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Rappresentazione grafica - caso discreto

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Academic year: 2021

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(1)

Capitolo 1. INTRODUZIONE 2.1

Rappresentazione grafica - caso discreto

L’equazione alle differenze di tipo matriciale

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) cio`e

x1(k + 1) ...

xn(k + 1)

=

λ1 . . . 0 ... ...

0 . . . λn

x1(k) ...

xn(k)

+

b1,1 . . . b1,m ... ...

bn,1 . . . bn,m

u1(k) ...

um(k)

descrive n sistemi lineari del primo ordine non interagenti tra di loro:

z−1

λn 

u1(k) ...

um(k)

xn(k + 1) xn(k)

6

- -

z−1

λ1 

x1(k + 1) x1(k)

6

- -

[bn,1, . . . , bn,m] [b1,1, . . . , b1,m]

- -

-

(2)

Rappresentazione grafica - caso continuo

L’equazione differenziale di tipo matriciale:

˙x(t) = A x(t) + Bu(t) cio`e

˙x1(t) ...

˙xn(t)

=

λ1 . . . 0 ... ...

0 . . . λn

x1(t) ...

xn(t)

+

b1,1 . . . b1,m ... ...

bn,1 . . . bn,m

u1(t) ...

um(t)

descrive n sistemi lineari del primo ordine non interagenti tra di loro:

s−1

λn 

˙xn(t) xn(t)

6

- -

s−1

λ1 

˙x1(t) x1(t)

6

- -

u1(t) ...

um(t)

[bn,1, . . . , bn,m] [b1,1, . . . , b1,m]

- -

-

(3)

Capitolo 2. ANALISI MODALE 2.3

Autovalori reali - caso discreto I

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

X

Autovalore sul piano complesso

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

o o o o o

o o

o o

o o

Andamento del modo

λk dove λ = 1.5

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

X

Autovalore sul piano complesso

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

o o o o o o o o o o o

Andamento del modo

λk dove λ = 1

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

X

Autovalore sul piano complesso

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

o o

o o o o o o o o o

Andamento del modo

λk dove λ = 0.5

(4)

Autovalori reali - caso discreto II

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

X

Autovalore sul piano complesso

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

o

o o o o o o o o o o

Andamento del modo

λk dove λ = 0

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

X

Autovalore sul piano complesso

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

o

o o

o o o o o o o o

Andamento del modo

λk dove λ = −0.5

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

X

Autovalore sul piano complesso

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

o

o o

o o

o o

o o

o o

Andamento del modo

λk dove λ = −1

(5)

Capitolo 2. ANALISI MODALE 2.5

Autovalori reali - caso continuo

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

X

Autovalore sul piano complesso

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Andamento del modo

eλt dove λ = 0.5

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

X

Autovalore sul piano complesso

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Andamento del modo

eλt dove λ = 0

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

X

Autovalore sul piano complesso

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Andamento del modo

eλt dove λ = −0.5

(6)

Autovalori complessi - caso discreto

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

X

X

Autovalori sul piano complesso

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1o

o

o

o o

o o

o o

o

o

Andamento del modo relativo a lambda 1

λ1,2 = e±jπ4 → coskπ 4

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

X

X

Autovalori sul piano complesso

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1o

o

o o o o o o o o o

Andamento del modo relativo a lambda 1

λ1,2 = 0.5e±jπ4 → (0.5)k cos kπ 4

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

X

X

Autovalori sul piano complesso

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1o

o

o o

o

o

o o

o

o

o

Andamento del modo relativo a lambda 1

λ1,2 = e±jπ2 = ±j → cos kπ 2

(7)

Capitolo 2. ANALISI MODALE 2.7

Autovalori complessi - caso continuo

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

X

X

Autovalori sul piano complesso

eσtcos(ωt) dove λ1,2 = 0.5 ± j2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

X

X

Autovalori sul piano complesso

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Andamento del modo

eσtcos(ωt) dove λ1,2 = ±j2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Andamento del modo

eσtcos(ωt) dove λ1,2 = −0.5 ± j2

(8)

Rappresentazione grafica - caso discreto

L’interazione tra i modi corrispondenti ad un miniblocco di Jordan di dimen- sione ν, pu`o essere evidenziata mediante uno schema a blocchi corrispondente alla relazione matriciale:

x1(k + 1) ...

xν−1(k + 1) xν(k + 1)

=

λ 1 . . . 0 ... ... . . . ...

0 0 . . . 1 0 0 . . . λ

x1(k) ...

xν−1(k) xν(k)

+

b1,1 . . . b1,m

... ...

bν−1,1 . . . bν−1,m bν,1 . . . bν,m

u1(k) ...

um(k)

descrive ν sistemi lineari del primo ordine interagenti tra di loro:

z−1

λ

xν−1(k + 1)- xν−1(k)

-

z−1

λ

xν(k + 1)- xν(k)

- 6



? 6



?

z−1

λ

x1(k + 1)- x1(k)

- 6



[b1,1, . . . , b1,m] [bν−1,1, . . . , bν−1,m]

[bν,1, . . . , bν,m]

- - -

u1(k) ...

um(k)

(9)

Capitolo 2. ANALISI MODALE 2.9

Rappresentazione grafica - caso continuo

L’interazione tra i modi corrispondenti ad un miniblocco di Jordan di dimen- sione ν, pu`o essere evidenziata mediante uno schema a blocchi corrispondente alla relazione matriciale:

˙x1(t) ...

˙xν−1(t)

˙xν(t)

=

λ 1 . . . 0 ... ... ...

0 0 . . . 1 0 0 . . . λ

x1(t) ...

xν−1(t) xν(t)

+

b1,1 . . . b1,m

... ...

bν−1,1 . . . bν−1,m bν,1 . . . bν,m

u1(t) ...

um(t)

descrive ν sistemi lineari del primo ordine interagenti tra di loro:

s−1

λ

˙xν−1(t) - xν−1(t)

-

s−1

λ

˙xν(t) - xν(t)

- 6



? 6



?

s−1

λ

˙x1(t) - x1(t)

- 6



[b1,1, . . . , b1,m] [bν−1,1, . . . , bν−1,m]

[bν,1, . . . , bν,m]

- - -

u1(t) ...

um(t)

(10)

Autovalori reali multipli - Esempio

Sia il sistema in forma di Jordan con autovalore λ di molteplicit`a due:

x1(k + 1) x2(k + 1)

=

λ 1 0 λ

x1(k) x2(k)

La traiettoria dello stato `e quindi definita dalle relazioni:

x1(k) = λkx1(0) + kλk−1x2(0), x1(0) = 1 x2(k) = λkx2(0) x2(0) = 1 Analizziamo i due modi m1 = λk e m2 = kλk−1:

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

X O

Autovalori sul piano complesso

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 5 10 15

x x x x x x x x x x x o o o o o o o o o o o

Andamento dei modi

Autovalore doppio λ = 1, modi m1 e m2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

X O

Autovalori sul piano complesso

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

x

x x x

x x

x x x x x o

o

o o o o o o o o o

Andamento dei modi

Autovalore doppio λ = 0.5, modi m1 e m2

(11)

Capitolo 2. ANALISI MODALE 2.11

Autovalori reali multipli - Esempio

Sia il sistema in forma di Jordan con autovalore λ di molteplicit`a due:

˙x1(t)

˙x2(t)

=

λ 1 0 λ

x1(t) x2(t)

La traiettoria dello stato `e quindi definita dalle relazioni:

x1(t) = eλtx1(0) + teλtx2(0), x1(0) = 1 x2(t) = eλtx2(0) x2(0) = 1 Analizziamo i due modi m1 = eλt e m2 = teλt:

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

X O

Autovalori sul piano complesso

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 5 10 15

Andamento dei modi

Autovalore doppio λ = 0, modi m1 e m2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

X O

Autovalori sul piano complesso

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Andamento dei modi

Autovalore doppio λ = −0.5, modi m1 e m2

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