2) Dimostrare che la successione a n = n!

Esercizi di Analisi Matematica 1 26 ottobre 2016

Successioni

1) Trovare un esempio di una successione {a n } che non `e decrescente e tale che a _n → 0 ⁺ .

2) Dimostrare che la successione a _n = n!

2 ⁿ per n ≥ 1

` e monotona crescente.

3) Calcolare i seguenti limiti:

• lim

n→+∞

sin(n ² ) n ² + 4

• lim

n→+∞

n ³ − 3n + √ n (n + 1) ³

• lim

n→+∞ (−n √

n + 3n)

• lim

n→+∞ 3 ln n + (−1) ⁿ

• lim

n→+∞

2 ⁿ 3n ³ − n + 5

• lim

n→+∞ − log ₁₀ n + √ n

• lim

n→+∞

2 ⁿ − ln n 3n ³ − n + 5

• lim

n→+∞

5 ⁿ + n ³ n!

• lim

n→+∞

√ 2n − 1

n log ₁₀ n

• lim

n→+∞

(ln n) ⁴ n

• lim

n→+∞

 n + 1 2n

 n

• lim

n→+∞

√ n ² + 2n n + 1

√

n ⁴ + n ² + 1 − n ²

• lim

n→+∞

1 n

p n + 2 + sin(n ³ )

• lim

n→+∞

√

2 + sin n

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Esercizi di Analisi Matematica 1 26 ottobre 2016

4) Calcolare

n→+∞ lim

 n ² + 5 n ²

 n

. 5) Al variare del parametro α ∈ R, calcolare

n→+∞ lim

√ n ⁴ + n ³ − √

n ⁴ − n ³

n ^α + n .

6) Determinare per quali valori del parametro α ∈ R la successione a _n = (n + √

n) ^α 3n ⁵ + 2 ln n

` e infinitesima.

7) ` E data la successione definita per ricorrenza:





 a 0 = 1 a _n+1 = a n

a _n + 1 per n ≥ 0.

Usando il principio di induzione, dimostrare che a _n > 0 per ogni n.

Dimostrare quindi che la successione ` e strettamente decrescente. Infine, provare che

n→+∞ lim a _n = 0.

8) ` E data la successione definita per ricorrenza:



 

 

a ₀ = 1 4 a _n+1 = a _n

2 + 1

4 per n ≥ 0.

Usando il principio di induzione, dimostrare che a _n < 1

2 per ogni n.

Dimostrare quindi che la successione ` e strettamente crescente. Infine, provare che

n→+∞ lim a n = 1 2 . 9) Dimostrare che la successione

a _n = n ² − √

n − ln n 2n ² − n + 2 sin(3n ³ + 1)

` e definitivamente positiva (suggerimento: usare il Teorema di permanen- za del segno – prima forma).

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