Una parametrizzazione della curva di sostegno {(x, y) 2 R2 | x2+ y42 = 1, x 0, y 0} `e data da '(t

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(1)

Risoluzione

1. Abbiamo che la curva '(t) = (tp 3, t2), t 2 [ 1, 1] `e di classe C1 con '0(t) = (3t2, 2t) e quindik'0(t)k = 9t4+ 4t2=|t|p

9t2+ 4. Otteniamo allora Z

x x3ds = Z 1

1

(t3 t9)|t|p

9t2+ 4 dt = 0

essendo l’integranda funzione dispari e l’intervallo d’integrazione simmetrico rispetto all’origine. Al risul- tato potevamo arrivare subito osservando che la curva risulta simmetrica rispetto all’asse y e l’integranda antisimmetrica rispetto a tale asse.

2. Una parametrizzazione della curva di sostegno {(x, y) 2 R2 | x2+ y42 = 1, x 0, y 0} `e data da '(t) = (cos t, 2 sin t), t2 [0,2]. Si ha che k'0(t)k =p

1 + 3 cos2t e quindi Z

xy ds = Z 2

0

2 sin t cos tp

1 + 3 cos2t dt = 13 Z 2

0

6 sin t cos tp

1 + 3 cos2t dt

= 13h

2

3(1 + 3 cos2t)32i2

0 =149

3. La curva con sostegno la frontiera di D = {(x, y) | x42 + y2  1, x p

2} `e unione delle curve 1 con sostegno l’arco di ellisse{(x, y) | x42+ y2= 1, x p

2} e 2con sostegno il segmento{(p

2, y)| |y|  p22}.

Dalla propriet`a di additivit`a dell’integrale abbiamo allora che Z

2x ds = Z

1

2x ds + Z

2

2x ds

Una parametrizzazione della curva 1`e '1(t) = (2 cos t, sin t), t2 [ 4,4], mentre una parametrizzazione di 2`e data '2(t) = (p

2, t), t2 [ p22,p22]. Otteniamo allora che Z

2x ds = Z

1

2x ds + Z

2

2x ds = Z 4

4

4 cos tp

3 sin2t + 1 dt + Z p22

p2 2

2p 2 dt

=p43 Z 4

4

p3 cos t q

(p

3 sin t)2+ 1 dt + 4

=p23hp

3 sin tp

3 sin2t + 1 + log(p

3 sin t +p

3 sin2t + 1)i4

4

+ 4

= 2p 2

q5 2+p23

log(p26+ q5

2) log( p26+ q5

2)

+ 4

= 2p

2 + p23(log(p 10 +p

6) log(p 10 p

6)) + 4

4. Dato che '(t) = (cos t, sin t, 2t), t 2 [0,2], abbiamo '0(t) = ( sin t, cos t, 2) e dunque k'0(t)k = p 5.

Otteniamo allora Z

xy2ds = Z 2

0

cos t sin2tp

5 dt =p35 sin3t2

0 =p35

5. Una parametrizzazione della curva `e data da '(✓) = (1 + cos ✓, sin ✓, 3 + 2 cos ✓), ✓2 [0, ⇡]. Osservato che '0(✓) =p

1 + 4 sin2✓ abbiamo Z

3x z ds = Z

0

cos ✓p

1 + 4 sin2✓ d✓ = 12 Z

0

2 cos ✓p

1 + (2 sin ✓)2d✓

=14h

2 sin ✓p

1 + 4 sin2✓ + log(2 sin ✓ +p

1 + 4 sin2✓)i 0 = 0 69

(2)

6. Una parametrizzazione della curva avente per sostegno l’intersezione del cilindro x2+ y2 = 1 con z = 2x2+ y2 nella regione x 0, z 32 `e data da '(✓) = (cos ✓, sin ✓, cos2✓ + 1), ✓2 [ 4,4]. Osserviamo

infatti che 8

><

>:

x2+ y2= 1 z = 2x2+ y2 x 0, z 32

, 8>

<

>:

x2+ y2= 1 z = x2+ 1 x 0, z 32

e quindi, utilizzando le coordinate polari per parametrizzare la circonferenza x2+ y2= 1, otteniamo 8>

<

>:

x = cos ✓ y = sin ✓ z = 1 + cos2

e dalla limitazione x = cos ✓ 0 e z = 1 + cos2 32, otteniamo ✓ 2 [ 4,4]. Dato che k'0(✓)k = p1 + 4 cos2✓ sin2✓ abbiamo

Z

x2 y2ds = Z 4

4

(cos2 sin2✓)p

1 + 4 cos2✓ sin2✓ d✓

=12 Z 4

4

2 cos(2✓) q

1 + sin2(2✓) d✓

=14

sin(2✓)

q

1 + sin2(2✓) + log(sin(2✓) + q

1 + sin2(2✓))

4

4

=14(2p

2 + log(p

2 + 1) log(p 2 1))

7. Una parametrizzazione della curva avente per sostegno l’intersezione delle superfici y =p 3x2ep

3z = 2xy nella regione 0 z  16, `e data da

' : 8>

<

>: x = t y =p

3t2 z = p23t·p

3t2= 2t3

dove t 2 [0, 2] poich´e per tali valori risulta 0  z = 2t3  16. Dato che k'0(t)k = p

1 + 12t2+ 36t2 = 6t2+ 1 otteniamo

Z

x ds = Z 2

0

t(6t2+ 1) dt = Z 2

0

6t3+ t dt =3

2t4+12t22 0= 26

8. Per la cicloide '(t) = (r(t sin t), r(1 cos t)), t 2 [0, 2⇡], abbiamo che k'0(t)k = 2r sin2t per ogni t2 [0, 2⇡] e quindi

L( ) = Z

ds = Z 2⇡

0

2r sint2dt = 8r ne segue che il baricentro ha coordinate

xB= 8r1 Z

x ds = 8r1 Z 2⇡

0

r(t sin t)2r sin2tdt = r⇡

e

yB= 8r1 Z

y ds = 8r1 Z 2⇡

0

r(1 cos t)2r sin2tdt = 43r.

70

(3)

9. Possiamo pensare alla letteraLcome all’unione delle curve o, avente per sostegno il segmento orizzontale So={(x, 0) | x 2 [0, `]}, e v, avente per sostegno il segmento verticaleSv ={(0, y) | y 2 [0, 2`]}. Scelta la densit`a di massa v(x, y) = k per la curva v, avremo che la densit`a della curva o `e o(x, y) = 3k.

Con tali scelte risulta

m( o) = 3kL( o) = 3k`, x(Bo) = `

2 e y(Bo) = 0 mentre

m( v) = kL( v) = 2k`, x(Bv) = 0 e y(Bv) = `

Dalla propriet`a distributiva dei baricentri abbiamo allora che il baricentro della lettera L `e il punto di coordinate

x(B) =m( o)x(Bo) + m( v)x(Bv)

m( o) + m( v) = 3k`·2`

3k` + 2k` = 3`

10 e

y(B) = m( o)y(Bo) + m( v)y(Bv)

m( o) + m( v) = 2k`· ` 3k` + 2k` = 2`

5

10. Osserviamo innanzitutto che la curva avente per sostegno la frontiera dell’insieme D ={(x, y) 2 R2| (x 1)2+ y2 1, x2+ y2 1} risulta unione delle curve 1di sostegno{(x, y) 2 R2| x2+ y2= 1, x2 [ 1,12]} e 2 di sostegno{(x, y) 2 R2| (x 1)2+ y2 = 1, x2 [0,12]}. Determiniamo le coordinate del baricentro B1e B2 di tali curve. Una parametrizzazione di 1`e data da '1(t) = (cos t, sin t), t2 [3,53⇡], quindi

m( 1) = Z

1

1 + x2ds = Z 53

3

cos2t + 1 dt =1

2(t + cos t sin t) + t53

3 = 2⇡ p43

Osservato poi che la curva `e simmetrica rispetto all’asse x e la densit`a di massa dipende solo da x, possiamo dedurre che y(B1) = 0 mentre

x(B1) = 1 m( 1)

Z

1

x(1 + x2) ds = 1 2⇡ p43

Z 53

3

cos t(cos2t + 1) dt

= 1

2⇡ p43 Z 53

3

cos t(2 sin2t) dt = 1 2⇡ p43

2 sin t 13sin3t53

3 =

p3

4 2p

3 2⇡ p43

71

(4)

(si noti che x(B1) 2 ( 1, 0)). Allo stesso modo, una parametrizzazione di 2 `e data da '2(t) = (1 + cos t, sin t), t2 [23⇡,43⇡], quindi

m( 2) = Z

2

1 + x2ds = Z 43

2 3

1 + (1 + cos t)2dt =1

2(t + cos t sin t) + 2 sin t + 2t43

2

3 =53 74p 3

Abbiamo poi, per simmetria, che y(B2) = 0 mentre

x(B2) = 1 m( 2)

Z

2

x(1 + x2) ds = 1

5

3 74p 3

Z 43

2 3

(1 + cos t)(1 + (cos t + 1)2) dt

= 1

5

3 74p 3

Z 43

2 3

(1 + cos t)(3 + 2 cos t sin2t) dt

= 1

5

3 74p 3

Z 43

2 3

5 + 5 cos t 3 sin2t cos t sin2t dt

= 1

5

3 74p 3

5t + 5 sin t 32(t cos t sin t) 13sin3t43

2 3 =

7 3 4p

3

5

3 74p 3

Dalla propriet`a distributiva del baricentro otteniamo allora che le coordinate del baricentro B della curva data sono y(B) = 0 e

x(B) = m( 1)x(B1) + m( 2)x(B2)

m( 1) + m( 2) = 28⇡ 69p 3 44⇡ 24p

3 ⇡ 0, 33

11. Considerata l’elica cilindrica '(t) = (2 cos t, 2 sin t, t), t 2 [0, 4⇡], di densit`a di massa (x, y, z) = z2 abbiamok'0(t)k =p

5 e dunque m( ) =

Z

z2ds = Z 4⇡

0

t2p

5 dt =p 564⇡33

Essendo la curva simmetrica rispetto all’asse z e la densit`a di massa funzione della sola z, possiamo concludere che il baricentro cade sull’asse z, ovvero che x(B) = y(B) = 0. Abbiamo poi

z(B) = 64p35⇡3

Z

z3ds = 64p35⇡3

Z 4⇡

0

t3p

5 dt = 3⇡

12. Una parametrizzazione della curva avente per sostegno l’intersezione della sfera x2+ y2+ z2= 4 con il piano x = y nella regione z 0 `e data da '(t) = (p

2 cos t,p

2 cos t, 2 sin t), t 2 [0, ⇡], con k'0(t)k = 2.

Abbiamo che

L( ) = Z

ds = Z

0

2 dt = 2⇡

e il baricentro ha coordinate

x(B) = 2⇡1 Z

x ds =2⇡1 Z

0

2p

2 cos t dt = 0,

y(B) = 2⇡1 Z

y ds =2⇡1 Z

0

2p

2 cos t dt = 0 e

z(B) = 2⇡1 Z

z ds =2⇡1 Z

0

4 sin t dt = 4

72

figura

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