Calcolo delle Probabilit`a 2012/13 – Programma d’esame Il programma svolto nel corso `e descritto dettagliatamente nel registro delle lezioni, disponibile in rete all’indirizzo:

Calcolo delle Probabilit` a 2012/13 – Programma d’esame

Il programma svolto nel corso `e descritto dettagliatamente nel registro delle lezioni, disponibile in rete all’indirizzo:

http://www.matapp.unimib.it/~fcaraven/did1213/cp/index.html Per la prova orale `e richiesta la conoscenza di tutte le definizioni e gli enunciati di teoria visti nel corso. `E richiesta inoltre la conoscenza delle seguenti dimostrazioni :

• Continuit`a dal basso e dall’alto della probabilit`a e relazioni con la σ-additivit`a.

Subadditivit`a finita e numerabile della probabilit`a [03/10].

• Propriet`a della funzione di ripartizione di una v.a. reale [05/11].

• L’indipendenza di due σ-algebre `e equivalente all’indipendenza di due loro basi [13/11].

• Densit`a della somma di due v.a. reali X, Y tali che il vettore (X, Y ) sia assolutamente continuo. Il caso di v.a. indipendenti [15/11].

• Somma di v.a. binomiali indipendenti con lo stesso p `e binomiale [22/11].

• Somma di v.a. Gamma indipendenti con lo stesso λ `e Gamma [28/11].

• Disuguaglianze di Markov e Chebyschev. Legge debole dei grandi numeri per v.a. reali in L² scorrelate [05/12].

• Il teorema di approssimazione di Weierstrass [05/12].

• Legge forte dei grandi numeri per v.a. reali in L² scorrelate [06/12].

• Relazioni tra le varie nozioni di convergenza per v.a. reali:

– Le convergenze q.c. e in L^p implicano quella in probabilit`a [11/12].

– Viceversa parziali: la convergenza in probabilit`a implica quella q.c. lungo una sottosuccessione; la convergenza in probabilit`a con dominazione in L^p implica la convergenza in L^p [12/12].

– La convergenza in probabilit`a implica quella in legge; vale il viceversa se il limite `e q.c. costante [18/12].

• Lemma di Borel-Cantelli [12/12].

• La convergenza Zn → Z in legge implica la convergenza delle funzioni di ripartizione FZn(t) → FZ(t) in ogni t ∈ R in cui F^Z `e continua [19/12].

• Legge 0-1 di Kolmogorov [17/12].

• Unicit`a del limite debole di successioni di probabilit`a [18/12].

• Teorema limite centrale (compresi i due lemmi preparatori) [20/12].

• Catene di Markov:

– Se uno stato i ∈ E `e ricorrente e i → j, allora f_ji := P_j(τ⁽ⁱ⁾ < ∞) = 1.

– Ogni classe di comunicazione ricorrente `e chiusa.

– Ogni classe di comunicazione chiusa e finita `e ricorrente.