Antonio Azzollini antonio.azzollini@unibas.it Statistica

(1)

Statistica

Antonio Azzollini

antonio.azzollini@unibas.it

Anno accademico 2016/2017

Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE)

(2)

I rapporti statistici sono rapporti fra due grandezze, di cui almeno una di natura statistica, legate da una relazione logica. 

Essi vengono prevalentemente calcolati per eliminare l’influenza di circostanze che, altrimenti, non renderebbero confrontabili i dati.

Rapporti Statistici

Fra i rapporti statistici riconosciamo:

•

Rapporti di composizione

•

Rapporti di coesistenza

•

Rapporti di derivazione

•

Rapporti di densità

•

Rapporti indici

(3)

Rapporto di composizione

(4)

Sono chiamati anche rapporti di parte al tutto. Si ottengono rapportando una intensità (o una frequenza) parziale all’intensità (o frequenza) totale. Il risultato in genere viene moltiplicato per 100 ottenendo i rapporti percentuali.

Rapporto di composizione

(5)

In una distribuzione di frequenze servono per confrontare l’incidenza (il contributo) di ciascuna modalità alla numerosità totale. In questa situazione essi non sono altro che le frequenze relative.

Sono chiamati anche rapporti di parte al tutto. Si ottengono rapportando una intensità (o una frequenza) parziale all’intensità (o frequenza) totale. Il risultato in genere viene moltiplicato per 100 ottenendo i rapporti percentuali.

Rapporto di composizione

(6)

una parte

totale ×100

👉

^1.500.000_9.000.000 ×100 = 16,67% Volkswagen

( )

Totale 9.000.000 x = una parte

totale ×100

👉

una parte : totale = x :100

Al posto del totale si può utilizzare un’altra quantità che viene detta base.

Rapporto di composizione

(7)

Rapporto di coesistenza

(8)

Riguardano quelle situazioni in cui si vuole confrontare modalità in qualche modo antitetiche o due quantità concettualmente differenti.

Rapporto di coesistenza

(9)

In una distribuzione di frequenze esso consiste in un rapporto (eventualmente moltiplicato per 100) tra la frequenza corrispondente ad una modalità e la frequenza corrispondente ad un’altra modalità.

Riguardano quelle situazioni in cui si vuole confrontare modalità in qualche modo antitetiche o due quantità concettualmente differenti.

Rapporto di coesistenza

(10)

x = b

a ×100

👉

È quel valore di

x

tale che

_{b : a} _{= x :100}

Il rapporto di coesistenza é il rapporto, espresso in percentuale, fra due grandezze riferite a due modalità.

a

^e

b

Rapporto di coesistenza

Esprime a quanto corrisponde il numeratore avendo posto il denominatore uguale a 100.

(11)

Esempio: supponiamo di avere un campione casuale 181 persone la cui distribuzione di frequenza sul carattere sesso è la seguente:

Maschi Femmine

124 57

x = b

a ×100

👉

È quel valore di

x

tale che

_{b : a} _{= x :100}

a

^e

b

Rapporto di coesistenza

(12)

Maschi Femmine

124 57

57

124 ×100 = 45,96

👉

x = b

a ×100

👉

È quel valore di

x

tale che

_{b : a} _{= x :100}

a

^e

b

Rapporto di coesistenza

Ogni 100 maschi ci sono 45,96 femmine. Rapporto di femminilità

(13)

Maschi Femmine

124 57

57

124 ×100 = 45,96

👉

Ogni 100 maschi ci sono 45,96 femmine. Rapporto di femminilità

x = b

a ×100

👉

È quel valore di

x

tale che

_{b : a} _{= x :100}

a

^e

b

124

57 ×100 = 217,54

👉

Ogni 100 femmine ci sono 217,54 maschi. Rapporto di mascolinità

Rapporto di coesistenza

(14)

Le medie e le deviazioni standard delle quotazioni giornaliere dei titoli azonari Indesit & De Longhi nell’arco del 2006 sono state:

Indesit: media = 9,89; deviazione standard = 1,16

De Longhi: media = 3,03; deviazione standard = 0,57 Quale dei due titoli ha meno variabilità?

Rapporto di coesistenza

(15)

De Longhi: media = 3,03; deviazione standard = 0,57

Quale dei due titoli ha meno variabilità?

media Indesit = 3 × media De Longhi

deviazione standard Indesit > deviazione standard De Longhi

Rapporto di coesistenza

(16)

Un giusto confronto fra le variabilità dei due titoli può avvenire previa rimodulazione della deviazione standard in rapporto alla media. 

In sostanza le quantità da confrontare sono i rapporti di coesistenza che altro non sono che...

Rapporto di coesistenza

(17)

Un giusto confronto fra le variabilità dei due titoli può avvenire previa rimodulazione della deviazione standard in rapporto alla media. 

In sostanza la quantità da confrontare é il rapporto di coesistenza che altro non é che...deviazione standard 

media

Rapporto di coesistenza

(18)

De Longhi: media = 3,03; deviazione standard = 0,57 Quale dei due titoli ha meno variabilità?

coefficiente di variazione De Longhi×100= 0,57

3,03 = 18,81 coefficiente di variazione Indesit ×100= 1,16

9,89 = 11,73

...il già noto

coefficiente di variazione percentualizzato

Rapporto di coesistenza

(19)

Rapporto di derivazione

(20)

Rapporto di derivazione

Tale tipo di rapporto interviene quando si vuole effettuare correttamente un confronto fra le frequenze con le quali occorrono diverse modalità di un carattere che, sul piano logico o temporale, segue da un altro che ne costituisce l’antecedente o il presupposto.

(21)

Rapporto di derivazione

In una distribuzione di frequenze, esso é dato dal rapporto fra la frequenza della modalità di un carattere e la frequenza di una corrispondente modalità di un altro carattere che si ritiene esserne la causa o il presupposto.

Tale tipo di rapporto interviene quando si vuole effettuare correttamente un confronto fra le frequenze con le quali occorrono diverse modalità di un carattere che, sul piano logico o temporale, segue da un altro che ne costituisce l’antecedente o il presupposto.

(22)

B A

Regione b=veicoli incidentati a=veicoli b/a b/a × 1.000

Abruzzo 7,252 1,131,299 0.006 6

Basilicata 1,726 457,376 0.004 4

Calabria 6,570 1,565,296 0.004 4

Campania 21,587 4,350,447 0.005 5

Emilia Romagna 38,497 3,724,937 0.010 10

Friuli-Venezia Giulia 8,207 1,010,877 0.008 8

Lazio 53,240 4,859,950 0.011 11

Liguria 17,048 1,328,553 0.013 13

Lombardia 74,672 7,693,053 0.010 10

Marche 12,373 1,350,814 0.009 9

Molise 933 272,883 0.003 3

Piemonte 25,341 3,710,183 0.007 7

Puglia 24,377 2,862,659 0.009 9

Sardegna 8,628 1,303,464 0.007 7

Sicilia 26,528 4,257,928 0.006 6

Toscana 34,380 3,289,007 0.010 10

Trantino-Alto Adige 5,097 1,050,066 0.005 5

Umbria 5,680 803,525 0.007 7

Valle D’Aosta 642 201,564 0.003 3

Veneto 29,396 3,903,220 0.008 8

Il rapporto di derivazione é il rapporto fra due quantità a b

A e B

rappresenta una manifestazione di una variabile rappresenta una manifestazione di una variabileb ^e a ^dove generata da A^.

Rapporto di derivazione

(23)

L’esempio del numero di incidenti con le auto per regione si riferisce a rapporti di derivazione.

b

a ×1000

La quinta colonna della tabella ci indica, regione per regione, quanti incidenti si verificano per ogni 1.000 macchine immatricolate nella regione stessa: ci sono 9 incidenti in Abruzzo, 4 in Basilicata e così via.

su 1.000, ma se necessario si può utilizzare un valore più elevato.

Rapporto di derivazione

.

B A

Regione b=veicoli incidentati a=veicoli b/a b/a × 1.000

Abruzzo 7,252 1,131,299 0.006 6

Basilicata 1,726 457,376 0.004 4

Calabria 6,570 1,565,296 0.004 4

Emilia Romagna 21,587 4,350,447 0.005 5

... ... ... ... ...

In questo caso abbiamo usato la formula per esprimere il rapporto su

(24)

Età Decessi Popolazione Femmin

e

Maschi Femmine Maschi

<1 25 21 272,400 258,566

1-14 61 58 3,887,954 3,684,265 15-29 317 129 5,395,451 5,239,304 30-44 1,568 589 6,622,520 6,610,429 45-59 7,073 2,416 5,365,813 5,548,221 60-69 13,825 6,566 3,084,258 3,460,637 70-79 32,498 26,089 2,142,455 2,947,833 80-89 36,153 55,900 713,313 1,363,955 90 & oltre 13,852 38,149 102,818 295,552

Totale 105,372 129,917 27,586,982 29,408,762

La tabella riporta i morti per malattie dell’apparato cardio-circolatorio per popolazione, per genere e classi di età (ISTAT 2001).

In generale, le donne hanno una

mortalità inferiore per queste cause.

👇

105.372

27.586.982 ×100.000 = 382,0 129.917

29.408.762 ×100.000 = 441,8

Si tratta di rapporti di derivazione, visto che il numero di decessi dipende anche dalla numerosità della popolazione dei singoli generi. Il numero di decessi preso da solo non è un dato di per sé confrontabile.

Rapporto di derivazione

(25)

Rapporto di densità

(26)

Rapporto di densità

I rapporti di densità sono utilizzati quando si vogliono confrontare grandezze la cui eterogeneità è dovuta al fatto che sono osservate in riferimento a campi di dimensioni diverse.

(27)

Rapporto di densità

Un esempio si ha quando si vogliono confrontare le frequenze relative osservate in due distribuzioni per classi in cui l'ampiezza delle classi della prima è differente rispetto a quella della seconda.

(28)

Rapporto di densità

Un esempio si ha quando si vogliono confrontare le frequenze relative osservate in due distribuzioni per classi in cui l'ampiezza delle classi della prima è differente rispetto a quella della seconda.

Come già osservato, un corretto confronto è possibile ricorrendo alla distribuzione delle densità di frequenze relative che si ottengono dividendo le frequenze relative delle classi per l'ampiezza della classe.

(29)

Rapporto di densità

In generale il rapporto di densità si definisce come il rapporto

dove a numeratore appare la grandezza oggetto di osservazione

ed a denominatore la dimensione del campo in cui essa è stata

osservata (può essere un intervallo temporale, un'area

geografica...)

(30)

Rapporto di densità

Regione Popolazione 

residenti 

Superficie  Km²

Densità  abitanti/Km²

Sicilia 5,094,937 25,832.39 197

Piemonte 4,436,798 25,387.07 175

Sardegna 1,663,859 24,100.02 69

Lombardia 9,973,397 23,863.65 418

Toscana 3,750,511 22,987.04 163

Emilia Romagna 4,446,354 22,452.78 198

Puglia 4,090,266 19,540.90 209

Veneto 4,926,818 18,407.42 268

Lazio 5,870,451 17,232.29 341

Calabria 1,980,533 15,221.90 130

Campania 5,869,965 13,670.95 429

Trentino-Alto Adige 1,051,951 13,605.50 77

Abruzzo 1,333,939 10,831.84 123

Basilicata 578,391 10,073.32 57

Marche 1,553,138 9,401.38 165

Umbria 896,742 8,464.33 106

Friuli-Venezia Giulia 1,229,363 862.30 1426

Liguria 1,591,939 5,416.21 294

Molise 314,725 4,460.65 71

Val D’Aosta 128,591 3,260.90 39

(31)

Indici semplici

(32)

Indici semplici

Quando le quantità coinvolte nei rapporti sono associate ad un tempo (un momento storico), il rapporto prende il nome di indice.

L'indice valuta la modifica occorsa, nel tempo, della misurazione espressa al numeratore rispetto a quella espressa al denominatore la quale viene presa come base di riferimento.

(33)

Indici semplici

IN SOSTANZA

(34)

Indici semplici

pongono a confronto le intensità o le frequenze di uno stesso fenomeno in tempi diversi.

IN SOSTANZA

(35)

Indici semplici

Esempio

Nel Gennaio 1987 la paga oraria media di un operaio è stata di €4,30. 

Nel Gennaio 2003 la paga oraria media di un operaio è stata di €6,70.

paga oraria gennaio 2003

paga oraria gennaio 1987 ×100 = 6, 7

4, 3 ×100 = 155,81

Il rapporto 155,81 rappresenta l’indice di paga oraria di un operaio

nel Gennaio 2003, riferito al periodo Gennaio 1987.

(36)

Indici semplici

Esempio

Nel Gennaio 1987 la paga oraria media di un operaio è stata di €4,30. 

Nel Gennaio 2003 la paga oraria media di un operaio è stata di €6,70.

4, 3 ×100 = 155,81

Il rapporto 155,81 rappresenta l’indice di paga oraria di un operaio nel Gennaio 2003, riferito al periodo Gennaio 1987.

👇

La paga oraria nel 2003 è 1,5 volte la paga del 1987.

(37)

Indici semplici

Esempio

Nel Gennaio 1987 la paga oraria media di un operaio è stata di €4,30. 

Nel Gennaio 2003 la paga oraria media di un operaio è stata di €6,70.

4, 3 ×100 = 155,81

Il rapporto 155,81 rappresenta l’indice di paga oraria di un operaio nel Gennaio 2003, riferito al periodo Gennaio 1987.

👇

La paga oraria nel 2003 è 1,5 volte la paga del 1987.

Ma di quanto è variata?

(38)

paga oraria gennaio 1987 ×100 −100 = 6, 7

4, 3 ×100 −100 = 55,81

👇

paga oraria gennaio 2003-paga oraria gennaio 1987

paga oraria gennaio 1987 ×100 = 55,81

Indici semplici

Variazione percentuale

(39)

paga oraria gennaio 1987 ×100 −100 = 6, 7

4, 3 ×100 −100 = 55,81

👇

paga oraria gennaio 2003-paga oraria gennaio 1987

paga oraria gennaio 1987 ×100 = 55,81

C’è stato un aumento del 55,81% nella paga oraria di un operaio nel periodo da gennaio 1987 a gennaio 2003.

Indici semplici

Variazione percentuale

(40)

In generale per valutare le variazioni percentuali che si registrano nel tempo è necessario sottrarre ai numeri che costituiscono gli indici il valore 100, ossia

Indici semplici

Variazione percentuale

(41)

In generale per valutare le variazioni percentuali che si registrano nel tempo è necessario sottrarre ai numeri che costituiscono gli indici il valore 100, ossia

a_h

a_b ×100 −100 = a_h

a_b −1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×100 = a_h − a_b a_b

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×100

Indici semplici

Variazione percentuale

(42)

In generale per valutare le variazioni percentuali che si registrano nel tempo è necessario sottrarre ai numeri che costituiscono gli indici il valore 100, ossia

a_h

a_b ×100 −100 = a_h

a_b −1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×100 = a_h − a_b a_b

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×100

Se a_h rappresenta la misura della grandezza al tempo

h

^ed ^a^b rappresenta la misura della stessa grandezza al tempo iniziale

b

^allora

a_h − a_b

a_b ×100

rappresenta la variazione percentuale della grandezza dal tempo

b

^al

tempo

h

^.

Indici semplici

Variazione percentuale

(43)

Assegnate le grandezze

a ₁ ,a ₂ , …,a _k

si dicono numeri indice a base fissa i seguenti rapporti:

I

_{i, i}₋₁

= a

_i

a

_i₋₁

×100, i = 2,…,k

Indici semplici a base fissa

a

_b

a

_b

a ₁ . ,a ₂ , …,a _k

a

^. . _b ^.

(44)

Esempio

Anni Acciaio Grandezza Indici

1976 23,447 100

1977 23,334 99.5

1978 24,383 103.6

1979 24,250 103.4

1980 26,501 113

1981 24,777 aaaaaa₁₆₅₃₂₄ 105.7

Gli indici riportati in ultima c o l o n n a r a p p re s e n t a n o i rapporti percentualizzati fra la p r o d u z i o n e d e l l ' a n n o considerato e quella del 1976 (base fissa).

Indici semplici a base fissa

La seguente tabella riporta la produzione di acciaio di prima fabbricazione in Italia dal 1976 al 1981.

I

_1978,1976

I

_1977,1976

−1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×100 = 103,6

99,5 −1

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ×100 = 4,12 ≈ 103,6 − 99,5

Utilizziamo la notazione

I

_1978,1976

I

_1977,1976

−1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×100 = 103,6

99,5 −1

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ×100 = 4,12 ≈ 103,6 − 99,5

anno,1976

.

per indicare l'indice di un anno in rapporto alla base fissa data dalla produzione del 1976. Per esempio =103,6 rappresenta l'indice del 1978 in rapporto al 1976.

(45)

Anni Acciaio Grandezza Indici Variazioni

1976 23,447 100 ———

1977 23,334 99.5 -0.5

1978 24,383 103.6 +3,6

1979 24,250 103.4 +3,4

1980 26,501 113 +13

1981 24,777 aaaaaa₁₆₅₄₃₂ 105.7 +5,7

Esempio

Indici semplici a base fissa

Se si vuole conoscere le variazioni dell’indice sempre in rapporto alla base fissa considerata, a ciascun indice bisogna sottrarre 100.

Nell'ultima colonna sono ripor tate le variazioni di produzione in rapporto alla produzione del 1976 (base fissa).

(46)

Anni Acciaio Grandezza Indici Variazioni

1976 23,447 100 ———

1977 23,334 99.5 -0.5

1978 24,383 103.6 +3,6

1979 24,250 103.4 +3,4

1980 26,501 113 +13

1981 24,777 aaaaaa₁₆₅₄₃₂ 105.7 +5,7

Esempio

Se si vuole conoscere la variazione dell’indice fra il 1978 e il 1977 basterà utilizzare la formula ^I^1978,1976

I_1977,1976 −1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×100 = 103,6 99,5 −1

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ×100 = 4,12 ≈ 103,6 − 99,5

La fomula precedente è giustificata dalla formula di cambio di base fissa. Per esempio, per passare dall'indice in base "anno 1976"

all'indice in base "anno 1977": .^I^1978,1976

I_1977,1976 −1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×100 = 103,6

99,5 −1

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ×100 = 4,12 ≈ 103,6 − 99,5 I_1978,1976

I_1977,1976 −1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×100 = 103,6

99,5 −1

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ×100 = 4,12 ≈ 103,6 − 99,5 I_1978,1976

I_1977,1976 −1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×100 = 103,6

99,5 −1

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ×100 = 4,12 ≈ 103,6 − 99,5

.

=

Indici semplici a base fissa

(47)

Il periodo di riferimento può non essere un singolo anno.

Anno Prezzo Indice (1990) Indice (1990-91) Indice (1990-91-92)

1985 €18.00 1990 €20.00

1991 €22.00 110.0 1992 €23.00 115.0 2004 €38.00 190.0

18

20 ×100 = 90,0 20

20 ×100 = 100,0

Esempio

Il prezzo di una spillatrice da ufficio è

Indici semplici a base fissa

(48)

1985 €18.00 1990 €20.00

1991 €22.00 110.0 104.8

1992 €23.00 115.0 109.5

2004 €38.00 190.0 181.0

18

20 ×100 = 90,0 18

21×100 = 85,7 20

20 ×100 = 100,0 20

21 ×100 = 95,2

20 + 22

2 = 21 Prezzo medio 1990-91

Esempio

Indici semplici a base fissa

(49)

1985 €18.00 1990 €20.00

1991 €22.00 110.0 104.8 101.5

1992 €23.00 115.0 109.5 106.1

2004 €38.00 190.0 181.0 175.5

18

20 ×100 = 90,0 18

21×100 = 85,7 18

21,67 ×100 = 90,0 20

20 ×100 = 100,0 20

21 ×100 = 95,2 20

21,67 ×100 = 92,3

20 + 22 + 23

3 = 21,67 Prezzo medio 1990-91-92

Esempio

Indici semplici a base fissa

(50)

Gli sconti e le variazioni

Calcolo del prezzo scontato a₂ di un articolo a partire dal prezzo iniziale a₁

sconto

s

^. ^{e dallo}

(51)

Gli sconti e le variazioni

Se ad esempio l’articolo costa 90 euro e c’è uno sconto del 30%, per determinare il prezzo scontato si calcola

90 − 90 × 0,30 = 63

( )

¹

sconto

s

^. ^{e dallo}

(52)

Gli sconti e le variazioni

90 − 90 × 0,30 = 63

( )

¹

In questo caso 30 rappresenta la variazione percentuale. In generale, a quale operazione corrisponde la

( )

¹ ^?

a

₁

− a

₁

× s = a

₂

sconto

s

^. ^{e dallo}

(53)

Gli sconti e le variazioni

90 − 90 × 0,30 = 63

( )

¹

In questo caso 30 rappresenta la variazione percentuale. In generale, a quale operazione corrisponde la

( )

¹ ^?

a

₁

− a

₁

× s = a

₂

👉 ^a

¹

_a ^{− a}

₁ ²

^{×100 = p}

sconto percentuale.

p

sconto

s

^. ^{e dallo}

(54)

Indici semplici a base mobile

Assegnate le grandezze

a ₁ ,a ₂ , …,a _k

si dicono numeri indice a base mobile i seguenti rapporti:

I

_{i, i}₋₁

= a

_i

a

_i₋₁

×100, i = 2,…,k

(55)

Indici semplici a base mobile

Esempio

La seguente tabella riporta la produzione di acciaio di prima fabbricazione in Italia dal 1976 al 1981

a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆

a₂ / a₁ a₃ / a₂ a₄ / a₃ a₅ / a₄ a₆ / a₅

x 100 x 100 x 100 x 100 x 100

Anni Acciaio Grandezze Indici Indici

1976 23,447 —— ——

1977 23,334 99.5

1978 24,283 104.1

1979 24,250 99.9

1980 26,501 109.3

1981 24,777 93.5

(56)

Indici semplici a base mobile

Questi numeri forniscono la variazione di prima fabbricazione avutasi rispetto all’anno precedente. Per esempio la variazione percentuale di produzione dal 1979 al 1980 è...

Esempio

(109,3 - 100)% = 9,3%.

a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆

a₂ / a₁ a₃ / a₂ a₄ / a₃ a₅ / a₄ a₆ / a₅

x 100 x 100 x 100 x 100 x 100

1976 23,447 —— ——

1977 23,334 99.5

1978 24,283 104.1

1979 24,250 99.9

1980 26,501 109.3

1981 24,777 93.5

(57)

Indici semplici a base mobile

Quale è la variazione percentuale media nell'intervallo temporale 1976 - 1981?

Esempio

a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆

a₂ / a₁ a₃ / a₂ a₄ / a₃ a₅ / a₄ a₆ / a₅

x 100 x 100 x 100 x 100 x 100

1976 23,447 —— ——

1977 23,334 99.5

1978 24,283 104.1

1979 24,250 99.9

1980 26,501 109.3

1981 24,777 93.5

(58)

Indici semplici a base mobile

a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆

a₂ / a₁ a₃ / a₂ a₄ / a₃ a₅ / a₄ a₆ / a₅

Quale è la variazione percentuale media nell'intervallo temporale 1976 - 1981?

La variazione percentuale media è la media geometrica di indici a base mobile meno 100

99,5 ×104,1× 99,9 ×109,3× 93,5

5 −100

Esempio

x 100 x 100 x 100 x 100 x 100

1976 23,447 —— ——

1977 23,334 99.5

1978 24,283 104.1

1979 24,250 99.9

1980 26,501 109.3

1981 24,777 93.5

(59)

Indici semplici a base mobile

Formalizzando

Date le grandezze

a

₁, ,...,

a

₂

a

₆ ed i rispettivi indici a base mobile,

a

₂

/ a

₁, ,...,

a

₃

/ a

₂

a

₆

/ a

₅

a_b+1

a_b ×100 × a_b+2

a_b+1 ×100 ×!× a_t

a_t₋₁ ×100

t−b . −100

a₅ / a₄ a₆ / a₅ a₅ / a₄

a₆ / a₅ a₃ / a₂

a₄ / a₃ a₃ / a₂

a₄ / a₃ a₁

a₂

X100 X X100 X X100 X X100 X X100 - 100

.

al 1981 vale a₅ / a₄

, la crescita percentuale media dal 1976

(60)

Indici semplici a base mobile

Formalizzando

Date le grandezze

a

₁, ,...,

a

₂

a

₂

/ a

₁, ,...,

a

₃

/ a

₂

a

₆

/ a

₅

a_b+1

a_b ×100 × a_b+2

a_b+1 ×100 ×!× a_t

a_t₋₁ ×100

t−b . −100

a₅ / a₄ a₆ / a₅ a₅ / a₄

a₆ / a₅ a₃ / a₂

a₄ / a₃ a₃ / a₂

a₄ / a₃ a₁

a₂

X100 X X100 X X100 X X100 X X100 - 100

.

al 1981 vale a₅ / a₄

👇

a_b+1

a_b ×100 × a_b+2

a_b+1 ×100 ×!× a_t

a_t₋₁ ×100

t−b . −100

a₅ / a₄ a₆ / a₅

a₅ / a₄ a₆ / a₅ a₃ / a₂ a₄ / a₃ a₃ / a₂

a₄ / a₃ a₁

a₂ a₅. / a₄

X 100 - 100

a₅ / a₄

(61)

Indici semplici a base mobile

Formalizzando

Date le grandezze

a

₁, ,...,

a

₂

a

₂

/ a

₁, ,...,

a

₃

/ a

₂

a

₆

/ a

₅

a_b+1

a_b ×100 × a_b+2

a_b+1 ×100 ×!× a_t

a_t₋₁ ×100

t−b . −100

a₅ / a₄ a₆ / a₅ a₅ / a₄

a₆ / a₅ a₃ / a₂

a₄ / a₃ a₃ / a₂

a₄ / a₃ a₁

a₂

X100 X X100 X X100 X X100 X X100 - 100

.

al 1981 vale a₅ / a₄

a_b+1

a_b ×100 × a_b+2

a_b+1 ×100 ×!× a_t

a_t₋₁ ×100

t−b . −100

a₅ / a₄ a₆ / a₅

a₅ / a₄ a₆ / a₅ a₃ / a₂ a₄ / a₃ a₃ / a₂

a₄ / a₃ a₁

a₂ a₅. / a₄

X 100 - 100

👇

(62)

Indici semplici a base mobile

Formalizzando

Date le grandezze

a

₁, ,...,

a

₂

a

₂

/ a

₁, ,...,

a

₃

/ a

₂

a

₆

/ a

₅

a_b+1

a_b ×100 × a_b+2

a_b+1 ×100 ×!× a_t

a_t₋₁ ×100

t−b . −100

a₅ / a₄ a₆ / a₅ a₅ / a₄

a₆ / a₅ a₃ / a₂

a₄ / a₃ a₃ / a₂

a₄ / a₃ a₁

a₂

X100 X X100 X X100 X X100 X X100 - 100

.

al 1981 vale a₅ / a₄

a_b+1

a_b ×100 × a_b+2

a_b+1 ×100 ×!× a_t

a_t₋₁ ×100

t−b . −100

a₅ / a₄ a₆ / a₅

a₅ / a₄ a₆ / a₅ a₃ / a₂ a₄ / a₃ a₃ / a₂

a₄ / a₃ a₁

a₂ a₅. / a₄

X 100 - 100

👇

(63)

Indici semplici a base mobile

Formalizzando

Date le grandezze

a

₁, ,...,

a

₂

a

₂

/ a

₁, ,...,

a

₃

/ a

₂

a

₆

/ a

₅

a_b+1

a_b ×100 × a_b+2

a_b+1 ×100 ×!× a_t

a_t₋₁ ×100

t−b . −100

a₅ / a₄ a₆ / a₅ a₅ / a₄

a₆ / a₅ a₃ / a₂

a₄ / a₃ a₃ / a₂

a₄ / a₃ a₁

a₂

X100 X X100 X X100 X X100 X X100 - 100

.

al 1981 vale

a₅ / a₄

a_b₊₁

a_b ×100 × a_b+2

a_b+1 ×100 ×!× a_t

a_t₋₁ ×100

t−b . −100

a₆ / a₅ a₁

a₅. / a₄

X 100 - 100

👇

(64)

Indici semplici a base mobile

Formalizzando

Date le grandezze

a

₁, ,...,

a

₂

a

₂

/ a

₁, ,...,

a

₃

/ a

₂

a

₆

/ a

₅

a_b+1

a_b ×100 × a_b+2

a_b+1 ×100 ×!× a_t

a_t₋₁ ×100

t−b . −100

a₅ / a₄ a₆ / a₅ a₅ / a₄

a₆ / a₅ a₃ / a₂

a₄ / a₃ a₃ / a₂

a₄ / a₃ a₁

a₂

X100 X X100 X X100 X X100 X X100 - 100

.

al 1981 vale a₅ / a₄

a_b₊₁

a_b ×100 × a_b+2

a_b+1 ×100 ×!× a_t

a_t₋₁ ×100

t−b . −100

a₆ / a₅ a₁

a₅. / a₄

X 100

(

^{- 1}

)

👇

(65)

Indici semplici a base mobile

Formalizzando

Date le grandezze

a

₁, ,...,

a

₂

a

₂

/ a

₁, ,...,

a

₃

/ a

₂

a

₆

/ a

₅

al 1981 vale

a_b₊₁

a_b ×100 × a_b+2

a_b+1 ×100 ×!× a_t

a_t₋₁ ×100

t−b . −100

a₆ / a₅ a₁

a.₅ / a₄

(

^{- 1}

)

⁼ ⁵ ^23.447^26.50126.501×100 −100 = 1,025 23.447

5 ^{- 1}×100 −100 = 1,025

(

⁵ ^23.447^26.501

)

×100 −100 = 1,025 26.501

23.447

5 ×100 −100 = 1,025

(66)

Esempio di crescita percentuale media nel tempo

Reddito medio annuo di 30.000 euro nel 2010 Reddito medio annuo di 50.000 euro nel 2012

valore finale

valore iniziale = 50.000

30.000 = 1,67

Indici semplici a base mobile

(67)

valore finale

30.000 = 1,67

Indici semplici a base mobile

Quale è la crescita percentuale media annua?

(68)

valore finale

30.000 = 1,67

L'intervallo temporale è di due anni dunque nella formula precedentemente determinata

crescita = valore finale valore iniziale

n −1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×100

Indici semplici a base mobile

Quale è la crescita percentuale media annua?

bisogna porre n = 2.

(69)

valore finale

30.000 = 1,67

Indici semplici a base mobile

x = 1,29 crescita = valore finale

valore iniziale

n −1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×100

valore finale

30.000 = 1,67

x = 1,29. x = 1,29

Antonio Azzollini antonio.azzollini@unibas.it Statistica

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