Capitolo 1. INTRODUZIONE 2.1
Rappresentazione grafica - caso discreto
L’equazione alle differenze di tipo matriciale
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) cio`e
x1(k + 1) ...
xn(k + 1)
=
λ1 . . . 0 ... ...
0 . . . λn
x1(k) ...
xn(k)
+
b1,1 . . . b1,m ... ...
bn,1 . . . bn,m
u1(k) ...
um(k)
descrive n sistemi lineari del primo ordine non interagenti tra di loro:
z−1
λn
u1(k) ...
um(k)
xn(k + 1) xn(k)
6
- -
z−1
λ1
x1(k + 1) x1(k)
6
- -
[bn,1, . . . , bn,m] [b1,1, . . . , b1,m]
- -
-
Rappresentazione grafica - caso continuo
L’equazione differenziale di tipo matriciale:
˙x(t) = A x(t) + Bu(t) cio`e
˙x1(t) ...
˙xn(t)
=
λ1 . . . 0 ... ...
0 . . . λn
x1(t) ...
xn(t)
+
b1,1 . . . b1,m ... ...
bn,1 . . . bn,m
u1(t) ...
um(t)
descrive n sistemi lineari del primo ordine non interagenti tra di loro:
s−1
λn
˙xn(t) xn(t)
6
- -
s−1
λ1
˙x1(t) x1(t)
6
- -
u1(t) ...
um(t)
[bn,1, . . . , bn,m] [b1,1, . . . , b1,m]
- -
-
Capitolo 2. ANALISI MODALE 2.3
Autovalori reali - caso discreto I
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
X
Autovalore sul piano complesso
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
o o o o o
o o
o o
o o
Andamento del modo
λk dove λ = 1.5
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
X
Autovalore sul piano complesso
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
o o o o o o o o o o o
Andamento del modo
λk dove λ = 1
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
X
Autovalore sul piano complesso
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
o o
o o o o o o o o o
Andamento del modo
λk dove λ = 0.5
Autovalori reali - caso discreto II
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
X
Autovalore sul piano complesso
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
o
o o o o o o o o o o
Andamento del modo
λk dove λ = 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
X
Autovalore sul piano complesso
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
o
o o
o o o o o o o o
Andamento del modo
λk dove λ = −0.5
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
X
Autovalore sul piano complesso
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
o
o o
o o
o o
o o
o o
Andamento del modo
λk dove λ = −1
Capitolo 2. ANALISI MODALE 2.5
Autovalori reali - caso continuo
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
X
Autovalore sul piano complesso
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Andamento del modo
eλt dove λ = 0.5
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
X
Autovalore sul piano complesso
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
Andamento del modo
eλt dove λ = 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
X
Autovalore sul piano complesso
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
Andamento del modo
eλt dove λ = −0.5
Autovalori complessi - caso discreto
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
X
X
Autovalori sul piano complesso
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1o
o
o
o o
o o
o o
o
o
Andamento del modo relativo a lambda 1
λ1,2 = e±jπ4 → coskπ 4
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
X
X
Autovalori sul piano complesso
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1o
o
o o o o o o o o o
Andamento del modo relativo a lambda 1
λ1,2 = 0.5e±jπ4 → (0.5)k cos kπ 4
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
X
X
Autovalori sul piano complesso
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1o
o
o o
o
o
o o
o
o
o
Andamento del modo relativo a lambda 1
λ1,2 = e±jπ2 = ±j → cos kπ 2
Capitolo 2. ANALISI MODALE 2.7
Autovalori complessi - caso continuo
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−4
−3
−2
−1 0 1 2 3 4
X
X
Autovalori sul piano complesso
eσtcos(ωt) dove λ1,2 = 0.5 ± j2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−4
−3
−2
−1 0 1 2 3 4
X
X
Autovalori sul piano complesso
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
Andamento del modo
eσtcos(ωt) dove λ1,2 = ±j2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
Andamento del modo
eσtcos(ωt) dove λ1,2 = −0.5 ± j2
Rappresentazione grafica - caso discreto
L’interazione tra i modi corrispondenti ad un miniblocco di Jordan di dimen- sione ν, pu`o essere evidenziata mediante uno schema a blocchi corrispondente alla relazione matriciale:
x1(k + 1) ...
xν−1(k + 1) xν(k + 1)
=
λ 1 . . . 0 ... ... . . . ...
0 0 . . . 1 0 0 . . . λ
x1(k) ...
xν−1(k) xν(k)
+
b1,1 . . . b1,m
... ...
bν−1,1 . . . bν−1,m bν,1 . . . bν,m
u1(k) ...
um(k)
descrive ν sistemi lineari del primo ordine interagenti tra di loro:
z−1
λ
xν−1(k + 1)- xν−1(k)
-
z−1
λ
xν(k + 1)- xν(k)
- 6
? 6
?
z−1
λ
x1(k + 1)- x1(k)
- 6
[b1,1, . . . , b1,m] [bν−1,1, . . . , bν−1,m]
[bν,1, . . . , bν,m]
- - -
u1(k) ...
um(k)
Capitolo 2. ANALISI MODALE 2.9
Rappresentazione grafica - caso continuo
L’interazione tra i modi corrispondenti ad un miniblocco di Jordan di dimen- sione ν, pu`o essere evidenziata mediante uno schema a blocchi corrispondente alla relazione matriciale:
˙x1(t) ...
˙xν−1(t)
˙xν(t)
=
λ 1 . . . 0 ... ... ...
0 0 . . . 1 0 0 . . . λ
x1(t) ...
xν−1(t) xν(t)
+
b1,1 . . . b1,m
... ...
bν−1,1 . . . bν−1,m bν,1 . . . bν,m
u1(t) ...
um(t)
descrive ν sistemi lineari del primo ordine interagenti tra di loro:
s−1
λ
˙xν−1(t) - xν−1(t)
-
s−1
λ
˙xν(t) - xν(t)
- 6
? 6
?
s−1
λ
˙x1(t) - x1(t)
- 6
[b1,1, . . . , b1,m] [bν−1,1, . . . , bν−1,m]
[bν,1, . . . , bν,m]
- - -
u1(t) ...
um(t)
Autovalori reali multipli - Esempio
Sia il sistema in forma di Jordan con autovalore λ di molteplicit`a due:
x1(k + 1) x2(k + 1)
=
λ 1 0 λ
x1(k) x2(k)
La traiettoria dello stato `e quindi definita dalle relazioni:
x1(k) = λkx1(0) + kλk−1x2(0), x1(0) = 1 x2(k) = λkx2(0) x2(0) = 1 Analizziamo i due modi m1 = λk e m2 = kλk−1:
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
X O
Autovalori sul piano complesso
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 5 10 15
x x x x x x x x x x x o o o o o o o o o o o
Andamento dei modi
Autovalore doppio λ = 1, modi m1 e m2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
X O
Autovalori sul piano complesso
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
x
x x x
x x
x x x x x o
o
o o o o o o o o o
Andamento dei modi
Autovalore doppio λ = 0.5, modi m1 e m2
Capitolo 2. ANALISI MODALE 2.11
Autovalori reali multipli - Esempio
Sia il sistema in forma di Jordan con autovalore λ di molteplicit`a due:
˙x1(t)
˙x2(t)
=
λ 1 0 λ
x1(t) x2(t)
La traiettoria dello stato `e quindi definita dalle relazioni:
x1(t) = eλtx1(0) + teλtx2(0), x1(0) = 1 x2(t) = eλtx2(0) x2(0) = 1 Analizziamo i due modi m1 = eλt e m2 = teλt:
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
X O
Autovalori sul piano complesso
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 5 10 15
Andamento dei modi
Autovalore doppio λ = 0, modi m1 e m2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
X O
Autovalori sul piano complesso
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
Andamento dei modi
Autovalore doppio λ = −0.5, modi m1 e m2
