Scritto di Analisi Matematica 2

(1)

Scritto di Analisi Matematica 2

Corso di Ingegneria Informatica e dell’Automazione A. A. 2016/17 – Prova scritta 16–09–2017

Cognome e Nome: Matricola:

Vietato l’uso di calcolatori, appunti, eserciziari,...

Concesso l’uso di un formulario.

Scrivi in modo ordinato e motiva ogni risposta.

Durata della prova: 2 ore e 30 minuti.

Non si pu` o lasciare l’aula prima che siano trascorse due ore. Si potr` a uscire dall’aula solo dopo aver consegnato il compito.

TESTO 1

(1) Risolvere il seguente problema di Cauchy:



 

 

y

⁰⁰

+ 5y

⁰

+ 6y = 12x + 10 sin x y(0) = 1

y

⁰

(0) = 1

(2) Si consideri la curva ϕ : [0, 2π] → R

²

definita come ϕ(t) =

1 + t π

cos t ;

1 + t

π

sin t

. Valutare ϕ(s) per i valori s ∈ {0;

^π₂

; π;

^3π₂

; 2π}. ` E una curva regolare? ` E semplice? ` E chiusa?

Calcolarne quindi velocit` a e accelerazione e la funzione ρ(t) = kϕ(t)k dove k · k denota la norma euclidea. Farne un disegno approssimativo.

Considerare ora la curva γ : [0, 2π] → C definita come γ(t) =

1 + t

π

e

^it

e disegnarla. Quindi calcolare l’integrale complesso curvilineo

Z

γ

1 z

²

+ 3 dz . Suggerimento: chiudere in maniera opportuna il percorso.

(3) Considerare la funzione f : R

²

→ R definita come f(x, y) = xy − 3x + 2y. Determinare i punti critici di f e classificarli. Inoltre determinare massimo e minimo della funzione sul triangolo di vertici (−2, 5); (−4, 3); (0, 1).

Considerare ora una funzione g : R → R strettamente decrescente. Quale delle due composizioni g◦f e f ◦g ` e ben definita? (ricordo che per convenzione la prima funzione ad essere applicata ` e quella di destra) Detta h tale composizone determinare massimo e minimo di h sul triangolo precedente nel caso di una generica funzione g e nel caso specifico g(x) = e

^−x

. Scrivere esplicitamente h in questo ultimo caso.

(4) Dati gli insiemi

E

1

= {(x, y) ∈ R

²

: 1 ≤ x

²

+ y

²

≤ 2x ; y ≥ 0} , E

2

= {(x, y) ∈ R

²

: 2x ≤ x

²

+ y

²

≤ 1 ; y ≤ 0} .

Disegnare l’insieme E = E

1

∪ E

2

e calcolare il baricentro di quest’ultimo. Descrivere F = E

1

∩ E

2

.

Il sottoscritto ai sensi della vigente legge sulla privacy,

autorizza la pubblicazione dell’esito di questa prova scritta nel sito internet del corso.

Firma:

(2)

Scritto di Analisi Matematica 2

Corso di Ingegneria Informatica e dell’Automazione A. A. 2016/17 – Prova scritta 16–09–2017

Cognome e Nome: Matricola:

Vietato l’uso di calcolatori, appunti, eserciziari,...

Concesso l’uso di un formulario.

Scrivi in modo ordinato e motiva ogni risposta.

Durata della prova: 2 ore e 30 minuti.

Non si pu` o lasciare l’aula prima che siano trascorse due ore. Si potr` a uscire dall’aula solo dopo aver consegnato il compito.

TESTO 2

(1) Risolvere il seguente problema di Cauchy:



 

 

y

⁰⁰

− y

⁰

− 2y = x + 10 sin x y(0) = 1

y

⁰

(0) = 2

(2) Si consideri la curva ϕ : [0, 2π] → R

²

definita come ϕ(t) =

1 + t π

cos t ;

1 + t

π

sin t

. Valutare ϕ(s) per i valori s ∈ {0;

^π₂

; π;

^3π₂

; 2π}. ` E una curva regolare? ` E semplice? ` E chiusa?

Calcolarne quindi velocit` a e accelerazione e la funzione ρ(t) = kϕ(t)k dove k · k denota la norma euclidea. Farne un disegno approssimativo.

Considerare ora la curva γ : [0, 2π] → C definita come γ(t) =

1 + t

π

e

^it

e disegnarla. Quindi calcolare l’integrale complesso curvilineo

Z

γ

z z

²

+ 1 dz . Suggerimento: chiudere in maniera opportuna il percorso.

(3) Considerare la funzione f : R

²

→ R definita come f(x, y) = xy + x − 3y. Determinare i punti critici di f e classificarli. Inoltre determinare massimo e minimo della funzione sul triangolo di vertici (3, 1); (1, −1); (5, −3).

Considerare ora una funzione g : R → R strettamente decrescente. Quale delle due composizioni g◦f e f ◦g ` e ben definita? (ricordo che per convenzione la prima funzione ad essere applicata ` e quella di destra) Detta h tale composizone determinare massimo e minimo di h sul triangolo precedente nel caso di una generica funzione g e nel caso specifico g(x) = e

^−x

. Scrivere esplicitamente h in questo ultimo caso.

(4) Dati gli insiemi

E

1

= {(x, y) ∈ R

²

: 1 ≤ x

²

+ y

²

≤ 2x ; y ≤ 0} , E

2

= {(x, y) ∈ R

²

: 2x ≤ x

²

+ y

²

≤ 1 ; y ≥ 0} .

Disegnare l’insieme E = E

1

∪ E

2

e calcolare il baricentro di quest’ultimo. Descrivere F = E

1

∩ E

2

.

Firma:

(3)

Scritto di Analisi Matematica 2

Corso di Ingegneria Informatica e dell’Automazione A. A. 2016/17 – Prova scritta 16–09–2017

Cognome e Nome: Matricola:

Vietato l’uso di calcolatori, appunti, eserciziari,...

Concesso l’uso di un formulario.

Scrivi in modo ordinato e motiva ogni risposta.

Durata della prova: 2 ore e 30 minuti.

Non si pu` o lasciare l’aula prima che siano trascorse due ore. Si potr` a uscire dall’aula solo dopo aver consegnato il compito.

TESTO 3

(1) Risolvere il seguente problema di Cauchy:



 

 

y

⁰⁰

− 5y

⁰

+ 6y = 12x + 10 sin x y(0) = 1

y

⁰

(0) = 2

(2) Si consideri la curva ϕ : [0, 2π] → R

²

definita come ϕ(t) =

1 + t π

cos t ; −

1 + t

π

sin t

. Valutare ϕ(s) per i valori s ∈ {0;

^π₂

; π;

^3π₂

; 2π}. ` E una curva regolare? ` E semplice? ` E chiusa?

Calcolarne quindi velocit` a e accelerazione e la funzione ρ(t) = kϕ(t)k dove k · k denota la norma euclidea. Farne un disegno approssimativo.

Considerare ora la curva γ : [0, 2π] → C definita come γ(t) =

1 + t

π

e

^−it

e disegnarla. Quindi calcolare l’integrale complesso curvilineo

Z

γ

1 z

²

+ 3 dz . Suggerimento: chiudere in maniera opportuna il percorso.

(3) Considerare la funzione f : R

²

→ R definita come f(x, y) = xy − x + y. Determinare i punti critici di f e classificarli. Inoltre determinare massimo e minimo della funzione sul triangolo di vertici (−1, 3); (−3, 1); (1, −1).

Considerare ora una funzione g : R → R strettamente crescente. Quale delle due composizioni g ◦ f e f ◦ g ` e ben definita? (ricordo che per convenzione la prima funzione ad essere applicata ` e quella di destra) Detta h tale composizone determinare massimo e minimo di h sul triangolo precedente nel caso di una generica funzione g e nel caso specifico g(x) = e

^x

. Scrivere esplicitamente h in questo ultimo caso.

(4) Dati gli insiemi

E

1

= {(x, y) ∈ R

²

: 1 ≤ x

²

+ y

²

≤ 2x ; y ≥ 0} , E

2

= {(x, y) ∈ R

²

: 2x ≤ x

²

+ y

²

≤ 1 ; y ≤ 0} .

Disegnare l’insieme E = E

1

∪ E

2

e calcolare il baricentro di quest’ultimo. Descrivere F = E

1

∩ E

2

.

Firma:

(4)

Scritto di Analisi Matematica 2

Corso di Ingegneria Informatica e dell’Automazione A. A. 2016/17 – Prova scritta 16–09–2017

Cognome e Nome: Matricola:

Vietato l’uso di calcolatori, appunti, eserciziari,...

Concesso l’uso di un formulario.

Scrivi in modo ordinato e motiva ogni risposta.

Durata della prova: 2 ore e 30 minuti.

Non si pu` o lasciare l’aula prima che siano trascorse due ore. Si potr` a uscire dall’aula solo dopo aver consegnato il compito.

TESTO 4

(1) Risolvere il seguente problema di Cauchy:



 

 

y

⁰⁰

+ y

⁰

− 2y = x + 10 sin x y(0) = 1

y

⁰

(0) = 1

(2) Si consideri la curva ϕ : [0, 2π] → R

²

definita come ϕ(t) =

1 + t π

cos t ; −

1 + t

π

sin t

. Valutare ϕ(s) per i valori s ∈ {0;

^π₂

; π;

^3π₂

; 2π}. ` E una curva regolare? ` E semplice? ` E chiusa?

Calcolarne quindi velocit` a e accelerazione e la funzione ρ(t) = kϕ(t)k dove k · k denota la norma euclidea. Farne un disegno approssimativo.

Considerare ora la curva γ : [0, 2π] → C definita come γ(t) =

1 + t

π

e

^−it

e disegnarla. Quindi calcolare l’integrale complesso curvilineo

Z

γ

z z

²

+ 1 dz . Suggerimento: chiudere in maniera opportuna il percorso.

(3) Considerare la funzione f : R

²

→ R definita come f(x, y) = xy + x − 2y. Determinare i punti critici di f e classificarli. Inoltre determinare massimo e minimo della funzione sul triangolo di vertici (2, 1); (0, −1); (4, −3).

Considerare ora una funzione g : R → R strettamente crescente. Quale delle due composizioni g ◦ f e f ◦ g ` e ben definita? (ricordo che per convenzione la prima funzione ad essere applicata ` e quella di destra) Detta h tale composizone determinare massimo e minimo di h sul triangolo precedente nel caso di una generica funzione g e nel caso specifico g(x) = e

^x

. Scrivere esplicitamente h in questo ultimo caso.

(4) Dati gli insiemi

E

1

= {(x, y) ∈ R

²

: 1 ≤ x

²

+ y

²

≤ 2x ; y ≤ 0} , E

2

= {(x, y) ∈ R

²

: 2x ≤ x

²

+ y

²

≤ 1 ; y ≥ 0} .

Disegnare l’insieme E = E

1

∪ E

2

e calcolare il baricentro di quest’ultimo. Descrivere F = E

1

∩ E

2

.

Firma:

Scritto di Analisi Matematica 2