Algebra B: Prova 1
1. Consideriamo i seguenti elementi di S6: σ : 1 2 3 4 5 6
2 5 6 3 1 4, π : 1 2 3 4 5 6 5 3 2 4 1 6.
Esprimere σ, π come prodotto di cicli disgiunti e calcolare σπ (come prodotto di cicli disgiunti).
2. Consideriamo un mulino con quattro pale che vengono colorate con q colori. Due colorazioni sono equivalenti se una pu`o essere ottenuta dalla altra tramite una rotazione del mulino. Derivare una formula, in termini di q, per il numero di colorazioni non equivalenti.
3. Sia G un gruppo finito e g ∈ G. Dimostrare che l’ordine di g divide
|G|.
4. Sia G un gruppo.
(a) Dimostrare che g ·h = ghg−1definisce una azione di G su se stesso.
(b) Sia h ∈ G di ordine m (finito). Dimostrare che anche g · h ha ordine m (per ogni g ∈ G).
(c) Adesso sia G = D3 e X l’insieme degli elementi di G di ordine 2.
Trovare tutti gli elementi di X.
(d) Da (a) e (b) concludere che g · h = ghg−1 definisce una azione di G su X.
(e) Sia f : G → SX l’omomorfismo che corrisponde all’azione di G su X. Scrivere f (g) come prodotto di cicli disgiunti, per ogni g ∈ G eccetto l’elemento neutro.
(f) Dimostrare che f `e un isomorfismo.
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