Calcolo delle formule di inversione

Sintesi di reti correttrici: formule di inversione

• Si consideri il seguente sistema retroazionato:

- - C(s) ^- G(s) ^-

6

r e m y

dove G(s) `e il sistema da controllare e C(s) `e un’opportuna rete correttrice aventi la seguente struttura:

C(s) = 1 + τ₁s 1 + τ2s

• Si ha una rete anticipatrice quando τ₁ > τ₂: C(s) = 1 + τ s

1 + ατ s dove τ = τ₁, α = τ₂ τ₁ < 1

• Si ha una rete ritardatrice quando τ₁ < τ₂: C(s) = 1 + ατ s

1 + τ s dove τ = τ₂, α = τ₁ τ₂ < 1

• Le specifiche di stabilit´a del sistema retroazionato vengono tipicamente date in termini di margine di fase M_ϕ e di margine di ampiezza M_α.

• I parametri τ₁ e τ₂ della rete correttrice C(s) vengono progettati utilizzano le seguenti formule di inversione:

τ₁ = M − cos ϕ

ωsin ϕ , τ₂ = cos ϕ − _M¹ ωsin ϕ

dove M e ϕ rappresentano l’amplificazione anticipo di fase della rete correttrice in corrispondenza della pulsazione ω.

Calcolo delle formule di inversione

• Problema di progetto: determinare i valori τ1 e τ₂ della funzione C(s) in modo che:

C(jω) = 1 + j τ1ω

1 + j τ2ω = M e^jϕ

cio`e in modo che la rete correttrice C(s) amplifichi di M ed anticipi di ϕ in corri- spondenza della pulsazione ω.

• Le formule di inversione si ottengono riscrivendo l’equazione C(jω) = 1 + j τ1ω

1 + j τ2ω = M e^jϕ = M cos ϕ + jM sin ϕ nella seguente forma

(M cos ϕ + jM sin ϕ)(1 + j τ₂ω) = 1 + j τ₁ω Trasformando tale equazione nel sistema lineare

" 1 −M cos ϕ 0 M sin ϕ

# "

τ₁ω τ₂ω

#

=

"

M sin ϕ M cos ϕ − 1

#

e risolvendo rispetto alle variabili τ1 e τ2

τ₁ =    

M sin ϕ −M cos ϕ M cos ϕ − 1 M sin ϕ

ωM sin ϕ = M − cos ϕ

ωsin ϕ

τ₂ =    

1 M sin ϕ 0 M cos ϕ − 1

ωM sin ϕ =

cos ϕ − 1 M ωsin ϕ si ottengono le seguenti formule di inversione:

τ₁ = M − cos ϕ

ωsin ϕ , τ₂ = cos ϕ − _M¹ ωsin ϕ

• Tali formule sono valide sia per reti anticipatrici (M > 1 e ϕ > 0) che per reti ritardatrici (M < 1 e ϕ < 0).

• Le specifiche di stabilit´a riguardanti il margine di fase Mϕ e il margine di ampiezza M_α possono sempre essere convertite nell’individuazione di un punto B sul piano complesso attraverso il quale deve passare la funzione armonica del sistema controllato C(s)G(s).

• Determinazione del punto B sul piano di Nyquist e sul piano di Nichols

B₁ M_ϕ

B₂ 1 M_α

B₃

Re Im

−1 O

Piano di Nyquist

B₁ M_ϕ

B₂ M_α

B₃

ϕ

| · |

−1

Piano di Nichols

• Regione D₁ dei punti A che una rete anticipatrice pu´o spostare in B.

B

A1

A2

A3

Re Im

D¹ 0

ReteAnticipatrice Piano di Nyquist

π 2

B

A1

A2

A3

ϕ

| · |

−1

D1

ReteAnticipatrice

Piano di Nichols

• Regione D₂ dei punti A che una rete ritardatrice pu´o spostare in B.

B

A1

A2

A3

Re Im

0

D2

ReteRitardatrice

Piano di Nyquist

π 2

B

A1

A2

A3

ϕ

| · |

−1

D2

ReteRitardatrice

Piano di Nichols

Esempi di sintesi di reti correttrici

• Progetto di rete anticipatrice sul piano di Nyquist. Specifica: M_ϕ = 60^◦

A

D1

ω

G1(jω) ω¹

ω²

Mϕ= 60^◦

B

Gc(jω)

−1 O

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Risposta al gradino

y(t)

Time [s]

• Progetto di rete ritardatrice sul piano di Nyquist. Specifica: Mϕ = 60^◦.

A B

D2

G²(jω) ω²

ω¹ Mϕ= 60^◦

ω Gc(jω) O

−1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Risposta al gradino

y(t)

Time [s]

• Progetto di rete ritardatrice sul piano di Nyquist. Specifica: M_α = 5.

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2

−6

−5

−4

−3

−2

−1 0 1

−1

G³(jω)

Gc(jω) 0

A

B

D²

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Risposta al gradino

y(t)

Time [s]