Calcolo delle Probabilit`a 2013/14 – Programma d’esame Il programma svolto nel corso `e descritto dettagliatamente nel registro delle lezioni, disponibile in rete all’indirizzo:

Calcolo delle Probabilit` a 2013/14 – Programma d’esame

Il programma svolto nel corso `e descritto dettagliatamente nel registro delle lezioni, disponibile in rete all’indirizzo:

http://www.matapp.unimib.it/~fcaraven/did1314/cp/index.html Per la prova orale `e richiesta la conoscenza di tutte le definizioni e gli enunciati visti nel corso. `E richiesta inoltre la conoscenza delle seguenti dimostrazioni :

• Continuit`a dal basso e dall’alto della probabilit`a e relazioni con la σ-additivit`a.

Subadditivit`a finita e numerabile della probabilit`a [03/10].

• L’indipendenza di σ-algebre `e equivalente all’indipendenza di basi [13/11].

• Propriet`a caratterizzanti della funzione di ripartizione [24/10].

• Somma di v.a. binomiali indipendenti con lo stesso p `e binomiale [26/11].

• Disuguaglianze di Markov e Chebyschev [20/11].

• Legge debole dei grandi numeri per v.a. reali in L² scorrelate [03/12].

• Il teorema di approssimazione di Weierstrass [04/12].

• Legge forte dei grandi numeri per v.a. reali in L² scorrelate [05/12].

• Relazioni tra le varie nozioni di convergenza per v.a. reali:

– Le convergenze q.c. e in L^p implicano quella in probabilit`a [10/12].

– Viceversa parziali: la convergenza in probabilit`a implica quella q.c. lungo una sottosuccessione; la convergenza in probabilit`a con dominazione in L^p implica la convergenza in L^p [11/12].

– La convergenza in probabilit`a implica quella in legge; vale il viceversa se il limite `e q.c. costante [17/12].

• Lemma di Borel-Cantelli [10/12].

• Legge 0-1 di Kolmogorov [12/12].

• La convergenza Z_n → Z in legge implica la convergenza delle funzioni di ripartizione F_Zn(t) → F_Z(t) in ogni t ∈ R in cui FZ `e continua [17/12].

• Unicit`a del limite debole di successioni di probabilit`a [17/12].

• Teorema limite centrale mediante il principio di Lindeberg (compresi i due lemmi preparatori) [19/12-07/01].

• Catene di Markov:

– Condizioni equivalenti per la relazione i → j; gli stati di una classe di comunicazione sono tutti transitori o tutti ricorrenti; se uno stato i ∈ E

`

e ricorrente e i → j, allora f_ji:= P_j(τ⁽ⁱ⁾ < ∞) = 1 [16/01].

– Ogni classe di comunicazione ricorrente `e chiusa; ogni classe di comuni- cazione chiusa e finita `e ricorrente [17/01].

– La passeggiata aleatoria semplice su Z `e (irriducibile e) ricorrente nel caso simmetrico, transitoria nel caso asimmetrico [17/01].

– Una catena di Markov irriducibile ricorrente ammette una misura inva- riante esplicita [22/01].