STIMA DEI PARAMETRI.

(1)

!

(2)

!

(3)

1 STIMA DEI PARAMETRI.

Esistono diversi metodi per la stima dei parametri:

! Metodo grafico di interpolazione su carta probabilistica.

! Metodo dei momenti.

! Metodo della massima verosimiglianza.

! Metodo degli L-Momenti.

METODO DEI MOMENTI.

Consiste semplicemente nell’eguagliare i momenti della popolazione ai momenti della serie.

Poiché i momenti della popolazione sono funzione dei parametri, basta considerare tanti momenti

quanti sono i parametri da stimare e risolvere un sistema di r equazioni in r incognite ( r :

numero dei parametri da stimare) dando ovviamente preferenza ai momenti di ordine minore.

(4)

2 1. DISTRIBUZIONE NORMALE.

Due parametri da stimare µ ^e ! ^.

[ ] ^x ⁼ ^µ

E

[ ]

²

var x = !

A partire dai valori ( X

₁

, X

₂

,... X

n

) della serie si calcola:

! n

x ₌ ! x

ⁱ

! 1

)

(

²

2

!

= " ! n

x

s x

ⁱ

Sistema di due equazioni in due incognite:

= x

µ ^ˆ ! ˆ

²

= s

²

(5)

3 2. DISTRIBUZIONE LOG – NORMALE.

X Y = ln

Due parametri: µ

_y

^e !

_y

Due momenti della popolazione: µ

_X

^e !

X²

^:

!

²

2 ln

_X

1

_Y

Y

µ !

µ = "

! !!

"

#

$$ %

&

+

=

₂

2

ln 1

2 X X

Y

µ

' '

Dalla serie di dati ( X

₁

, X

₂

,... X

n

) :

!

ⁱ _X

n

x = ! x = µ ^ˆ

!

²

2

ˆ

1 ) (

x i

X

n

x

s x = !

"

= #

Sistema di due equazioni in due incognite:

ˆ

2

2 ln 1

ˆ

_Y

x !

_Y

µ = " !!

"

#

$$ %

&

+

=

₂

2

ln 1

2

ˆ x

s

_x

'

y

(6)

4 DISTRIBUZIONE EV1 o DI GUMBEL.

Due parametri da stimare: ! ed "

Due momenti della popolazione:

[ ] x = µ = " + ⁰ ^. ⁵⁷⁷²² !

E

[ ]

²

₆

²₂

var !

"

# =

x =

Dal sistema di 2 equazioni in 2 incognite:

! µ

" = # ⁰ ^. ⁴⁵⁰

!

"

#

6 1 =

(7)

5 METODO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIANZA.

Consiste nel determinare i valori dei parametri in modo da massimizzare la funzione di verosimiglianza:

) ( )...

( ) ( )

,...

,

; ,...

,

( x

₁

x

₂

x

_n ₁ ₂ _r

f

_x

x

₁

f

_x

x

₂

f

_x

x

_n

V ! ! ! =

che è la funzione di densità congiunta del campione per osservazioni indipendenti.

La stima dei parametri !

1

^, !

2

^,... !

_n

si ottiene dal sistema di r equazioni in r incognite.

0 ) ,...

,

; ,...

,

(

₁ ₂ _n ₁ ₂ _r

=

i

x x

V x

!

"! !

" i = 1 , 2 ,... , r

(8)

Stima di Massima Verosimiglianza: Distribuzione normale

verificata se

(9)

Stima di Massima Verosimiglianza: Distribuzione di Gumbel

con n=numero di dati del campione.

Il valore a primo membro è determinato sulla base di un valore di tentativo assegnato al secondo membro. Il procedimento si arresta quando i due valori differiscono di una quantità inferiore alla tolleranza assegnata (per es. 0.001 per θ

₂

).

Il primo valore di tentativo potrà essere quello derivante dalla stima dei momenti.

La correzione che si può apportare ad ogni tentativo per accelerare la convergenza

può essere quella suggerita da Gumbel:

(10)

L-momenti

Gli L-momenti sono un modo alternativo di descrivere la forma delle distribuzioni di probabilit`a.

Derivano dai probability weighted moments (PWM) o momenti pesati in probabilit`a.

Per una variabile casuale x con funzione di probabilit`a cumulata F (x) si ha

M _{p,r ,s} = E [x ^p {F (x)} ^r {1 F (x) } ^s ]

D. Ganora L-momenti 2

(11)

L-momenti vs momenti

r = M _{1,r ,0} = E [x {F (x)} ^r ]

Z inf inf

x {F (x)} ^r · f (x)dx

M _r = E [(x µ(x)) ^r ]

Z inf inf

(x µ(x)) ^r · f (x)dx

PWM ! lineari nella variabile casuale (la x non `e mai elevata a potenza, ma lo `e solo F (x))

Momenti ! la x `e elevata a potenza per r > 1

D. Ganora L-momenti 3

(12)

L-momenti

I PWM possono essere usati per stimare i parametri di una distribuzione, ma sono difficili da interpretare direttamente come misure di dispersione, forma, ...

Tali informazioni sono per`o presenti in particolari combinazioni di PWM

1 = ₀ ! media

2 = 2 ₁ ₀ ! dispersione

3 = 6 ₂ 6 ₁ + ₀ ! asimmetria

4 = 20 ₃ 30 ₂ + 12 ₁ ₀

D. Ganora L-momenti 4

(13)

Coefficienti adimensionali

⌧ = ²

1 ! L-CV

⌧ ₃ = ³

2 ! L-skewness

⌧ ₄ = ⁴

2 ! L-kurtosis

in generale ⌧ _r = ^r

1 D. Ganora L-momenti 5

(14)

Propriet`a

esistenza se la media della distribuzione esiste, allora esistono tutti gli L-momenti

unicit`a se la media della distribuzione esiste, allora gli L-momenti definiscono in maniera univoca la

distribuzione (non ci sono due distribuzioni con gli stessi L-momenti)

I 2 0

I |⌧ ^r | < 1 per tutti r 3

I 1

4 (5⌧ ₃ ² 1)  ⌧ ⁴ < 1

I per distribuzioni che assumono solo valori positivi ⌧ ₃ `e limitato in funzione di ⌧ 2⌧ 1  ⌧ ³ < 1

D. Ganora L-momenti 10

(15)

L-momenti

Notazione:

x ₁ , x ₂ , . . . , x _i . . . x _n campione

x ₍₁₎  x ⁽²⁾  . . .  x ⁽ⁱ⁾  . . .  x ⁽ⁿ⁾ campione ordinato in senso crescente

x _1:n  x ^2:n  . . .  x ^i:n  . . .  x ^n:n campione ordinato in senso crescente

D. Ganora L-momenti 6

(16)

PWM campionari

b ₀ = 1 n

X n j=1

x _j:n

b ₁ = 1 n

X n j=2

(j 1)

(n 1) x _j:n

b ₂ = 1 n

X n j=3

(j 1)(j 2)

(n 1)(n 2) x _j:n

b _r = 1 n

X n j=r +1

(j 1)(j 2) . . . (j r )

(n 1)(n 2) . . . (n r ) x _j:n

D. Ganora L-momenti 12

(17)

L-momenti campionari

l ₁ = b ₀

l ₂ = 2b ₁ b ₀

l ₃ = 6b ₂ 6b ₁ + b ₀

l ₄ = 20b ₃ 30b ₂ + 12b ₁ b ₀

D. Ganora L-momenti 13

(18)

3 Diagramma diagnostico di Hosking e Wallis

(19)

4 Stima dei parametri di alcune distribuzioni mediante gli L-momenti

La procedura per la stima dei parametri è analoga a quella utilizzata nel metodo dei momenti:

gli L-momenti teorici vengono equiparati a quelli campionari. Invertendo la relazione tra parametri e L-momenti si ottengono i parametri.

STIMA DEI PARAMETRI.

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