lim() y x = 0 ∫

A.Angeletti

1 UN ESEMPIO DI CALCOLO: L'OSCILLATORE ARMONICO

Formalismo di Schrödinger

L'Hamiltoniana classica per l'oscillatore armonico è data da:

2 2 2

x 2 m 1 m 2

H = p + ω

Quantisticamente

dx i d

p → − ℏ da cui

2 2 2

2

x 2 m 1 dx

d m

H = − 2 ℏ + ω

L'equazione di Schrödinger

ψ

= ψ E H diventa quindi:

ψ

= ψ ω ψ +

− m x E

2 1 dx d m 2

2 2 2

ℏ

2

ossia

′′ + − =

ψ 2 ψ ω ψ

2

0

2 2 2 2

mE m x

h h

e posto 2 mE

₂

k

ℏ

= e

ℏ

= ω

α m

si ha un'equazione differenziale del secondo ordine, omogenea, a coefficienti non costanti:

(*) ψ′′ + k

²

ψ − α

²

x

²

ψ = 0 .

Per la soluzione dell'equazione (*) cerchiamo prima la soluzione asintotica, cioè la soluzione per x → ∞ . In questo caso l'equazione diventa:

(**) ψ′′ − α

²

x

²

ψ = 0

e la soluzione deve essere del tipo ψ ( x ) = e

^−γx2

. Inoltre, poiché le soluzioni dell'equazione di Schrödinger sono funzioni che devono soddisfare la condizione di normalizzazione

∫

₋^+∞_∞

^{ψ ( x )}

²

^{dx = 1 ,}

deve essere γ > 0 in quanto deve essere

x

→∞

x =

lim ψ ( ) 0 . Si ha:

x2

xe 2 ) x

( = − γ

^−γ

ψ′

2 2

2

2 2 x 2 2 x x

x

2 x 2 e 4 x e 2 e

e 2 ) x

(

^{−γ −γ}

 = γ

^−γ

− γ

^−γ



 



 − γ

γ

−

= ψ ′′

Per x → ∞ in ψ ′′ ( x ) prevale il termine 4 γ

²

x

²

e

^−γx2

quindi, sostituendo in (**) deve essere:

0 e

x e

x

4 γ

^{2 2 −γx2}

− α

^{2 2 −γx2}

= da cui segue 2

= α γ . La soluzione di (*) deve quindi scriversi nella forma:

x2

e

2

) x ( ) x (

−α

χ

=

ψ .

Per quanto detto sopra sull'andamento all'infinito della soluzione, χ ( x ) può anche divergere, ma meno rapidamente di

x2

e

2 α

. Derivando si ha:

2

2 x

x 2

2

x ( x ) e e

) x ( ) x (

−α

−α

χ α

− χ′

=

ψ′

A.Angeletti

2

[ ]

²

2 2

2 2

2

2 x 2

2

2 x 2

x 2 x 2

x 2 x 2

2

e ) x ( ) x ( x 2 ) x (

e ) x ( x e

) x ( x e

) x ( e

) x ( x e

) x ( ) x (

−α

−α

−α

−α

−α

−α

α

− α + χ′

α

− χ′′

=

= χ

α + χ′

α

− αχ

− χ′

α

− χ′′

= ψ′′

Sostituendo nella (*) si ha

[ ^{χ′′ ( x ) − 2 α x χ′ ( x ) + ( α}

²

^x

²

^{− α ) χ ( x )} ] ^e

^−2αx2

^{+ ( k}

²

^{− α}

²

^x

²

^{) χ ( x ) e}

^−2αx2

^{= 0}

da cui segue

(***) χ ′′ − 2 α x χ′ + ( k

²

− α ) χ = 0

(per snellire le scritture si è omessa la dipendenza da x ). Dell'equazione (***) cerchiamo una soluzione per serie, cioè una soluzione della forma:

∑

^∞

=

= χ

0 n

n x n

c )

x

( .

Derivando si ha:

∑

^∞

=

=

−

χ′

1 n

1 n x n

nc )

x

( e ∑

^∞

=

−

−

= χ′′

2 n

2 n x n

c ) 1 n ( n )

x (

e sostituendo nella (***) si ottiene:

0 x c ) k ( x nc 2

x c ) 1 n ( n

0 n

n n 2

1 n

n n 2

n

2

n n − α + − α =

− ∑ ∑

∑

^∞

=

∞

=

∞

=

−

.

Riaggiustando gli indici si ottiene:

0 x c ) k ( x nc 2

x c ) 1 n ( ) 2 n (

0 n

n n 2

0 n

n n 0

n

2 n

n − α + − α =

+

+ ∑ ∑

∑

^∞

=

∞

=

∞

=

+

da cui

[ ^{( n 2 ) ( n 1 ) c 2 nc ( k ) c} ] ^{x n 0}

0 n

2 n n 2

n − α + − α =

+

∑

^∞

+

=

+

.

Affinché la somma sia identicamente nulla per ogni valore di x deve essere

( n + 2 ) ( n + 1 ) c

_n+2

− 2 α nc

_n

+ ( k

²

− α ) c

_n

= 0

ovvero:

(****)

_n

2 2

n

c

) 1 n ( ) 2 n (

k ) 1 n 2 c (

+ +

− +

= α

+

.

Una volta che siano assegnati i valori di c

₀

e c

₁

la serie risulta completamente determinata.

Per la simmetria di H la funzione ψ o è pari o è dispari, per cui deve essere:

o c

₀

= 0 ^e c

₁

≠ 0 se la funzione è dispari o c

₀

≠ 0 e c

₁

= 0 se la funzione è pari.

Ricordiamo inoltre che la serie deve potersi risommare in modo che la funzione diverga meno rapidamente di

x2

e

2 α

. Per valutare ciò analizziamo il rapporto n

2 n

c c

₊

per n grande. Si ha

n 2 c c

n 2

n

⁺

≈ α .

Sviluppando in serie e

^α

^x

²

si ha:

( ) ∑ ∑ ( )

∑

^∞

=

∞

=

∞

=

α

= α = α = α

2 , 0 n

n 2 n 0

n

n 2 n 0

n

2 n x

! 2 n

x

! n

x

! n e

²

x

L'ultima somma è stata ottenuta riaggiustando gli indici dopo aver osservato che le potenze di x sono tutte

pari (la funzione è pari). La scrittura n = 0,2 significa che n è un numero pari. Per questa serie si ha:

A.Angeletti

3

( ^{n 2 2} )

2 1 n 2 n

2 2 c n

c

2 n 2

2 n

n 2

n !

! ⁺

= α

 

 



 +

= α α

 

 





⋅

 

 



 +

= α

+ +

e per n grande

n 2 c c

n 2

n

⁺

≈ α . Quindi la serie, all'infinito, si comporta come e

^α

^x

²

e ciò contraddice l'ipotesi

che non potesse divergere più rapidamente di

x2

e

2 α

. La funzione χ( x ) non può quindi essere ottenuta come somma della serie, può però essere espressa mediante un polinomio in quanto nei coefficienti è ancora presente un parametro libero, k. Deve quindi esistere un indice s per il quale c

_s+2

= 0 con c

_s

≠ 0 . Per la (****) si ha: α ( ^{2 s} + ¹ ) − ^k

²

= ⁰ da cui segue:

( ^{2 s 1} )

k

k

²

=

_s²

= α + ma 2 mE

₂

k ℏ

= e

ℏ

= ω

α m

e quindi 2 mE m ( 2 s 1 )

2 2

s

= ω +

ℏ

ℏ e quindi

 

 



 + ω

= 2

s 1

E

_s

ℏ con s ∈Ν.

Questo risultato indica chiaramente che l'energia dell'oscillatore armonico è quantizzata e che il valore minimo possibile è dato da = ℏ ω

2

E ₀ 1 . Questo valore minimo è conforme al principio di indeterminazione.

Esplicitando k , i polinomi in questione sono polinomi di grado s i cui coefficienti sono dati da:

n 2 n

n c

) 1 n ( ) 2 n (

) s n ( c 2

) 1 n ( ) 2 n (

) 1 s 2 ( ) 1 n 2

c ( α

+ +

= − +

+

+ α

− +

= α

+

Costruiamo alcuni di questi polinomi:

0 0 ( x ) = c χ

x c c ) x

( _{0 1}

1 = +

χ

2 2 1 0

2 ( x ) = c + c x + c x χ

3 3 2 2 1 0

3 ( x ) = c + c x + c x + c x χ

4 4 3 3 2 2 1

4

( x ) = c

0

+ c x + c x + c x + c x χ

Determiniamo alcuni polinomi di grado pari, dovendo essere c

₀

≠ 0 ^e c

₁

= 0 ^{si ha:}

0 0

( x ) = c χ

2 2 0 2

( x ) = c + c x

χ ma

₂

c

₀

2 c

₀

2 ) 2 0 ( c 2 0 n 2

s = ⇒ = ⇒ = − α = − α e quindi

(

²

)

0

2

( x ) = c 1 − 2 α x χ

4 4 2 2

4

( x ) = c

0

+ c x + c x

χ ma

 



 



α

= α

− α

−

=

⋅ α

= −

= ⇒

α

−

=

− α

=

= ⇒

= ⇒

2 0 0 2

4

0 0

2

3 c c 4 ) 4 3 ( c 1 4 3

) 4 2 ( c 2 2 n

c 4 2 c

) 4 0 ( c 2 0 n 4

s e quindi

 

 



 − α + α

=

χ

_{4 0} ^{2 2}

x

⁴

3 x 4 4 1 c ) x (

Determiniamo ora alcuni di quelli di grado dispari, essendo c

₀

= 0 e c

₁

≠ 0 , si ha:

x c ) x

(

₁

1

=

χ

3 3 1 3

( x ) = c x + c x

χ ma

_{3 1}

c

₁

3 c 2 3 2

) 3 1 ( c 2 1 n 3

s α = − α

⋅

= −

= ⇒

= ⇒ e quindi

 

 



 − α

=

χ

_{3 1}

x

²

3 1 2 x c ) x

( .

Questi polinomi erano noti ai matematici in quanto sono un caso dei polinomi di Hermite (1822-1901) che in

generale si scrivono:

A.Angeletti

4

2

2 t

n t n

n n

e

dt e d ) 1 ( ) t (

H = −

⁻

che nel nostro caso sono (posto t = α x ):

2

2 x

n x n n

n

e

dx e d ) 1

x (

H 

^{α −α}



 





− α

= e quindi:

1 e

e ) x (

H

₀

=

^{αx2 −αx2}

=

( ^{2 x} ) ^{e 2 x}

1 e dx e

e d ) 1

x (

H

₁ ^{x2 x2 x2}

− α

^x2

= α

− α

 =



 





− α

=

^{α −α α −α}

( )

) 1 x 2 ( 2

e x 2 e

2 1 e

xe dx 2

e d e 1

dx d dx e d ) 1

x ( H

2

x 2 x

x x

x x

2 x 2

2 2

2 2

2 2

2

− α

=

=

 

 



 − α

α α −

=

 

 



 − α

= α

 

 





 



 



− α

=

^{α −α α −α α −α −α}

 

 



 − α

−

= ²

3 x

3 1 2 x 12 ) x ( H

Si nota quindi che sono gli stessi a meno di costanti moltiplicative, la soluzione di (***) può quindi essere scritta nella forma

( ) ^x

H N ) x

( _{n n}

n =

χ

dove N

_n

sono delle opportune costanti. Le funzioni d'onda sono quindi date:

( ) ^{2 x}

²

n n n ( x ) N H x e

−α

= ψ Le costanti N

_n

si determinano dalla relazione

∫

₋^+∞_∞

^{ψ ( x ) 2 dx = 1 ,}

si ottiene:

! n 2

1 ) m

1 (

N n 4 n

n ⋅

π

− ω

= ℏ

Fig.1 - I grafici rappresentano, nell'ordine da sinistra a destra e dall'alto in basso, le funzioni d'onda dell'oscillatore armonico ψ ₀ ( ) ^x , ψ ₁ ( ) ^x ,

( ) ^x

ψ 2 , ψ ₃ ( ) ^x , ψ ₈ ( ) ^x , ψ

₉

( ) ^x corri- spondenti agli autovalori dell'energia:

E

₀

, E

₁

, E

₂

, E

₃

, E

₈

, E

₉

.