.c. ma non in Lp; in Lp ma non q.c.
[10-17/12].
• Lemma di Borel-Cantelli [9-10/12].
• Leggi debole e forte dei grandi numeri per v.a. reali in L2 scorrelate [11/12].
• Legge 0-1 di Kolmogorov [16/12].
• Legame tra convergenza in legge e convergenza puntuale delle funzioni di ripartizione continua [17-18/12].
• Unicit`a del limite debole di successioni di probabilit`a [17/12].
• Teorema limite centrale mediante il principio di Lindeberg [18/12].
• Catene di Markov:
– La passeggiata aleatoria semplice su Z `e (irriducibile e) ricorrente nel caso simmetrico, transitoria nel caso asimmetrico [14/01].
– Condizioni equivalenti per la relazione i → j; gli stati di una classe di comunicazione sono tutti transitori o tutti ricorrenti [14/01].
– Ogni classe di comunicazione ricorrente `e chiusa [14/01]; ogni classe di comunicazione chiusa e finita `e ricorrente [15/01].
