LE FUNZIONIPARTE IIAndrea Prevete, 2016-2017

LE FUNZIONI

PARTE II

Andrea Prevete, 2016-2017

FUNZIONI REALI

Abbiamo già visto come il diagramma cartesiano o grafico di una funzione numerica reale (una funzione, ricordo, avente per dominio e codominio due sottoinsiemi di R) costituisca la sua rappresentazione più immediata e significativa.

Supponiamo ora data la funzione

Costruiamo il grafico per punti, ossia scegliendo qualche

punto del dominio (x) e calcolando il corrispondente valore

(y).

GRAFICO

𝟑

-2 = -3

-1 = 2

0 = 1

1 = 0

2 = 5

I punti sono veramente pochi perché possiamo farci un’idea del grafico complessivo

della funzione!

GRAFICO

x f(x)

-2,0 -3

-1,8 -1,232

-1,6 0,104

-1,4 1,056

-1,2 1,672

-1,0 2

-0,8 2,088

-0,6 1,984

-0,4 1,736

-0,2 1,392

0,0 1

0,2 0,608

0,4 0,264

0,6 0,016

0,8 -0,088

1,0 0

1,2 0,328

1,4 0,944

1,6 1,896

1,8 3,232

2,0 5

Se calcoliamo il valore della funzione per un numero maggiore di punti del dominio - per esempio per tutti i valori di x fra -2 e +2 con incremento pari a 0.2 – otteniamo un numero di punti del grafico sufficienti a

delinearne la forma (vedi la parte tratteggiata). In realtà nel completare il grafico con la parte tratteggiata stiamo facendo l’ipotesi che la nostra funzione, nelle parti dove non

l’abbiamo calcolata, si comporti in

maniera «educata» proseguendo il

percorso senza fare salti improvvisi e

senza lasciare buchi!!

Non ci fidiamo e

determiniamo ancora più punti del grafico, per

esempio incrementando di volta in volta x di appena 0.05;

Questa volta i punti calcolati sono veramente tanti e

coincidono così bene con la linea che avevamo

tratteggiato da indurci a pensare che anche se continuassimo non avremmo sorprese!

GRAFICO

CONTINUITA’ E DISCONTINUITA’

Il grafico della funzione che stiamo esaminando è, in sintesi, una linea continua – senza

interruzioni o altre irregolarità.

Una funzione che si comporta così è detta, appunto, continua.

Nella figura a fianco mostriamo una funzione discontinua in tre punti, laddove il grafico si

presenta interrotto perché manca il valore della funzione stessa oppure c’è una brusca variazione negativa o positiva.

Qui c’è un salto negativo della

funzione

Qui c’è un salto positivo della

funzione Qui la funzione ha un

buco

Funzioni polinomiali

Le funzioni che hanno una forma del tipo y = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² +…+ a _n x ⁿ

(a _{0 ,} a _{1 , ..,} a _n sono numeri reali qualsiasi ed n è un intero positivo)

sono dette polinomiali e presentano tutte la caratteristica che abbiamo

appena visto. Sono cioè continue in tutto il dominio e, quindi, il loro grafico è una linea senza interruzioni o altre irregolarità.

Avendo, quindi, a disposizione uno strumento di calcolo automatico (per esempio un foglio elettronico) è semplice impostare il calcolo di un congruo numeri di punti e ricavare il grafico.

Questa modalità di «studio» della funzione è detta numerica.

FUNZIONI POLINOMIALI

Funzioni polinomiali

Non sempre però l’approccio numerico consente di dedurre nel modo più naturale ed efficace le proprietà che caratterizzano una data funzione.

Sia data la funzione f: y = x ³ -5x, notiamo che la sua formula contiene solo potenze dispari di x. Proviamo a sostituire ad x il suo opposto –x:

f(-x) = (-x) ³ -5(-x) = -x ³ +5x = - (x ³ -5x) = -f(x).

Abbiamo, cioè, ragionando solo sulle caratteristiche algebriche

dell’espressione che esprime la funzione, dedotto una proprietà fondamentale del suo grafico: per ogni suo punto P(x, f(x)) possiamo tracciare un secondo punto Q(-x, -f(x)) che è il suo simmetrico rispetto al punto origine O.

Una proprietà analoga vale per le funzioni con sole potenze pari di x.

FUNZIONI PARI E DISPARI

Funzioni polinomiali FUNZIONI PARI E DISPARI

f: y = x ³ -5x

FUNZIONE «DISPARI»

f(x) = - f(-x)

f: y = x ⁴ -5x ² +1

FUNZIONE «PARI»

f(x) = f(-x)

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

x y

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

x y

Funzioni polinomiali

Sia data la funzione f: y = x ³ + x ² - 2x. Essa avrà valori positivi o nulli quando y  0, cioè quando x ³ + x ² - 2x  0. Risolviamo la disequazione:

x(x ² + x – 2)  0

x  ₀ x ² + x – 2  0 x(x ² + x – 2)  0

Chiamiamo i punti x1=-2, x2=0, x3=1 ZERI della funzione. Gli intervalli -2<x<0 e x>1 costituiranno la parte del dominio dove la funzione è POSITIVA, gli

intervalli x<-2 e 0<x<1 quella dove è NEGATIVA.

SEGNO E ZERI DI UNA FUNZIONE

-2 0 1

- - -

+

+

-

+ +

- ⁺ - ⁺

Funzioni polinomiali ZERI E SEGNO DI UNA FUNZIONE

ZERO ZERO ZERO

+ +

- -

y = x ³ + x ² - 2x

Funzioni polinomiali FUNZIONI LISCE

Consideriamo ancora la funzione f: y = x

+ x

- 2x.

Prendiamo in esame un punto qualsiasi del suo grafico, per esempio P(1,0). Per questo punto P è possibile tracciare la tangente geometrica al grafico (la retta rossa nella figura a fianco). Questa è un’altra caratteristica notevolissima delle funzioni polinomiali: è possibile tracciare la tangente al grafico in ogni suo punto!

Diremo anche che le funzioni polinomiali sono «lisce»

ovunque.

Il fatto che in P esista la tangente al grafico consente di approssimare, con un errore piccolo a piacere, una porzione di curva a sinistra e a destra di P con un segmento di

tangente.

Il termine piccolo a piacere significa che posso ridurre l’errore quanto voglio prendendo porzioni di curva più piccole.

P

Funzioni apolinomiali PUNTI ANGOLOSI

La proprietà che abbiamo appena descritto non è affatto scontata!

Guardiamo per esempio il grafico a destra. E’ sicuramente il grafico di una funzione continua, infatti è una curva senza interruzioni o salti.

Però nel punto P la curva non è «liscia».

La retta t1 approssima bene la curva a destra di P, la retta t2 a sinistra.

Non c’è modo di ottenere una buona approssimazione da ambo i lati usando

P

t1

t2

una sola retta.

I punti di questo tipo sono detti «angolosi».

Funzioni polinomiali PUNTI DI STAZIONARIETA’

Consideriamo ancora la funzione f: y = x

+ x

- 2x ed il suo grafico.

Nei 4 punti rappresentati in figura la tangente al grafico rende evidente i diversi comportamenti della funzione.

In P è crescente, in R decrescente,

In Q ed S stazionaria, cioè né decrescente né

crescente.

Q ed S sono anche detti punti, rispettivamente, di massimo e minimo relativo (o locale).

Il perché è ovvio dal grafico.

P

Q

R

S

Ricordando ora il concetto di «pendenza» e quindi il coefficiente angolare associato ad una retta nel piano cartesiano – è immediato convincersi che ai punti P, Q, R, S è possibile associare il coefficiente angolare delle rispettive tangenti.

In particolare la tangente in P avrà coefficiente angolare positivo, quella in R negativo, quelle in Q ed S nullo.

Ma abbiamo già anticipato che tutti i punti del grafico hanno una tangente, per cui è possibile costruire una funzione associata a f, chiamiamola f’

(leggi «f primo») il cui valore per un generico x del dominio è il coefficiente angolare della tangente al grafico nel punto (x, f(x)).

Chiameremo questa funzione f’ funzione derivata (o semplicemente derivata) di f.

Nel nostro caso la derivata di f è:

f’: y=3x

+2x-2

P

Q

R

S

DERIVATA ^f

f’

L’algoritmo per il calcolo della derivata di una funzione polinomiale è estremamente semplice.

Ogni monomio che compare nel polinomio …

- può essere il termine noto e allora viene eliminato (diventa 0!) - altrimenti avrà la forma ax ⁿ e andrà sostituito con anx ^n-1

Quindi, per esempio, la derivata di f: y=2x ⁴ -x ² +3x-4

sarà:

f’: y=24x ^4-1 – 2x ^2-1 + 31x ^1-1 = 8x ³ –2x ¹ +3x ⁰ = 8x ³ – 2x + 3

DERIVATA

f’: y=3x ² +2x-2

f’=0 3x ² +2x-2 = 0

Risolvo l’equazione di secondo grado:

=

USARE LA DERIVATA

0,55 -1,22

Sostituisco i valori trovati in f:

f(-1,22)= (-1,22)

+ (-1,22)

- 2(-1,22) 2,1

f(0,55)= (0,55)

+ (0,55)

- 2(0,55) -0,6

DIVERGENZA

Consideriamo ancora la funzione f: y = x

+ x

- 2x ed il suo grafico.

In realtà quello che stiamo rappresentando è un grafico molto parziale. Dell’intero dominio (ricordo coincidente con R) stiamo considerando solo l’intervallo -2.4 <x< 2. Questo perché qui c’è la

«parte interessante» della funzione: i punti di stazionarietà, laddove la funzione da crescente diventa decrescente e viceversa.

Se facciamo uno ZOOM OUT, prendendo in

considerazione una parte del dominio appena un po’ allargata, per esempio -65 <x< 55, i valori della funzione diventano così grandi che sul grafico è impossibile apprezzare le caratteristiche della parte che prima abbiamo definito «interessante».

Il comportamento monotonico della funzione che assume valori sempre più grandi («valori assoluti») definisce il suo carattere divergente sia a sinistra che a destra del dominio.

DIVERGENZA POSITIVA

DIVERGENZA

NEGATIVA

DIVERGENZA

Data una generica funzione polinomiale, che in generale – come già abbiamo visto – ha la forma y = a

+ a

x + a

x

+…+ a

x

è immediato convincersi che, come x diventa via via più grande (in valore assoluto!), il valore di y è determinato essenzialmente dal monomio di grado maggiore, cioè a

x

.

Quindi, se n è pari, x

è comunque positivo e la funzione divergerà nello stesso modo a sinistra ed a destra del dominio: divergenza positiva se il coefficiente a

è positivo, negativa altrimenti . Se, invece, n è dispari, x

ha lo stesso segno di x e – quindi – la funzione divergerà con segno

opposto in corrispondenza dei due estremi del dominio: in particolare la divergenza a destra avrà lo stesso segno del coefficiente a

.

f: y=2x

-25x

+3 f: y=-2x

-25x

+3

f: y=2x

-x

-15x

+2x-1 f: y=-2x

+x

+15x

+2x-1

Funzioni polinomiali

Finora ci siamo occupati delle funzioni razionali intere, che abbiamo chiamato

polinomiali in virtù del fatto che la formula che esprime la dipendenza di y da x è un polinomio.

Se la suddetta formula è esprimibile come rapporto di due polinomi, si parla di funzioni razionali fratte. La loro forma generale è, quindi, la seguente:

(a

a

a

b

b

b

sono numeri reali qualsiasi; n ed m sono interi positivi e rappresentano, rispettivamente, il grado dei polinomi al numeratore ed al denominatore)

Sono, per esempio, funzioni razionali fratte:

, ,

FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

Funzioni polinomiali

Il comportamento di una funzione razionale fratta può essere significativamente più ricco e complesso se confrontato con quello di una funzione polinomiale.

Cominciamo con una riflessione circa il suo dominio naturale.

Sia ^{( )} _{( )} la nostra funzione, dove è un polinomio di grado n e un polinomio di grado m.

Entrambi i polinomi possono essere calcolati per qualsiasi valore della variabile indipendente x. Se, però, per qualche x risultasse =0 – com’è noto – non sarebbe possibile effettuare la

divisione ^{( )} _{( )} e quindi, per quel valore di x, la funzione non potrebbe essere calcolata.

Dall’algebra elementare ricordiamo che dato un qualsiasi polinomio di grado m esistono al più m diversi valori della variabile x che lo rendono nullo. Quindi la nostra funzione razionale fratta può essere calcolata per qualsiasi valore reale eccetto k valori (con k al più pari ad m).

D: R – {x ₁ , x ₂ , .., x _k } con km

FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

Funzioni polinomiali FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

2 2

9

3 4

y x

x x

 

 

2

1 2

3 4 0

3 9 16

2 4

1

x x

x x x

  

  



 

 

Vediamo un esempio. Sia data la semplice funzione razionale fratta:

Calcoliamo i valori per cui il denominatore è nullo :

Quindi la funzione è calcolabile per ogni possibile valore reale di x eccetto -4 e 1. Il suo dominio naturale è D: R – {-4, 1}

Proviamo a ricavare il grafico della funzione con un calcolo per punti. Scegliamo quindi un certo numero di valori della x

(ovviamente scarteremo -4 ed 1 in corrispondenza dei quali già sappiamo di non poter calcolare y), otteniamo una tabella

di punti e rappresentiamoli sul piano cartesiano.

Funzioni polinomiali

x y -9,00 1,44 -8,64 1,4677 -8,28 1,4995 -7,92 1,5365 -7,56 1,5802 -7,20 1,6326 -6,84 1,697 -6,48 1,7784 -6,12 1,8851 -5,76 2,0321

…….. …..…

7,56 0,635 7,92 0,6513 8,28 0,6662 8,64 0,6798 9,00 0,6923

FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

Qui la funzione non

esiste!

Qui la funzione non

esiste!

Funzioni polinomiali FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

Se osserviamo il grafico della pagina precedente (che come al solito abbiamo completato con la parte tratteggiata in rosso ipotizzando un

andamento regolare fra due punti calcolati) è evidente che il comportamento per così dire più interessante è riferibile a quanto accade negli intorni dei punti «proibiti», x=-4 e x=1.

Per evidenziarlo calcoliamo un numero maggiore di punti attorno a -4 e +1, ottenendo il grafico a destra.

A mano a mano che si calcolano valori di y facendo avvicinare x a -4 o a 1 si osserva una

«divergenza positiva o negativa» della curva- grafico. Questo comportamento è detto

asintotico. In particolare le rette verticali x=-4 ed

x=1 sono dette asintoti verticali per la funzione.

Funzioni polinomiali

Come già fatto con le funzioni polinomiali, invece che provare a rappresentare il grafico della funzione per punti, cerchiamo di dedurne le caratteristiche

salienti ragionando sulla forma algebrica della funzione stessa. Abbiamo già visto che per x=-4 ed x=1 la funzione non è calcolabile. Concentriamoci sul secondo dei suddetti punti, x=1. In corrispondenza di esso abbiamo visto che la funzione non è calcolabile perché si avrebbe uno zero al denominatore. Ma se consideriamo valori di x «appena un poco» più piccoli e più grandi di 1, il calcolo della funzione ridiventa possibile. Chiamiamo questi valori 1 ^- ed 1 ⁺ , oppure e con indichiamo un valore maggiore di zero ma piccolo, più piccolo di ogni altro numero reale a cui possiamo pensare!

Procediamo con il calcolo:

FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

Funzioni polinomiali FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

La parte in nero dei calcoli è algebra ordinaria. La parte in rosso richiede qualche spiegazione supplementare! definendolo un valore maggiore di zero ma piccolo, più piccolo di ogni altro numero reale. Un numero che ha queste caratteristiche è detto un infinitesimo e non è sicuramente un numero ordinario, cioè un numero reale. Operare con gli infinitesimi

significa utilizzare un’algebra ampliata in cui, per esempio, una somma/differenza fra termini infinitesimi è tale che questi ultimi possono essere trascurati. Quindi, come fatto sopra:

-8  2 + 

= -8

Oppure, sempre con riferimento ai calcoli precedenti, la somma algebrica di più infinitesimi di diverso ordine lascia solo l’infinitesimo di ordine minore:

 5 + 

=  5

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

Funzioni polinomiali FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

C’è una cosa FONDAMENTALE da sottolineare. Operazioni come quelle che abbiamo appena visto somigliano moltissimo alle operazioni di approssimazione che già conosciamo. Se, per esempio, stiamo calcolando delle lunghezze in cm è normale approssimare i risultati dei calcoli così come segue:

5 + 710

- 10

 5 410

+ 710

 410

Con le espressioni precedenti stiamo dicendo che i millesimi ed i milionesimi di cm sono irrilevanti rispetto ad una misura in centimetri. Così come i milionesimi di cm sono trascurabili rispetto ai millesimi di cm!

E’ quindi lecito approssimare il risultato finale così da metterne in evidenza la parte per così dire principale.

Se interpretiamo l’infinitesimo  come un numero «molto piccolo», possiamo associare il suo

comportamento ai millesimi (10

) dell’esempio precedente, così come 

ai milionesimi (10

). Questo modo di vedere le cose rende chiara ed intuitiva quella che precedentemente abbiamo chiamato algebra degli infinitesimi.

Non c’è niente di sbagliato nel farsi aiutare dall’intuizione. Nel nostro caso è, però, importante tenere a

mente che nelle relazioni della pagina precedente abbiamo usato il simbolo = e non . In altre parole quando

operiamo con gli infinitesimi le relazioni non sono da intendersi come approssimazioni, ma come relazioni

esatte. Torneremo più tardi su queste idee.

Funzioni polinomiali FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

Riprendiamo la parte finale dei nostri calcoli con gli infinitesimi:

Facciamoci guidare ancora dall’intuizione. Sostituiamo a 𝛿 un numero reale piccolo, per esempio 10

, ottenendo



Cioè se in una frazione, al denominatore, è presente un numero molto piccolo la frazione stessa può essere approssimata da un numero molto grande. Più piccolo è il numero al denominatore, più grande sarà quello che approssima la frazione:



Considerato che abbiamo definito  come una quantità positiva più piccola di ogni numero reale comunque piccolo, ne segue che una frazione con  al denominatore genererà un numero più grande di ogni numero reale comunque grande.

Chiamiamo questa quantità (come  non è numero reale ordinario!) infinito e la indichiamo con il simbolo ∞.

FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

𝑓 1 = 𝑓(1 + 𝛿) = − = −∞

𝑓 1 = 𝑓(1 − 𝛿) =+ = +∞

asintoto verticale

x = 1

A destra è mostrata una sintesi grafica di tutto quanto abbiamo finora

stabilito.

Calcolando f(x) per valori di x tendenti a 1 da sinistra, cioè f(1 ^- ), la funzione

tende a +, quindi diverge positivamente.

Calcolando f(x) per valori di x tendenti a 1 da destra, cioè f(1 ⁺ ), la funzione tende a -, quindi diverge negativamente.

La retta x=1 è un asintoto verticale per la funzione stessa.

Considerazioni del tutto analoghe

possono essere fatte per il punto x=-4.

FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

 ⁽  ⁾

(  ^{) (}  ⁾ 

  



 ⁽  ⁾

(  ^{) (}  ⁾ 

  



Qualche pagina fà, discutendo delle funzioni razionali intere, abbiamo stabilito che queste divergono positivamente o negativamente agli estremi del dominio. In altre parole, quando x diventa molto grande (in valore assoluto), così fa pure y.

Cosa possiamo dire per le funzioni razionali fratte? Per questa classe di funzioni il

comportamento agli estremi del dominio può essere differente. Nel caso della funzione che stiamo studiando, per esempio, si può osservare una convergenza.

Adesso, armati del concetto di infinito così come lo abbiamo prima definito, potremo

essere più rigorosi. Calcoliamo il valore verso cui tende la funzione a sinistra ed a destra del

dominio utilizzando, appunto, .

FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

Così come già fatto con gli infinitesimi, anche nel caso degli infiniti abbiamo evidenziato con il rosso i passaggi che richiedono

un’algebra estesa. In particolare, sia al denominatore che al

denominatore, il confronto con gli infiniti di ordine più alto ( ) fa diventare irrilevanti i numeri ordinari (9 e 4) e l’infinito di ordine più basso ( ). Nell’ultimo passaggio, semplificando numeratore e

denominatore come se fossimo di fronte a numeri ordinari, otteniamo il risultato y=1.

Quindi, sia per x tendente  che per x tendente a , la

funzione converge verso 1. La retta y=1 è detta asintoto orizzontale.

Funzioni polinomiali FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

asintoto orizzontale

destro y = 1

asintoto orizzontale

sinistro

y = 1

FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

La pagina precedente ci consegna un’idea già abbastanza definita del grafico complessivo della funzione.

E’ sufficientemente evidente che altre informazioni preziose potrebbero derivare dalla conoscenze dei punti in cui la curva attraversa l’asse delle x, ossia dei punti in cui la funzione si annulla.

Ricordando che una frazione è nulla quando è nullo il numeratore calcoliamo:

, cioè

Trascurando gli eventuali punti stazionari, siamo ora in grado di completare il

grafico della funzione.

Funzioni polinomiali FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

ZERO

ZERO

Funzioni polinomiali

Faremo ora cenno ad una categoria di funzioni – le cosiddette funzioni

irrazionali - il cui dominio naturale, a differenza che nei casi finora trattati, può trovarsi confinato in una porzione limitata di R o, comunque, escludere parti significative di R.

Una tipica funzione di tipo irrazionale può essere ottenuta considerando la radice quadrata di un polinomio. Per esempio:

𝟐

La presenza della radice quadrata conduce immediatamente a riflettere sul fatto che la funzione non produce alcun valore (diremo anche che non è definita/ non è calcolabile/ etc) quando il radicando è  0.

FUNZIONI IRRAZIONALI

Funzioni polinomiali

minare il dominio naturale imponiamo, quindi, che il radicando sia positivo o al più nullo:

Calcoliamo le radici dell’equazione associata: 

± cioè

La disequazione è soddisfatta quando ^{ }

Il dominio naturale della funzione è, quindi, limitato al solo intervallo di estremi -1 e 2.

In particolare, considerando i calcoli appena fatti, deduciamo che la funzione è nulla negli estremi del dominio:

FUNZIONI IRRAZIONALI

Funzioni polinomiali

Ma se per ogni valore di x interno all’intervallo il radicando è  0, così sarà pure la radice quadrata. Quindi il grafico della nostra funzione parte dal punto A(-1; 0) e termina nel punto B(2; 0) muovendosi solo sopra l’asse delle ascisse!

FUNZIONI IRRAZIONALI

Ora, anche

considerando che il radicando è un

polinomio,

accettiamo il fatto ulteriore che pure il grafico di una funzione

irrazionale è una curva continua.

Il grafico parte

QUI Il grafico

termina

QUI

Funzioni polinomiali

Ci aspettiamo, alla luce di quanto detto, un punto di massimo che separi la parte ascendente del grafico da quella discendente!

Per determinare la sua posizione, come abbiamo già visto, possiamo usare la derivata di f calcolando il valore di x per cui questa si annulla.

Fortunatamente l’algoritmo per determinare la derivata di una funzione come quella che stiamo considerando è particolarmente semplice.

Se, infatti, consideriamo la funzione irrazionale la sua derivata vale

( )

( ) dove è la derivata del polinomio

Quindi (ovviamente con  )

FUNZIONI IRRAZIONALI

FUNZIONI IRRAZIONALI

Contestualizzando il discorso appena sviluppato alla funzione che stiamo studiando e ricordando le semplici regole per

la derivata di un polinomio, avremo:

cioè

=

= = 1,5

Funzioni polinomiali APPROFONDIMENTO: I PUNTI DI FLESSO

Consideriamo la funzione razionale intera f: y = -x ⁴ - 2x ³ +1

Per tutto quanto abbiamo detto in precedenza essa divergerà negativamente agli estremi del dominio ed il suo grafico sarà stazionario in corrispondenza delle x per cui

3 2

Le soluzioni dell’equazione sono

In corrispondenza di esse la funzione assume i valori f(0) = - 0 ⁴ - 2  0 ³ +1 = 1

f( ) = - ⁴ - 2  ( ) ³ +1  2,7

I punti di stazionarietà saranno quindi

A(0; 1) e B(-1,5; 2,7)

APPROFONDIMENTO: I PUNTI DI FLESSO

Per il punto A la divergenza

negativa a sinistra impone

un massimo relativo

Ma, allora, B deve essere un punto di minimo

relativo.

PROBLEMA: non c’è accordo con la divergenza negativa a

destra!

Funzioni polinomiali APPROFONDIMENTO: I PUNTI DI FLESSO

Il problema origina dal fatto che il nostro

ragionamento circa la derivata nulla, quindi la

tangente orizzontale, quindi il massimo o il minimo relativo è corretto, ma incompleto. Esistono infatti altre due possibilità di comportamento compatibili con la stazionarietà, come mostrato a fianco.

Un punto di stazionarietà può quindi coincidere non solo con un massimo o un minimo relativo, ma anche con uno di due tipi possibili di flesso orizzontale.

Osservando la figura a fianco è facile convincersi che un punto di flesso orizzontale è un punto di massimo per la parte di grafico alla sua sinistra, di minimo per quella alla sua destra – o viceversa.

FLESSI

ORIZZONTALI

Funzioni polinomiali APPROFONDIMENTO: I PUNTI DI FLESSO

Esiste un modo semplice di classificare i punti stazionari di un grafico dopo averli calcolati?

Sì, basta sottoporli al giudizio della derivata seconda.

Se la derivata seconda è negativa, il punto è un massimo.

Se è positiva, allora il punto è un minimo.

Infine, se la derivata seconda è nulla, il punto individua un flesso orizzontale.

Ma cos’è una derivata seconda? Semplice, la derivata della derivata. Riprendiamo la nostra funzione f: y = -x ⁴ - 2x ³ +1 . Abbiamo già calcolato la sua derivata:

3 2

Utilizzando le stesse regole di calcolo otteniamo

2

Quindi:

2 ) < 0 quindi un massimo

2 ) quindi un flesso orizzontale

APPROFONDIMENTO: I PUNTI DI FLESSO

Riconosciuto B come punto di flesso orizzontale, è possibile

raccordare correttamente il

grafico con la divergenza

negativa a destra del dominio

THE END