Lezione 10 Teoremi energetici

(1)

Lezioni del corso di

Elementi di Meccanica Strutturale

Università del Salento

Corso di Laurea in Ingegneria Industriale

prof. ing. Riccardo Nobile

1

Lezione 10 – Teoremi energetici

(2)

Il legame univoco esistente tra lo stato di sforzo e di deformazione che si realizza all’interno di un corpo in equilibrio sotto l’azione dei carichi può essere espresso anche attraverso delle grandezze energetiche.

Il lavoro compiuto dai carichi applicati ad una struttura determina la nascita di una energia potenziale elastica all’interno del materiale.

Il legame che si viene a stabilire tra le varie grandezze energetiche può essere sfruttato per risolvere, attraverso una formulazione energetica, il problema della ricerca delle condizioni di equilibrio e della determinazione dello stato tensionale e deformativo di un sistema

Energia di deformazione elastica Definizioni

2

R. Nobile – Elementi di Meccanica Strutturale Teoremi energetici

Uni ver sità del Salento

(3)

Supponiamo di considerare un materiale elastico lineare. Sotto l’azione dei carichi applicati si determinerà all’interno del materiale uno stato di deformazione definito dal tensore E e il corrispondente stato di sforzo S.

Per ogni punto P del corpo, si può definire una funzione scalare, definita energia elastica specifica di deformazione φ(E):

Energia di deformazione elastica Definizioni

3

Uni ver sità del Salento

φ 𝐸 = 1

2𝑆 ∙ 𝐸 = 1

2 𝐶 𝐸 ∙ 𝐸 φ 𝐸 = 1

2 𝜎 ^𝑇 ∙ 𝜀 ∙= 1

2 𝜀 ^𝑇[𝐶] 𝜀

L’energia elastica specifica di deformazione φ(E) ha le dimensioni di un lavoro per unità di volume [J/m³]

(4)

In base alla definizione, è evidente che l’energia elastica specifica di deformazione φ(E) è nulla in corrispondenza di uno stato di deformazione nullo, ossia nella configurazione indeformata:

Energia di deformazione elastica Definizioni

4

Uni ver sità del Salento

^{φ 𝐸 =} ¹₂ ^𝜀 ^𝑇^{[𝐶] 𝜀}

L’energia elastica di deformazione W del dominio si otterrà integrando φ(E) su tutto il dominio D

L’energia elastica di deformazione W ha le dimensioni di un lavoro [J]

𝜀 = 0 → 𝜑 𝐸 = 0

𝑊 = φ 𝐸 𝑑𝑉 = 1

𝐷 2

𝜀 ^𝑇[𝐶] 𝜀 𝑑𝑉

𝐷

(5)

Energia di deformazione elastica Teorema di Clapeyron

5

Uni ver sità del Salento

Sia assegnata una condizione di vincolo e di carico e la corrispondente soluzione del problema elastico:

𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑢 ₁, 𝑣 ₁, 𝑤₁ ∀𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆_𝑣 𝑆𝑛 = 𝑞₁ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∀𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆_𝑙 𝑏 = 𝑏₁

𝑢₁ 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐸₁

𝑆₁

L’energia elastica di deformazione immagazzinata nel corpo è pari alla metà del lavoro compiuto dalle forze esterne in corrispondenza del campo di spostamento che assicura l’equilibrio

𝑊 𝐸 = 1

2 𝑞₁ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∙ 𝑢₁𝑑𝑆

𝑆_𝑙

+ 𝑏₁ ∙ 𝑢₁𝑑𝑉

𝐷

(6)

Energia di deformazione elastica Teorema di Clapeyron

6

Uni ver sità del Salento

Per spiegare come mai l’energia elastica di deformazione sia pari alla metà del lavoro compiuto dai carichi agenti in corrispondenza dello stato di spostamento ottenuto, si può considerare che il lavoro speso viene calcolato supponendo che i carichi siano costanti e pari al valore imposto durante il processo di deformazione del corpo, mentre nel calcolo dell’energia elastica si presuppone che i carichi varino proporzionalmente al procedere della deformazione.

𝑊 = 𝐹 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥𝑑𝑥

𝑢 0

= 1 2

𝑢 0

𝑘𝑢 ² = 1

2k𝑢 ∙ 𝑢 = 1

2𝐹 ∙ 𝑢

(7)

Energia di deformazione elastica Teorema di reciprocità di Betti

7

Uni ver sità del Salento

Siano assegnati due diverse condizioni di vincolo e di carico e le corrispondenti soluzioni:

1)

2)

𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑢 ₁, 𝑣 ₁, 𝑤₁ ∀𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆_𝑣1 𝑆𝑛 = 𝑞₁ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∀𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆_𝑙1 𝑏 = 𝑏₁

𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑢 ₂, 𝑣 ₂, 𝑤₂ ∀𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆_𝑣2 𝑆𝑛 = 𝑞₂ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∀𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆_𝑙2 𝑏 = 𝑏₂

𝑢₁ 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐸₁

𝑆₁

𝑢₂ 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐸₂

𝑆₂

(8)

Energia di deformazione elastica Teorema di reciprocità di Betti

8

R. Nobile – Elementi di Meccanica Strutturale Il problema elastico

Uni ver sità del Salento

Il teorema di reciprocità di Betti afferma che il lavoro compiuto dai carichi agenti sullo stato 1 in corrispondenze del campo di spostamento dello stato 2 coincide con il lavoro compiuto dai carichi agenti sullo stato 2 in corrispondenza del campo di spostamento dello stato 1

𝐿₁₂ = 𝑞₁ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∙𝑢₂𝑑𝑆

𝑆_𝑙

+ 𝑏₁ ∙𝑢₂𝑑𝑉

𝐷

𝐿₂₁ = 𝑞₂ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∙ 𝑢₁𝑑𝑆

𝑆_𝑙

+ 𝑏₂ ∙ 𝑢₁𝑑𝑉

𝐷

𝐿₁₂ = 𝐿₂₁

(9)

Energia di deformazione elastica Teorema di reciprocità di Betti

9

Uni ver sità del Salento

Il teorema di reciprocità

di Betti è una

conseguenza del fatto che, ai fini del calcolo del lavoro conseguente all’applicazione di due carichi, è irrilevante la sequenza di applicazione dei carichi.

𝑊₂₃ = 1

2𝐹₂𝑢₂ + 1

2𝐹₃𝑢₃ + 𝐹₂𝑢₃ 𝑊₃₂ = 1

2𝐹₃𝑢₃ + 1

2𝐹₂𝑢₂ + 𝐹₃𝑢₂ 𝑊₂₃ = 𝑊₃₂ 𝐹₂𝑢₃ = 𝐹₃𝑢₂

(10)

Principio dei lavori virtuali Enunciato generale

10

Uni ver sità del Salento

Sia assegnato un corpo in materiale lineare elastico in equilibrio sotto l’azione dei carichi e dei vincoli:

𝑑𝑖𝑣𝑆 + 𝑏 = 0

𝑆𝑛 = 𝑞 ∀𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆

Sia definito un qualsiasi campo di spostamento congruente u_v e il corrispondente stato di deformazione rappresentato dal tensore E_v:

𝑢_𝑣 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∀𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐷

𝐸_𝑣 = 𝐸 = 1

2 𝐷𝑢_𝑣 + 𝐷𝑢_𝑣^𝑇

Il campo di spostamento u_v è detto virtuale in quanto non coincide con il campo di spostamento soluzione del problema elastico ma è un qualsiasi campo di spostamento congruente

(11)

Principio dei lavori virtuali Enunciato generale

11

Uni ver sità del Salento

Si definisce il lavoro virtuale interno L_vint il lavoro che lo stato tensionale S presente nel corpo compirebbe in relazione allo stato di deformazione E_v corrispondente allo spostamento virtuale u_v:

𝐿_{𝑣𝑖𝑛𝑡} = 𝑆 ∙ 𝐸_𝑣𝑑𝑉

𝐷

Il principio dei lavori virtuali afferma che il lavoro virtuale interno L_vint è uguale al lavoro virtuale esterno L_vest:

Si definisce il lavoro virtuale esterno L_vest il lavoro che il sistema di carichi applicati al corpo compirebbe in relazione al campo di spostamento virtuale u_v:

𝐿_{𝑣𝑒𝑠𝑡} = 𝑞 ∙ 𝑢_𝑣𝑑𝑆

𝑆

+ 𝑏 ∙ 𝑢_𝑣

𝐷

𝑑𝑉

𝐿_{𝑣𝑖𝑛𝑡} = 𝐿_{𝑣𝑒𝑠𝑡}

(12)

x y

z

c Cⁱ q

Pⁱ

Principio dei lavori virtuali

Enunciato per una trave rettilinea

12

Uni ver sità del Salento

Consideriamo una trave rettilinea nello spazio in equilibrio in relazione ad un sistema di carichi qualsiasi. In generale i carichi presenti potranno essere i seguenti:

- carichi distribuiti - coppie distribuite

- carichi concentrati (sia attivi che reattivi) - coppie concentrate (sia attive che reattive)

𝑞 = (𝑞_𝑥, 𝑞_𝑦, 𝑞_𝑧) 𝑐 = (𝑐_𝑥, 𝑐_𝑦, 𝑐_𝑧)

𝑃_𝑖 = (𝑃_𝑥𝑖, 𝑃_𝑦𝑖, 𝑃_𝑧𝑖) 𝐶 _𝑖 = (𝐶_𝑥𝑖, 𝐶_𝑦𝑖, 𝐶_𝑧𝑖)

(13)

Principio dei lavori virtuali

Enunciato per una trave rettilinea

13

Uni ver sità del Salento

In corrispondenza del sistema di carichi assegnato, si determinerà uno stato di sollecitazione interno definito dagli spostamenti e dalle caratteristiche di sollecitazione:

- sforzo normale - taglio

- momento torcente - momento flettente - spostamenti

- rotazioni

𝑁

𝑇 = (𝑇_𝑦, 𝑇_𝑧) 𝑀_𝑡

𝑀_𝑓 = (𝑀_𝑓𝑦, 𝑀_𝑓𝑧)

x y

z

c Cⁱ q

Pⁱ

𝑢 = (𝑢, 𝑣_𝑀 + 𝑣_𝑇, 𝑤_𝑀 + 𝑤_𝑇) 𝛽 = (𝜃, 𝜑_𝑦, 𝜑_𝑧)

(14)

Principio dei lavori virtuali

Enunciato per una trave rettilinea

14

Uni ver sità del Salento

Si può ora definire uno stato di spostamento qualsiasi per il sistema purché congruente. Tale stato di spostamento, le corrispondenti deformazioni e il sistema di carichi che le determina, saranno detti virtuali proprio perché non sono legati alla condizione di equilibrio del sistema. Per distinguerle dalle grandezze reali saranno indicate con un (*):

- spostamenti - rotazioni

𝑢^∗ = (𝑢^∗, 𝑣_𝑀^∗ + 𝑣_𝑇^∗, 𝑤_𝑀^∗ + 𝑤_𝑇^∗) 𝛽 ^∗ = (𝜃^∗, 𝜑_𝑦^∗, 𝜑_𝑧^∗)

x y

z

c Ci q

Pⁱ

(15)

x y

z

c Cⁱ q

Pⁱ

Principio dei lavori virtuali

Enunciato per una trave rettilinea

15

Uni ver sità del Salento

Lo stato di spostamento virtuale sarà ovviamente il risultato di un sistema di carichi anch’esso virtuale e quindi identificato con (*):

- carichi distribuiti - coppie distribuite

- carichi concentrati (sia attivi che reattivi) - coppie concentrate (sia attive che reattive)

𝑞 ^∗ = (𝑞_𝑥^∗, 𝑞_𝑦^∗, 𝑞_𝑧^∗) 𝑐 ^∗ = (𝑐_𝑥^∗, 𝑐_𝑦^∗, 𝑐_𝑧^∗)

𝑃_𝑖^∗ = (𝑃_𝑥𝑖^∗ , 𝑃_𝑦𝑖^∗ , 𝑃_𝑧𝑖^∗ ) 𝐶 _𝑖^∗ = (𝐶_𝑥𝑖^∗ , 𝐶_𝑦𝑖^∗ , 𝐶_𝑧𝑖^∗ )

(16)

- torsione

- flessione piano xy

- flessione piano xz

Principio dei lavori virtuali

Enunciato per una trave rettilinea

16

Uni ver sità del Salento

In corrispondenza del sistema di spostamenti virtuale scelto, si determinerà uno stato di deformazione individuato dalle caratteristiche di deformazione:

- sforzo normale

- taglio piano xy

- taglio piano xz

𝜀^∗ = 𝑁^∗ 𝐸𝐴 𝛿_𝑦^∗ = 𝑇_𝑦^∗

𝐺𝐴/𝜒

𝛾^∗ = 𝑀_𝑡^∗ 𝐺𝐽₀/𝑞 1

𝜌_𝑦^∗ = 𝑀_𝑓𝑧^∗ 𝐸𝐽_𝑧 1

𝜌_𝑧^∗ = 𝑀_𝑓𝑦^∗ 𝐸𝐽_𝑦 𝛿_𝑧^∗ = 𝑇_𝑧^∗

𝐺𝐴/𝜒

(17)

Principio dei lavori virtuali

Enunciato per una trave rettilinea

17

Uni ver sità del Salento

Il lavoro virtuale esterno sarà dato dalla seguente espressione:

𝐿_{𝑣𝑒𝑠𝑡} = 𝑞_𝑥^∗𝑢 + 𝑞_𝑦^∗𝑣 + 𝑞_𝑧^∗𝑤 + 𝑐_𝑥^∗𝜃 + 𝑐_𝑦^∗𝜑_𝑧 + 𝑐_𝑧^∗𝜑_𝑦 𝑑𝑥

Γ

+ + 𝑃_𝑥𝑖^∗ 𝑢_𝑖 + 𝑃_𝑦𝑖^∗ 𝑣_𝑖 + 𝑃_𝑧𝑖^∗ 𝑤_𝑖

𝑖

+ 𝐶_𝑥𝑖^∗ 𝜃_𝑖 + 𝐶_𝑦𝑖^∗ 𝜑_𝑧𝑖 + 𝐶_𝑧𝑖^∗ 𝜑_𝑦𝑖

𝑖

𝐿_{𝑣𝑖𝑛𝑡} = 𝑁𝜀^∗ + 𝑀_𝑓𝑦 ∙ 1

𝜌_𝑧^∗ + 𝑀_𝑓𝑧 ∙ 1

𝜌_𝑦^∗ + 𝑇_𝑦𝛿_𝑦^∗ + 𝑇_𝑧𝛿_𝑧^∗ + 𝑀_𝑡𝛾^∗ 𝑑𝑥

Γ

(18)

Principio dei lavori virtuali

Enunciato per una trave rettilinea

18

Uni ver sità del Salento

Il lavoro virtuale interno sarà dato dalla seguente espressione:

𝐿_{𝑣𝑖𝑛𝑡} = 𝑁𝜀^∗ + 𝑀_𝑓𝑦 ∙ 1

𝜌_𝑧^∗ + 𝑀_𝑓𝑧 ∙ 1

𝜌_𝑦^∗ + 𝑇_𝑦𝛿_𝑦^∗ + 𝑇_𝑧𝛿_𝑧^∗ + 𝑀_𝑡𝛾^∗ 𝑑𝑥

Γ

Tenendo conto delle relazioni costitutive per le travi, è possibile esprimere le caratteristiche di deformazione virtuale in funzione di caratteristiche di sollecitazioni virtuali:

𝜀^∗ = 𝑁^∗ 𝐸𝐴 𝛾^∗ = 𝑀_𝑡^∗

𝐺𝐽₀/𝑞

𝛿_𝑦^∗ = 𝑇_𝑦^∗ 𝐺𝐴/𝜒 𝛿_𝑧^∗ = 𝑇_𝑧^∗

𝐺𝐴/𝜒

1

𝜌_𝑦^∗ = 𝑀_𝑓𝑧^∗ 𝐸𝐽_𝑧 1

𝜌_𝑧^∗ = 𝑀_𝑓𝑦^∗ 𝐸𝐽_𝑦

(19)

Principio dei lavori virtuali

Enunciato per una trave rettilinea

19

Uni ver sità del Salento

Il lavoro virtuale interno sarà quindi dato dalla seguente espressione:

𝐿_{𝑣𝑖𝑛𝑡} = 𝑁 𝑁^∗

𝐸𝐴 + 𝑀_𝑓𝑦 ∙ 𝑀_𝑓𝑦^∗

𝐸𝐽_𝑦 + 𝑀_𝑓𝑧 ∙ 𝑀_𝑓𝑧^∗

𝐸𝐽_𝑧 + 𝑇_𝑦 𝑇_𝑦^∗

𝐺𝐴/𝜒 + 𝑇_𝑧 𝑇_𝑧^∗

𝐺𝐴/𝜒 + 𝑀_𝑡 𝑀_𝑡^∗

𝐺𝐽₀/𝑞 𝑑𝑥

Γ

Anche nel caso di una trave, il principio dei lavori virtuali afferma che il lavoro virtuale interno L_vint è uguale al lavoro virtuale esterno L_vest:

𝐿_{𝑣𝑖𝑛𝑡} = 𝐿_{𝑣𝑒𝑠𝑡}

(20)

Teoremi energetici Teorema di Castigliano

20

Uni ver sità del Salento

Considerando l’uguaglianza dei lavori interni ed esterni si ha:

La derivata rispetto alla forza P_i del lavoro prodotto da tale forza coincide proprio con la freccia v_i che tale forza determina sulla struttura:

𝑣_𝑖 = 𝑑𝐿_𝑒

𝑑𝑃_𝑖 = 𝑑𝐿_𝑖 𝑑𝑃_𝑖 𝐿_𝑒 = 𝑃_𝑖𝑣_𝑖 → 𝑑𝐿_𝑒

𝑑𝑃_𝑖 = 𝑣_𝑖 𝐿_𝑖 = 𝑁 𝑁

𝐸𝐴 + 𝑀_𝑓𝑦 ∙ 𝑀_𝑓𝑦

𝐸𝐽_𝑦 + 𝑀_𝑓𝑧 ∙ 𝑀_𝑓𝑧

𝐸𝐽_𝑧 + 𝑇_𝑦 𝑇_𝑦

𝐺𝐴/𝜒 + 𝑇_𝑧 𝑇_𝑧

𝐺𝐴/𝜒 + 𝑀_𝑡 𝑀_𝑡

𝐺𝐽₀/𝑞 𝑑𝑥

Γ

𝐿_𝑒 = 𝐿_𝑖 → 𝑣_𝑖 = 𝑑𝐿_𝑖 𝑑𝑃_𝑖