Esercizio 1 La seguente tabella riporta la distribuzione di un collettivo di 70 studenti per nu- mero di anni impiegati per conseguire la laurea (Y) e titolo di studio (X) X

Esercizio 1

La seguente tabella riporta la distribuzione di un collettivo di 70 studenti per nu- mero di anni impiegati per conseguire la laurea (Y) e titolo di studio (X)

X \Y 3 4 5

Liceo Classico 15 10 0 Liceo Scientifico 5 3 12

Altro 5 15 5

Calcolare:

1. le distribuzioni marginali, n_i.e n_j.; 2. le frequenze relative congiunte f_{i j}

3. le distribuzioni di frequenza marginali relative, fi.e f. j; 4. le distribuzioni relative condizionate.

Soluzione

1. le distribuzioni marginali di X e Y si ottengono calcolando i totali delle frequenze assolute per riga e per colonna, rispettivamente, , n_i.= ∑^K_j=1n_{i j} e n_{. j} = ∑^H_i=1n_{i j}

X \Y 3 4 5 Totale

Liceo Classico 15 10 0 25 Liceo Scientifico 5 3 12 20

Altro 5 15 5 25

Totale 25 28 17 70

2. Le frequenze relative congiunte si ottengono come f_{i j}= n_{i j} n 3. mentre quelle marginali come fi.= n_i.

n e f. j =n_{. j} n

X \Y 3 4 5 Totale Liceo Classico 0.2143 0.1429 0 0.3572 Liceo Scientifico 0.0714 0.0429 0.1714 0.2857 Altro 0.0714 0.2143 0.0714 0.3571 Totale 0.3571 0.4001 0.2428 1

Calcoliamo la distribuzione titolo di studio condizionata alle diverse modalità di Y.

X| Y = 3 n_i1/n_·1 Liceo Classico 0.6 Liceo Scientifico 0.2

Altro 0.2

Totale 1

X| Y = 4 n_i2/n_·2 Liceo Classico 0.357 Liceo Scientifico 0.107

Altro 0.536

Totale 1

X| Y = 5 n_i3/n_·3 Liceo Classico 0 Liceo Scientifico 0.706

Altro 0.294

Calcoliamo la distribuzione degli anni impiegati per conseguire la laurea con- dizionata alle diverse modalità di X.

Y | X = Lic.Classico n_{1 j}/n_1·

3 0.6

4 0.4

5 0

Totale 1

Y | X = Lic.Scienti f ico n_{2 j}/n_2·

3 0.25

4 0.15

5 0.60

Totale 1

Y | X = Altro n_{3 j}/n_3·

3 0.20

4 0.60

5 0.20

Totale 1

Esercizio 2

Con riferimento alla seguente distribuzione di un collettivo di individui secondo il sesso (X) ed il salario (Y).

X \Y 1 2 3

M 0 10 10

F 10 10 0

Calcolare:

1. le distribuzioni marginali di X e Y;

2. le distribuzioni di Y condizionate alle diverse modalità di X;

3. le medie e le varianze di Y condizionate alle diverse modalità di X;

4. la media e la varianza di Y.

Soluzione

Otteniamo le distribuzioni marginali di X e Y sommando rispetto alle colonne e alle righe, rispettivamente.

1 2 3 Totale

M 0 10 10 20

F 10 10 0 20

Totale 10 20 10 40

Otteniamo le distribuzioni condizionate di Y dato X Y| X=M n_{1 j}

1 0

2 10

3 10

Totale 20

Y| X=F n_{2 j}

1 0

2 10

3 10

Totale 20

Calcoliamo le medie e le varianze condizionate di Y | X = xi con i = 1, . . . , H.

Dato che X è un carattere qualitativo sconnesso non possiamo calcolare le medie e le varianze condizionate di X | Y = y_j con j = 1, . . . , K.

Y|X=M n_{1 j} y_j· n_{1 j} y²_j· n_{1 j}

1 0 0 0

2 10 20 40

3 10 30 90

Totale 20 50 130

¯

y_X=xi= 1

n_i.∑^K_j=1y_jn_{i j}

¯

y_X=M=50 20 = 2.5 σ_Y²_|X=x

i = 1

n_i.∑^K_j=1y²_jn_{i j}− ¯y²_X=x

i

σ_Y²_|X=M=130

20 − 2.5²= 0.25

Y|X=F n_{2 j} y_j· n_{2 j} y²_j· n_{2 j}

1 10 10 10

2 10 20 40

3 0 0 0

Totale 20 30 50

¯

y_X=xi= 1

n_i.∑^K_j=1y_jn_{i j}

¯

y_X=F =30 20 = 1.5 σ_Y²_|X=x

i = 1

n_i.∑^K_j=1y²_jn_{i j}− ¯y²_X=x

i

σ_Y²_|X=F = 50

20− 1.5²= 0.25

Per calcolare la media e la varianza di Y dobbiamo considerare la distribuzione marginale di Y

y_j n_j y_j· n_j y²_j· n_j

1 10 10 10

2 20 40 80

3 10 30 90

Totale 40 80 180

¯ y=80

40 = 2 σ_y²= 180

40 − 2²= 4.5 − 4 = 0.5

Esercizio 3

Con riferimento alla distribuzione di un collettivo di famiglie secondo il numero di figli (X) e il reddito (Y), completare la seguente tabella nel caso di indipendenza

X \Y 0a 2 2a 6 6 a 10 Totale

1 20 40

2

3 10

Totale 30 100

Soluzione n₁₃: 30 · 40

100 = 12 n₁₁: 40-(12+20)=8

n_·1: 40 · x

100 = 8 ⇒ x = 20 n_·2: 100-(30+20)=50 n₂₂: 50-(20+10)=20

n_2·: 50 · x

100 = 20 ⇒ x = 40 n_3·: 100-(40+40)=20 n₃₃: 20 · 30

100 = 6 n₃₁: 20-(10+6)=4 n₂₁: 20-(8+4)=8 n₂₃: 40-(20+8)=12

X \Y 0a 2 2a 6 6 a 10 Totale

1 8 20 12 40

2 8 20 12 40

3 4 10 6 20

Totale 20 50 30 100

Esercizio 4

Con riferimento alla seguente distribuzione di un collettivo di individui secondo il sesso (Y) ed il comune di residenza (X)

X \Y M F

A 0 5

B 5 0

C 10 10

Calcolare le frequenze sotto l’ipotesi di indipendenza tra i due caratteri.

Soluzione

Prima di tutto occorre ricavarsi le distribuzioni marginali di X e Y.

X \Y M F Totale

A 5

B 5

C 20

Totale 15 15 30

La frequenza d’indipendenza è pari a n^?_{i j} = n_i.n_{. j}

n . Quindi otteniamo la seguente tabella

X \Y M F Totale

A 2.5 2.5 5

B 2.5 2.5 5

C 10 10 20

Totale 15 15 30

Esercizio 5

Nella tabella seguente si riportano l’ammontare degli investimenti (X) e i volumi di vendita (Y)

X Y

1 11

1 8.6

2 10.5 2.1 12 2.2 12.8 2.9 14.7 3 13.5

3 14

3 12.7 3.1 16.4

Sapendo che ¯x= 2.33 e ¯y= 12.62, calcolare una misura della correlazione lineare tra i due caratteri.

Soluzione

X Y x_i· y_i (x_i− ¯x)² (y_i− ¯y)²

1 11 11 1.769 2.624

1 8.6 8.6 1.769 16.160

2 10.5 21 0.109 4.494

2.1 12 25.2 0.053 0.384

2.2 12.8 28.16 0.017 0.032 2.9 14.7 42.63 0.325 4.326

¯

x= 23.3

10 = 2.33

¯

y= 126.2

10 = 12.62 ρ_xy= COD(X ,Y )

pdev(X )dev(Y )

COD(X ,Y ) = ∑ix_iy_i− n ¯x ¯y = 308.03 − 10 · (2.33 · 12.62) = 13.984 ρ_xy= 13.984

√5.982 · 44.992= 0.852

Esercizio 6

Data la seguente tabella

X\Y -1 1 Totale

-1 30 10 40

1 20 40 60

Totale 50 50 100

Calcolare il coefficiente di correlazione lineare tra i caratteri X e Y.

Soluzione

Per poter calcolare il coefficiente di correlazione lineare, dobbiamo calcolare le seguenti quantità

¯

x= −40 + 60 100 = 20

100 = 0.2

¯

y= −50 + 50 100 = 0 xi yj ni j x_iy_jn_{i j}

-1 -1 30 30

1 -1 20 -20

-1 1 10 -10

1 1 40 40

Totale 100 40

Dalla tabella precedente è immediato verificare che la codevianza sia pari a 40.

Dev(x) = ∑^H_i=1(x_i− ¯x)²n_i.= (−1 − 0.2)²40 + (1 − 0.2)²60 = 57.6 + 38.4 = 96 Dev(y) = ∑^K_j=1(y_j− ¯y)²n_{. j}= (−1)²50 + (1)²50 = 50 + 50 = 100

ρxy= 40

√100 · 96= 0.408

Esercizio 7

La tabella seguente riporta i valori osservati per i caratteri X e Y relativamente a 5 unità statistiche con Y = 3 + 3X .

X Y=3+3X

A 2 9

B 4 15

C 6 21

D 8 27

E 10 33

Totale 30 105

1. fornire una rappresentazione grafica per i caratteri X e Y 2. calcolare il coefficiente di correlazione lineare

Soluzione

●

●

●

●

●

2 4 6 8 10

1015202530

x

y

x_i y_i x_i· y_i (x_i− ¯x)² (y_i− ¯y)²

A 2 9 18 16 144

B 4 15 60 4 36

C 6 21 126 0 0

D 8 27 216 4 36

E 10 33 330 16 144

Totale 30 105 750 40 360

σ_xy= 750

5 − (6 · 21) = 150 − 126 = 24 σx=r 40

5 = 2.8284 σ_y=r 360

5 = 8.4853 ρxy= 24

2.8284 · 8.4853= 1

ρ_xy= 1 (come ci aspettavamo) significa che sussiste un perfetto legame lineare tra i due caratteri.

Inoltre verifichiamo che

• ¯y = a + b ¯x ⇒ ¯y = 3 + 3 · 6 = 21

• σ_y²= b²σ_x²⇒ σ_y²= 3²· 8 = 72

• σxy= bσ_x²⇒ σxy= 3 · 8 = 24

Esercizio 8

Ripetere l’esercizio precedente sapendo che Y = 5 + (X − 6)² X Y=5+(X-6)²

A 2 21

B 4 9

C 6 5

D 8 9

E 10 21

Totale 30 65

Soluzione

●

●

●

●

●

2 4 6 8 10

5101520

x

y

¯ x=30

5 = 6

¯ y= 65

5 = 13

x_i y_i x_i· y_i (x_i− ¯x)² (y_i− ¯y)²

A 2 21 42 16 64

B 4 9 36 4 16

C 6 5 30 0 64

D 8 9 72 4 16

E 10 21 210 16 64

Totale 30 65 390 40 224

σxy=390

5 − (6 · 13) = 78 − 78 = 0 ρxy= σ_xy

σ_xσ_y = 0 σ_xσ_y = 0.

ρxy= 0 (come ci aspettavamo) significa che la relazione tra i due caratteri non è lineare.