Una parametrizzazione della curva di sostegno {(x, y) 2 R2 | x2+ y42 = 1, x 0, y 0} `e data da '(t

Risoluzione

1. Abbiamo che la curva '(t) = (tp ³, t²), t 2 [ 1, 1] `e di classe C¹ con '⁰(t) = (3t², 2t) e quindik'⁰(t)k = 9t⁴+ 4t²=|t|p

9t²+ 4. Otteniamo allora Z

x x³ds = Z 1

1

(t³ t⁹)|t|p

9t²+ 4 dt = 0

essendo l’integranda funzione dispari e l’intervallo d’integrazione simmetrico rispetto all’origine. Al risul- tato potevamo arrivare subito osservando che la curva risulta simmetrica rispetto all’asse y e l’integranda antisimmetrica rispetto a tale asse.

2. Una parametrizzazione della curva di sostegno {(x, y) 2 R² | x²+ ^y₄² = 1, x 0, y 0} `e data da '(t) = (cos t, 2 sin t), t2 [0,^⇡2]. Si ha che k'⁰(t)k =p

1 + 3 cos²t e quindi Z

xy ds = Z ^⇡₂

0

2 sin t cos tp

1 + 3 cos²t dt = ¹₃ Z ^⇡₂

0

6 sin t cos tp

1 + 3 cos²t dt

= ¹₃h

2

3(1 + 3 cos²t)³²i^⇡₂

0 =¹⁴₉

3. La curva con sostegno la frontiera di D = {(x, y) | ^x4² + y²  1, x p

2} `e unione delle curve ¹ con sostegno l’arco di ellisse{(x, y) | ^x4²+ y²= 1, x p

2} e ²con sostegno il segmento{(p

2, y)| |y|  ^p2²}.

Dalla propriet`a di additivit`a dell’integrale abbiamo allora che Z

2x ds = Z

1

2x ds + Z

2

2x ds

Una parametrizzazione della curva 1`e '1(t) = (2 cos t, sin t), t2 [ <sup>⇡</sup>4,<sup>⇡</sup><sub>4</sub>], mentre una parametrizzazione di 2`e data '2(t) = (p

2, t), t2 [ ^p2²,^p₂²]. Otteniamo allora che Z

2x ds = Z

1

2x ds + Z

2

2x ds = Z ^⇡₄

⇡ 4

4 cos tp

3 sin²t + 1 dt + Z ^p₂²

p2 2

2p 2 dt

=^p4₃ Z ^⇡₄

⇡ 4

p3 cos t q

(p

3 sin t)²+ 1 dt + 4

=^p2₃hp

3 sin tp

3 sin²t + 1 + log(p

3 sin t +p

3 sin²t + 1)i^⇡₄

⇡ 4

+ 4

= 2p 2

q5 2+^p2₃

✓

log(^p₂⁶+ q5

2) log( ^p₂⁶+ q5

2)

◆ + 4

= 2p

2 + ^p2₃(log(p 10 +p

6) log(p 10 p

6)) + 4

4. Dato che '(t) = (cos t, sin t, 2t), t 2 [0,^⇡2], abbiamo '⁰(t) = ( sin t, cos t, 2) e dunque k'⁰(t)k = p 5.

Otteniamo allora Z

xy²ds = Z ^⇡₂

0

cos t sin²tp

5 dt =^p₃⁵⇥ sin³t⇤^⇡₂

0 =^p₃⁵

5. Una parametrizzazione della curva `e data da '(✓) = (1 + cos ✓, sin ✓, 3 + 2 cos ✓), ✓2 [0, ⇡]. Osservato che '⁰(✓) =p

1 + 4 sin²✓ abbiamo Z

3x z ds = Z ⇡

0

cos ✓p

1 + 4 sin²✓ d✓ = ¹₂ Z ⇡

0

2 cos ✓p

1 + (2 sin ✓)²d✓

=¹₄h

2 sin ✓p

1 + 4 sin²✓ + log(2 sin ✓ +p

1 + 4 sin²✓)i⇡ 0 = 0 69

6. Una parametrizzazione della curva avente per sostegno l’intersezione del cilindro x²+ y² = 1 con z = 2x²+ y² nella regione x 0, z ³₂ `e data da '(✓) = (cos ✓, sin ✓, cos²✓ + 1), ✓2 [ ^⇡4,^⇡₄]. Osserviamo

infatti che 8

><

>:

x²+ y²= 1 z = 2x²+ y² x 0, z ³₂

, 8>

<

>:

x²+ y²= 1 z = x²+ 1 x 0, z ³₂

e quindi, utilizzando le coordinate polari per parametrizzare la circonferenza x²+ y²= 1, otteniamo 8>

<

>:

x = cos ✓ y = sin ✓ z = 1 + cos²✓

e dalla limitazione x = cos ✓ 0 e z = 1 + cos²✓ ³₂, otteniamo ✓ 2 [ ^⇡4,^⇡₄]. Dato che k'⁰(✓)k = p1 + 4 cos²✓ sin²✓ abbiamo

Z

x² y²ds = Z ^⇡₄

⇡ 4

(cos²✓ sin²✓)p

1 + 4 cos²✓ sin²✓ d✓

=¹₂ Z ^⇡₄

⇡ 4

2 cos(2✓) q

1 + sin²(2✓) d✓

=¹₄

 sin(2✓)

q

1 + sin²(2✓) + log(sin(2✓) + q

1 + sin²(2✓))

⇡ 4

⇡ 4

=¹₄(2p

2 + log(p

2 + 1) log(p 2 1))

7. Una parametrizzazione della curva avente per sostegno l’intersezione delle superfici y =p 3x²ep

3z = 2xy nella regione 0 z  16, `e data da

' : 8>

<

>: x = t y =p

3t² z = ^p2₃t·p

3t²= 2t³

dove t 2 [0, 2] poich´e per tali valori risulta 0  z = 2t³  16. Dato che k'⁰(t)k = p

1 + 12t²+ 36t² = 6t²+ 1 otteniamo

Z

x ds = Z 2

0

t(6t²+ 1) dt = Z 2

0

6t³+ t dt =⇥₃

2t⁴+¹₂t²⇤2 0= 26

8. Per la cicloide '(t) = (r(t sin t), r(1 cos t)), t 2 [0, 2⇡], abbiamo che k'⁰(t)k = 2r sin2^t per ogni t2 [0, 2⇡] e quindi

L( ) = Z

ds = Z 2⇡

0

2r sin^t₂dt = 8r ne segue che il baricentro ha coordinate

xB= _8r¹ Z

x ds = _8r¹ Z 2⇡

0

r(t sin t)2r sin₂^tdt = r⇡

e

yB= _8r¹ Z

y ds = _8r¹ Z 2⇡

0

r(1 cos t)2r sin₂^tdt = ⁴₃r.

70

9. Possiamo pensare alla letteraLcome all’unione delle curve o, avente per sostegno il segmento orizzontale S^o={(x, 0) | x 2 [0, `]}, e <sup>v</sup>, avente per sostegno il segmento verticaleS<sup>v</sup> ={(0, y) | y 2 [0, 2`]}. Scelta la densit`a di massa v(x, y) = k per la curva v, avremo che la densit`a della curva o `e o(x, y) = 3k.

Con tali scelte risulta

m( o) = 3kL( ^o) = 3k`, x(Bo) = `

2 e y(Bo) = 0 mentre

m( v) = kL( ^v) = 2k`, x(Bv) = 0 e y(Bv) = `

Dalla propriet`a distributiva dei baricentri abbiamo allora che il baricentro della lettera L `e il punto di coordinate

x(B) =m( o)x(Bo) + m( v)x(Bv)

m( o) + m( v) = 3k`·2<sup>`</sup>

3k` + 2k` = 3`

10 e

y(B) = m( o)y(Bo) + m( v)y(Bv)

m( o) + m( v) = 2k`· ` 3k` + 2k` = 2`

5

10. Osserviamo innanzitutto che la curva avente per sostegno la frontiera dell’insieme D ={(x, y) 2 R²| (x 1)²+ y² 1, x²+ y² 1} risulta unione delle curve ¹di sostegno{(x, y) 2 R²| x²+ y²= 1, x2 [ 1,¹2]} e 2 di sostegno{(x, y) 2 R²| (x 1)²+ y² = 1, x2 [0,¹2]}. Determiniamo le coordinate del baricentro B1e B2 di tali curve. Una parametrizzazione di 1`e data da '1(t) = (cos t, sin t), t2 [^⇡3,⁵₃⇡], quindi

m( 1) = Z

1

1 + x²ds = Z ⁵₃⇡

⇡ 3

cos²t + 1 dt =⇥₁

2(t + cos t sin t) + t⇤⁵₃⇡

⇡

3 = 2⇡ ^p₄³

Osservato poi che la curva `e simmetrica rispetto all’asse x e la densit`a di massa dipende solo da x, possiamo dedurre che y(B1) = 0 mentre

x(B1) = 1 m( 1)

Z

1

x(1 + x²) ds = 1 2⇡ ^p₄³

Z ⁵₃⇡

⇡ 3

cos t(cos²t + 1) dt

= 1

2⇡ ^p₄³ Z ⁵₃⇡

⇡ 3

cos t(2 sin²t) dt = 1 2⇡ ^p₄³

⇥2 sin t ¹₃sin³t⇤⁵3⇡

⇡

3 =

p3

4 2p

3 2⇡ ^p₄³

71

(si noti che x(B1) 2 ( 1, 0)). Allo stesso modo, una parametrizzazione di ² `e data da '2(t) = (1 + cos t, sin t), t2 [²3⇡,⁴₃⇡], quindi

m( 2) = Z

2

1 + x²ds = Z ⁴₃⇡

2 3⇡

1 + (1 + cos t)²dt =⇥₁

2(t + cos t sin t) + 2 sin t + 2t⇤⁴₃⇡

2

3⇡ =⁵₃⇡ ⁷₄p 3

Abbiamo poi, per simmetria, che y(B2) = 0 mentre

x(B2) = 1 m( 2)

Z

2

x(1 + x²) ds = 1

5

3⇡ ⁷₄p 3

Z ⁴₃⇡

2 3⇡

(1 + cos t)(1 + (cos t + 1)²) dt

= 1

5

3⇡ ⁷₄p 3

Z ⁴₃⇡

2 3⇡

(1 + cos t)(3 + 2 cos t sin²t) dt

= 1

5

3⇡ ⁷₄p 3

Z ⁴₃⇡

2 3⇡

5 + 5 cos t 3 sin²t cos t sin²t dt

= 1

5

3⇡ ⁷₄p 3

⇥5t + 5 sin t ³₂(t cos t sin t) ¹₃sin³t⇤⁴3⇡

2 3⇡ =

7 3⇡ 4p

3

5

3⇡ ⁷₄p 3

Dalla propriet`a distributiva del baricentro otteniamo allora che le coordinate del baricentro B della curva data sono y(B) = 0 e

x(B) = m( 1)x(B1) + m( 2)x(B2)

m( 1) + m( 2) = 28⇡ 69p 3 44⇡ 24p

3 ⇡ 0, 33

11. Considerata l’elica cilindrica '(t) = (2 cos t, 2 sin t, t), t 2 [0, 4⇡], di densit`a di massa (x, y, z) = z² abbiamok'⁰(t)k =p

5 e dunque m( ) =

Z

z²ds = Z 4⇡

0

t²p

5 dt =p 5^64⇡₃³

Essendo la curva simmetrica rispetto all’asse z e la densit`a di massa funzione della sola z, possiamo concludere che il baricentro cade sull’asse z, ovvero che x(B) = y(B) = 0. Abbiamo poi

z(B) = ₆₄^p3_5⇡3

Z

z³ds = ₆₄^p3_5⇡3

Z 4⇡

0

t³p

5 dt = 3⇡

12. Una parametrizzazione della curva avente per sostegno l’intersezione della sfera x²+ y²+ z²= 4 con il piano x = y nella regione z 0 `e data da '(t) = (p

2 cos t,p

2 cos t, 2 sin t), t 2 [0, ⇡], con k'⁰(t)k = 2.

Abbiamo che

L( ) = Z

ds = Z ⇡

0

2 dt = 2⇡

e il baricentro ha coordinate

x(B) = _2⇡¹ Z

x ds =_2⇡¹ Z ⇡

0

2p

2 cos t dt = 0,

y(B) = _2⇡¹ Z

y ds =_2⇡¹ Z ⇡

0

2p

2 cos t dt = 0 e

z(B) = _2⇡¹ Z

z ds =_2⇡¹ Z ⇡

0

4 sin t dt = 4

⇡

72