Distribuzioni continue
• Definizione
La variabile casuale X ha distribuzione uniforme nell’intervallo [a,b] se la sua funzione di densità di probabilità è data da:
( )
≤ ≤
= −
altrove 0
1 per
b x a a
x b f
XDistribuzioni uniforme
x
fx(x)
a b
Distribuzioni uniforme
Media
[ ] x = = ∫
−+∞∞x ⋅ f x dx =
E µ
x x( )
=
⋅ +
⋅ +
⋅
= ∫
−∞∫ ∫
b+∞ xb
a x
a
x
x dx x f x dx x f x dx
f
x ( ) ( ) ( )
=
⋅
− +
⋅ +
⋅
= ∫
−∞∫ ∫
b+∞b a
a
dx x dx
a x b
dx
x 1 0
0
=
= −
= − ∫
b
a b
a
x a dx b
a x
b 2
1
1
2( )( )
( ) 2
2 2
1
2 2b a
a b
a b a b a
b a b
= +
− +
= −
−
= −
Distribuzioni uniforme
Varianza
2 2
2 x
( )
xx
x f x dx µ
σ = ∫
−+∞∞⋅ −
=
⋅ +
⋅ +
⋅ ∫ ∫
∫
−∞ b+∞ xb
a x
a
x
x dx x f x dx x f x dx
f
x
2( )
2( )
2( )
=
⋅
− +
⋅ +
⋅
= ∫
−∞∫ ∫
b+∞b a
a
dx x dx
a x b
dx
x
20
21
20
=
= −
= − ∫
b
a b
a
x a dx b
a x
b 3
1
1
2 3( ) ( )
( ) 3
3 3
1
3 3 2 2b
2ab a
2a b
a ab b
a b a
b a b
+
= +
− + +
= −
−
= −
Distribuzioni uniforme
Varianza
2 2
2 x
( )
xx
x f x dx µ
σ = ∫
−+∞∞⋅ −
=
− + +
= +
2 2 2 2
2 3
a b a
ab b
σ
x+ =
− + +
= +
4 2 3
2 2
2
2
ab a b ab a
b
( ) ( )
12
3 6
3 4
4
4 b
2+ ab + a
2− b
2+ ab + a
2=
( )
12 12
2
2 22
ab a b a
b − + = −
=
Distribuzione esponenziale
• Definizione
La variabile casuale X ha distribuzione esponenziale (negativa) se la sua funzione di densità di probabilità è data da:
( )
< ≥
= ⋅
− ⋅0 per 0
0 per
x x x e
f
Xλ
λxcon:
0 cioè >
∈
+λ
λ R
Distribuzione esponenziale
Si dimostra che:
[ ] X = µ
x= λ 1
E
21
2σ
x= λ
x
fx(x)
0
Trasformazione di variabile casuale Y=g(X)
Ci siamo già occupati del problema riguardante una variabile casuale Y funzione di una assegnata variabile casuale X
Un teorema ci consente di calcolare la funzione di densità di probabilità di Y nota la funzione di densità di probabilità di X ed il legame fra Y ed X, cioè Y=g(X)
Trasformazione di variabile casuale Y=g(X)
• Teorema
Sia X una variabile casuale continua con funzione di densità di probabilità fx(x). La variabile casuale Y=g(X) è continua ed inoltre
( ) g ( ) y f ( g ( ) y )
dy y d
f
y=
−1⋅
x −1dove y=g(x) è una trasformazione biunivoca da Dx in Dye
( ) y y D
ydy g
d
−1> 0 e continua ∀ ∈
Trasformazione di variabile casuale Y=g(X)
x
fx(x) y
Y=g(X)
fx(x)
Trasformazione di variabile casuale Y=g(X)
• Osservazione
Decomponendo Dx in un insieme di sottoinsiemi Dxi
disgiunti tali per cui y=g(x) sia biunivoca fra ciascun Dxie Dyiallora
( ) = ∑
−( ) ⋅ ( − ( ) )
i i x i
y
g y f g y
dy y d
f
1 1Distribuzione normale (di Gauss)
• Definizione
La variabile casuale X ha distribuzione normale se la sua funzione di densità di probabilità è data da:
( )
2
2 1
2
1
− − = ⋅
σµ
σ π
x
X
x e
f
Distribuzione normale (di Gauss)
Si dimostra che:
[ ] X = µ
x= µ
E σ
x2= σ
2x
fx(x)
Distribuzione normale standardizzata
La variabile casuale X con distribuzione normale tale per cui
( )
21 22
1
xX
x e
f =
−π
1
0 =
= σ
µ
Viene chiamata variabile casuale normale standardizzata e comunemente è indicata con Z
