Appendice C. Si considerino le relazioni (4.16) e (4.17), ricavate nel capitolo 4, paragrafo 4.2:

Appendice C.

Si considerino le relazioni (4.16) e (4.17), ricavate nel capitolo 4, paragrafo 4.2:

2 2 44 5 0 0 ( , ) π ε ρ τ ⎛ ⎞ ∆ ≅ − ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∫∫

∫∫

Si noti che gli stress di taglio sono stati esplicitati come funzioni di x e di y, ma non di z. Si consideri l’espressione trovata per ∆r (paragrafo 4.2): _i

5 4 y x i z i z i j j r j j ρ ρ ⎛ ⎞ ⎛ ∆ ∝ ∆_{⎜ ⎟ ⎜}+ ∆ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠

Vi si sostituiscono i termini della (4.16) e della (4.17) e si trova:

2 2 2 44 0 0 ( , ) + ( , ) π ∆ ε _{⎡τ τ} ∆ = − ⋅ z⋅

_∫∫

Si ricordi, inoltre, che la resistenza totale è stata espressa come:

∑

Con la (C.1), la variazione di resistenza può essere scritta come: 2 2 2 44 2 0 0 0 2 2 2 44 2 0 0 lim N ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) t h z xz yz N z z t h z xz yz z R z x y x y A j l x y x y dxdy A j π ε _{τ τ} π ε _{τ τ} →∞ ∆ → ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎜ ⎟ ∆ = − ∆ ⋅ ⋅ ⋅ _{⎣ ⎦} = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ = − ⋅ ⋅ _{⎣ ⎦}

∫∫

∫∫

dove l è la lunghezza totale del resistore. Pertanto, si ricava: 2 2 2 44 0 2 0 0 2 2 2 44 2 0 0 ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) t h z xz yz z t h z xz yz z l R R x y x A j l l y dxdy x y x y dx A A j π ε _{τ τ} π ε ρ τ τ ⎡ ⎤ = − ⋅ ⋅ _{⎣ ⎦} ⎡ ⎤ = − ⋅ ⋅ _{⎣ ⎦}

∫∫

∫∫

∫∫

Procedendo con i calcoli:

2 2 2 44 0 0 1 ( , ) + ( , ) ε ρ π _{τ τ} = ⎡ ⎤ + ⋅

∫∫

Si può sviluppare in serie la funzione, pertanto si ottiene: 2 2 2 44 0 0 1 ( , ) + ( , ) ε _ρ⎧_⎪ π _{τ τ} ⎫_⎪ ⎡ ⎤ ≅ _⎨ − ⋅ _{⎣ ⎦ ⎬} ⎪ ⎪ ⎩

∫∫

E la resistenza totale risulta essere:

2 2 2 44 0 0 1 ( , ) + ( , ) ε _ρ ⎧_⎪ π _{τ τ} ⎫_⎪ ⎡ ⎤ = ≅ _⎨ − ⋅ _{⎣ ⎦ ⎬} ⎪ ⎪ ⎩

∫∫

Infine, si ottiene un’espressione per la variazione di resistenza:

2 2 2 44 0 0 ( , ) + ( , ) π ρ ⎡τ τ ⎤ ∆ ≅ −R l ⋅

∫∫

La ∆R può essere espressa anche nel seguente modo (si faccia riferimento alla formula (4.20) del capitolo 4):

(

)

Pertanto, si conclude esplicitando il termine τ_xz2 +τ_yz2 nel seguente modo:

2 2 2 2 0 0 1 ( , ) + ( , ) τ_xz+τ_yz = ⋅

_∫∫

Infine, si scrive la (C.2) come valor medio e si ottiene:

2 2 2 2

( , ) ( , )

τxz+τyz =⎡_⎣τxz x y +τyz x y _⎦⎤