Universit`a degli Studi di Padova – Facolt`a di Ingegneria Lauree in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica,
Prof. Francesca Albertini e Monica Motta
Prova di autovalutazione di Fondamenti di Analisi Matematica 2
Vicenza, 21 dicembre 2009 Esercizio 1
Dato un parametro reale a, si consideri la forma differenziale lineare ω =
3e[(a2+2)x+az]+ y2
dx + 2xy dy + e[(a2+2)x+az]dz.
(i) Determinare i valori di a ∈ IR per i quali la forma differenziale risulta esatta e calcolare in corrispondenza a tali valori un potenziale per ω.
(ii) Determinare i valori di a ∈ IR per i qualiR
γω = 0, dove γ `e la curva ottenuta dall’intersezione del cilindro x2+ y2 = 1 con il piano 3x + z = 0.
Esercizio 2 Si consideri l’insieme seguente
D =(x, y) ∈ IR2 : |y| ≤ x + 2, (x − 1)2+ y2 ≥ 2, −2 ≤ x ≤ 2 (i) Disegnare D.
(ii) Determinare eventuali punti di massimo e di minimo assoluti della funzione f (x, y) = arctan(|y|e−x) su D.
Esercizio 3 Data la funzione
f (x, y) = |y − x2|(y + x2− 1) − 3x
(i) determinare il dominio di f e discutere continuit`a di f nel suo dominio;
(ii) derivabilit`a di f nel suo dominio;
(iii) differenziabilit`a di f nel suo dominio.
Esercizio 4 Dato l’insieme
S =n
(x, y, z) ∈ IR3 : 0 ≤ y ≤ 2(1 − x2− z2), √
x2+ z2+ y ≥ 1o (i) fare un disegno qualitativo di S;
(ii) calcolare il volume di S.
Esercizio 5 Dato l’insieme
E =n
(x, y, z) ∈ IR3 : z ≤ a −p
a2x2+ y2, a2x2+ y2+ z2 ≤ a2o , dove a `e un parametro positivo:
(i) fare un disegno qualitativo di E ;
(ii) calcolare l’area di ∂E (superficie costituita dal bordo dell’insieme E ).
Tempo: tre ore
