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I.T.I.S. «G. MARCONI» - PADOVA
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DIPARTIMANTO DI MECCANICA E MACCHINE A FLUIDO
MECC-5-2
Rev. 6
Data:aprile 2012 Pag. 1
DIMENSIONAMENTO DI UNA BIELLA
GENERALITA’
Il carico assiale, sempre presente, può essere messo in relazione con la pressione agente sul pistone, come segue:
F = Fu / cosα = (pu⋅ Ac) / cosα F = forza diretta secondo l’asse della biella
Fu = forza agente sul pistone = (pu⋅ Ac)
α = angolo che la biella fa con l’asse di scorrimento del pistone Ac = area del pistone = (π⋅ alesaggio2) / 4
pu = pressione totale agente sul pistone = p (pressione effettiva) + pa (pressione di accelerazione)
1. DETERMINAZIONE DELLA FORZA MASSIMA AGENTE SULLA BIELLA Si distinguono qui tre diversi casi.
(Nota per grado di ammissione si intende il rapporto tra volume di fluido entrante in immissione/volume generato dal pistone, normalmente = 0.4 ÷ 0.7, per macchine ad ammissione totale: grado di ammissione = 1)
1.1 Macchine a forte ammissione con inerzie trascurabili allo spunto:
In queste macchine con buona approssimazione p = cost. = pmax e pa = 0, quindi F = (pmax⋅ Ac) / cosα
Del resto F = Fmax per cosα minimo, quindi per ϕ = 90° dove:
cosα = (l2 – r2)1/2/ l l = lunghezza biella
r = lunghezza manovella quindi:
Fmax = (pmax⋅ Ac) / [(l2 – r2)1/2/ l ] 1.2 Macchine ad ammissione completa con inerzie non trascurabili:
F assume il valore massimo nel p.m.i. dove:
a = -ω2⋅ r ⋅ (1 - λ)
pa⋅ Ac = - m ⋅ a = + ma⋅ω2⋅ r ⋅ (1 - λ)
dove ε = r / l ed ma è la massa del sistema pistone + biella
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dato che p = pmax = cost.
pu = p + pa = pmax + pa e quindi:
Fmax = pmax ⋅ Ac + pa⋅ Ac = pmax ⋅ Ac + ma ⋅ ω2 ⋅ r ⋅ (1 - λ)
1.3 Macchine a combustione interna
Nei motori a combustione interna dato che normalmente quando la pressione effettiva è massima la pressione di accelerazione è in contrasto (tende a scaricare la biella), si preferisce, a favore della sicurezza, considerare la sola pressione massima effettiva:
Fmax = pmax ⋅ Ac
2. CALCOLO DELLE BIELLE LENTE
Le bielle lente sono quelle utilizzate nei Diesel lenti (per generatori, navali, ecc), nei compressori, nelle macchine a vapore e nelle pompe, qualora non si superi qualche centinaio di giri al minuto .
2.1 Scelta del materiale:
In generale le bielle lente sono realizzate con acciai al carbonio (C25 ÷C45 UNI 7845) aventi carichi di rottura
R = 500 ÷700 N/mm2 .
Per il coefficiente di sicurezza, tenendo conto degli effetti dinamici e della conseguente sollecitazione a fatica:
nR = 5 ÷10 quindi:
σamm = R / nR
2.2 Scelta del tipo di sezione
Normalmente si adottano le seguenti tipologie:
- Rettangolare (si stabilisce normalmente il rapporto b/h) - Circolare piena
- Circolare cava: χ = 0.8 ÷ 0.92 (rapporto di cavità di/de) 2.3 Predimensionamento della sezione
Calcolata la Fmax si utilizza la relazione derivata da Eulero per calcolare il momento d’inerzia minimo della sezione critica (quella più piccola a seconda della sagomatura della biella)
Jmin = µ ⋅ (Fmax ⋅ lo2) / (π2 ⋅ E) lo = l (lunghezza libera di inflessione)
µ = 20 motori a combustione lenti µ = 25 ÷ 30 pompe e macchine a vapore
determinato I si calcolano A (area sezione) e la snellezza λ
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2.4 Verifica mediante il metodo di Rankine
N = (σamm⋅ A) / (1 + α ⋅ λ2) Dove:
α = (ν ⋅ σamm) / (π2⋅ E) ν = 3 (consigliato)
A questo punto si adatta la sezione fino a che non soddisfa:
Fmax ≤ N
3. CALCOLO DELLE BIELLE VELOCI
Sono le bielle utilizzate nei motori a combustione interna: Diesel veloci (autotrazione) e Benzina.
Nelle bielle veloci non sono più trascurabili gli effetti inerziali e ciò porta a due distinte verifiche:
- Verifica al carico di punta
- Verifica a fatica del fusto (colpo di frusta) 3.1 Scelta del materiale
Normalmente acciai al Nichel-Cromo o Nichel-Cromo-Molibdeno indicativamente:
R = 850 ÷1050 N/mm2 nR = 5 ÷10
quindi:
σamm = R / nR
3.2 Predimensionamento della sezione
Calcolata la Fmax si utilizza la relazione derivata da Eulero per calcolare il momento d’inerzia minimo della sezione critica (quella più piccola a seconda della sagomatura della biella)
Jmin = µ ⋅ (Fmax ⋅ lo2) / (π2 ⋅ E) lo = l (lunghezza libera di inflessione)
µ = 20 motori a combustione
3.3 Proporzionamento della sezione
Normalmente si adotta per questo tipo di bielle una sezione a doppio T con momento d’inerzia massimo sul piano di movimentazione.
Ricordando che a questo punto del calcolo ci è noto il valore di Imin di predimensionamento allora si procede al proporzionamento della sezione.
Grandezza Simbolo Formula
Altezza esterna h (Imin / 0,018)1/4
Altezza anima h’ 0.5h
Larghezza ali b 0.75h
Sporgenza ali b’ 0.25h
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Proporzionata la sezione si procede a ricalcolare le grandezza geometriche reali:
Grandezza Simbolo Formula
Area A 0.5 h2
Momento d’inerzia minimo Jmin 0.018 h4
Raggio d’inerzia minimo imin 0.19 h
Snellezza λ 5.27 ⋅ (l / h)
Modulo di resistenza Wf [bh3 -2(b’h’3)] / (6h)
h h'
b' b
y
y
3.4 Verifica mediante il metodo di Rankine
N = (σamm⋅ A) / (1 + α ⋅ λ2) Dove:
α = (ν ⋅ σamm) / (π2⋅ E) ν = 2 (consigliato)
A questo punto si adatta la sezione fino a che non soddisfa:
Fmax ≤ N 3.5 Verifica del fusto a fatica (colpo di frusta)
Durante il movimento, soprattutto ad alte velocità, si producono sulla biella notevoli forze d’inerzia che agiscono sostanzialmente ortogonalmente al suo asse. In realtà si generano anche forze di inerzia assiali, ma sono per lo più trascurabili. L’esperienza costruttiva ha messo in luce che la posizione solitamente più gravosa in tal senso è da individuarsi quando biella e manovella sono in quadratura. In tale posizione è lecito, con buona approssimazione della realtà, considerare l’accelerazione ax
proporzionale alla distanza x calcolata a partire dal piede di biella e normale all’asse della stessa biella con verso rivolto verso l’interno.
L’espressione dell’accelerazione è quindi:
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ax = (x / l) ω2⋅ r
Normalmente la sezione di una biella veloce non è costante, quindi per determinare le forze d’inerzia bisognerebbe calcolare sezione per sezione con la massa di competenza, tuttavia non si commette un grosso errore se si considera nella determinazione delle forze d’inerzia una sezione media e conseguente massa media, quindi:
qi = ρ ⋅ Af⋅ (x / l) ω2 ⋅ r Af = area media
ρ = densità
Risulta quindi essere un carico triangolare che, come noto, raggiunge il momento massimo:
Mmax = 0.064 ⋅ q0⋅ l2 dove:
q0 = ρ ⋅ Af⋅ ω2⋅ r nel punto di ascissa:
x = 0.577 ⋅ l se indichiamo con:
mf = massa totale del fusto = ρ⋅ Af⋅ l
allora il momento massimo può anche essere scritto come:
Mmax = 0.064 ⋅ mf⋅ ω2⋅ r ⋅ l Quindi la tensione dovuta a flessione vale:
σf = Mmax / Wf
(Wf calcolato anch’esso a x = 0.577 ⋅ l)
A tale tensione si deve sommare la tensione dovuta al carico assiale in quadratura:
Fq = (p ⋅ Ac) / cosα = (p ⋅ Ac) ⋅ [(l2 + r2)1/2 / l]
σn = Fq / Af
(Af calcolato anch’esso a x = 0.577 ⋅ l)
Quindi la tensione totale:
σTOT = σf + σn≤ σamm
A questo punto possono essere percorse due strade (o entrambe in successione) Verifica statica supportata da opportuni coefficienti di sicurezza
Dimensionamento a fatica (più rigoroso ma più laborioso)
