Calcolo e Progetto di Macchine

(1)

Lezioni del corso di

Calcolo e Progetto di Macchine

Università del Salento

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica

prof. ing. Riccardo Nobile

1

Elementi Finiti: carichi nodali equivalenti

(2)

Sistemi a più gradi di libertà

2

Un iversit à del Sa lento

Principio di stazionarietà del potenziale

R. Nobile – Calcolo e Progetto di Macchine Elementi finiti: carichi nodali equivalenti

Applicando il principio di stazionarietà del potenziale si è potuto ricavare l’espressione generale del metodo degli elementi finiti:

𝒅𝑳_𝒆 + 𝒅𝑳_𝒊 = 𝟎

𝑿 ^𝑻𝜹 𝒖_𝑷 𝒅𝑽

𝑫

+ 𝝍 ^𝑻𝜹 𝒖_𝑷 𝒅𝑺

𝑺_𝒍

+ 𝑭 ^𝑻𝜹 𝒖 = 𝝈 ^𝑻𝜹 𝜺 𝒅𝑽

𝑫

𝑭 = 𝑲 𝒖

Nel fare questo abbiamo assunto che i primi due termini del lavoro compiuto dalle forze esterne fossero nulli

(3)

Carichi nodali equivalenti

3

Un iversit à del Sa lento

Calcolo dei carichi equivalenti

I due termini precedenti corrispondono rispettivamente al lavoro compiuto dalle forze di volume e dai carichi distribuiti sulle superfici del dominio

Ognuno di questi termini potrà essere ricondotto al lavoro compiuto da forze nodali equivalenti applicate in corrispondenza degli spostamenti virtuali dei nodi δ{u}

𝑿

^𝑻

𝜹 𝒖

_𝑷

𝒅𝑽

𝑫

= 𝑭

_𝑿𝒆𝒒 ^𝑻

𝜹 𝒖

𝝍

^𝑻

𝜹 𝒖

_𝑷

𝒅𝑺

𝑺_𝒍

= 𝑭

_𝝍𝒆𝒒 ^𝑻

𝜹 𝒖

(4)

Carichi nodali equivalenti

4

Un iversit à del Sa lento

Calcolo dei carichi equivalenti

Per determinare le espressioni dei carichi nodali equivalenti, focalizziamo l’attenzione sui carichi distribuiti di superficie

Poiché dL_eψ è un termine energetico, e quindi uno scalare, esso coinciderà con il suo trasposto

𝒅𝑳

_𝒆𝝍

= 𝝍

^𝑻

𝜹 𝒖

_𝑷

𝒅𝑺

𝑺_𝒍

= 𝑭

_𝝍𝒆𝒒 ^𝑻

𝜹 𝒖

𝒅𝑳

_𝒆𝝍

= 𝜹 𝒖

_𝑷 ^𝑻

𝝍 𝒅𝑺

𝑺_𝒍

= 𝜹 𝒖

^𝑻

𝑭

_𝝍𝒆𝒒

(5)

Carichi nodali equivalenti

5

Un iversit à del Sa lento

Calcolo dei carichi equivalenti

Si può quindi sfruttare la definizione delle funzioni di forma ed esprimere il vettore degli spostamenti virtuali del generico punto P nella forma:

𝒅𝑳

_𝒆𝝍

= 𝜹 𝒖

_𝑷 ^𝑻

𝝍 𝒅𝑺

𝑺_𝒍

= 𝜹 𝒖

^𝑻

𝑭

_𝝍𝒆𝒒

𝜹 𝒖_𝑷 =

𝛿𝑢_𝑃 𝛿𝑣_𝑃 𝛿𝑤_𝑃

=

𝑵_𝟏𝟏 𝑵_𝟏𝟐 … 𝑵_𝟏𝑴 𝑵_𝟐𝟏 𝑵_𝟐𝟐 𝑵_𝟐𝑴 𝑵_𝟑𝟏 𝑵_𝟑𝟐 … 𝑵_𝟑𝑴

𝜹 𝒖

𝜹 𝒖_𝑷 ^𝐓 = 𝛅 𝒖 ^𝑻 𝑵 ^𝑻

(6)

Carichi nodali equivalenti

6

Un iversit à del Sa lento

Calcolo dei carichi equivalenti

Sostituendo tale espressione in dL_eψ e tenendo conto che gli spostamenti virtuali nodali non dipendono dall’area infinitesima dS si ottiene:

𝒅𝑳

_𝒆𝝍

= 𝜹 𝒖

^𝑻

𝑵

^𝑻

𝝍 𝒅𝑺

𝑺_𝒍

= 𝜹 𝒖

^𝑻

𝑭

_𝝍𝒆𝒒

𝜹 𝒖_𝑷 ^𝐓 = 𝛅 𝒖 ^𝑻 𝑵 ^𝑻

𝜹 𝒖

^𝑻

𝑵

^𝑻

𝝍 𝒅𝑺

𝑺_𝒍

− 𝑭

_𝝍𝒆𝒒

= 𝟎

(7)

Carichi nodali equivalenti

7

Un iversit à del Sa lento

Calcolo dei carichi equivalenti

In definitiva l’espressione dei carichi nodali equivalenti a dei carichi distribuiti {ψ} agenti sulla superficie S_l diventa:

Con procedimento del tutto analogo si può ottenere l’espressione dei carichi nodali equivalenti alle forze di volume:

𝑭

_𝝍𝒆𝒒

= 𝑵

^𝑻

𝝍 𝒅𝑺

𝑺_𝒍

𝑭

_𝑿𝒆𝒒

= 𝑵

^𝑻

𝑿 𝒅𝑽

𝑫

(8)

Carichi nodali equivalenti

8

Un iversit à del Sa lento

Proprietà dei carichi nodali equivalenti

Le espressioni ricavate permettono di calcolare dei carichi nodali equivalenti.

L’equivalenza tra il sistema dei carichi reali applicati al sistema e quelli nodali equivalenti si traduce nel fatto che:

 Garantiscono l’equilibrio del sistema: le forze nodali equivalenti hanno la stessa risultante e momento risultante della distribuzione di carichi che sostituiscono

 Stabiliscono un equilibrio energetico del sistema: il lavoro virtuale delle forze nodali equivalenti è lo stesso di quello associato alla distribuzione di carichi che sostituiscono

𝑭

_𝝍𝒆𝒒

= 𝑵

^𝑻

𝝍 𝒅𝑺

𝑺_𝒍

𝑭

_𝑿𝒆𝒒

= 𝑵

^𝑻

𝑿 𝒅𝑽

𝑫

(9)

Carichi nodali equivalenti

9

Un iversit à del Sa lento

Carichi nodali equivalenti elemento trave

Consideriamo una trave semplicemente appoggiata su cui insiste un carico distribuito trasversale

La trave potrà essere schematizzata con un unico elemento finito tipo trave inflessa nel piano, la cui matrice di rigidezza è ben nota

x

y u¹

u² u⁴

u³

q

𝑲 = 𝑬𝑱 𝒍^𝟑

𝟏𝟐 𝟔𝒍 −𝟏𝟐 𝟔𝒍 𝟔𝒍 𝟒𝒍^𝟐 −𝟔𝒍 𝟐𝒍^𝟐

−𝟏𝟐 −𝟔𝒍 𝟏𝟐 −𝟔𝒍 𝟔𝒍 𝟐𝒍^𝟐 −𝟔𝒍 𝟒𝒍^𝟐

(10)

Carichi nodali equivalenti

10

Un iversit à del Sa lento

Carichi nodali equivalenti elemento trave

Possiamo esprimere per comodità il vettore dei carichi nodali come somma del vettore dei carichi esterni e delle reazioni vincolari ottenendo:

x

y u¹

u² u⁴

u³

𝑭 = 𝑸 + 𝑹 = 𝑲 𝒖

Q¹ Q2

Q³

Q⁴ R²

R¹ R³

R⁴

(11)

Carichi nodali equivalenti

11

Un iversit à del Sa lento

Carichi nodali equivalenti elemento trave

Tenendo conto dei vincoli applicati alla struttura, il vettore delle reazioni vincolari sarà:

q

𝑹 =

𝑹

_𝟏

𝟎 𝑹

_𝟑

𝟎

R²

R¹ R³

R⁴

(12)

Carichi nodali equivalenti

12

Un iversit à del Sa lento

Carichi nodali equivalenti elemento trave

Per quanto riguarda i carichi nodali equivalenti, saremmo portati a calcolarci la risultante del carico distribuito e a suddividerlo tra i due nodi

I due carichi equivalenti avrebbero la medesima risultante e momento risultante del carico distribuito applicato

q

𝑸 =

− 𝒒𝒍 𝟎 𝟐

Q¹ Q²

Q³ Q⁴

(13)

Carichi nodali equivalenti

13

Un iversit à del Sa lento

Carichi nodali equivalenti elemento trave

Sostituendo i vari termini otterremmo:

𝑭 = 𝑸 + 𝑹 = 𝑲 𝒖

− 𝒒𝒍 𝟎 𝟐

+

𝑹

_𝟏

𝟎 𝑹

_𝟑

𝟎 = 𝑬𝑱 𝒍

^𝟑

𝟏𝟐 𝟔𝒍 −𝟏𝟐 𝟔𝒍 𝟔𝒍 𝟒𝒍

^𝟐

−𝟔𝒍 𝟐𝒍

^𝟐

−𝟏𝟐 −𝟔𝒍 𝟏𝟐 −𝟔𝒍 𝟔𝒍 𝟐𝒍

^𝟐

−𝟔𝒍 𝟒𝒍

^𝟐

𝟎 𝒖

_𝟐

𝟎 𝒖

_𝟒

Per determinare la deformata dovremmo considerare il sistema di equazioni lineari associato alla matrice di rigidezza ridotta, ottenuta eliminando le righe e le colonne corrispondenti ai vincoli

(14)

Carichi nodali equivalenti

14

Un iversit à del Sa lento

Carichi nodali equivalenti elemento trave

Risolvendo si ottiene:

Mentre per le reazioni vincolari si otterrebbe il risultato corretto:

𝟎 𝟎 + 𝟎

𝟎 = 𝑬𝑱 𝒍

^𝟑

𝟒𝒍

^𝟐

𝟐𝒍

^𝟐

𝟐𝒍

^𝟐

𝟒𝒍

^𝟐

𝒖

_𝟐

𝒖

_𝟒

⇒ 𝒖

_𝟐

𝒖

_𝟒

= 𝟎 𝟎

− 𝒒𝒍 𝟐

+ 𝑹

_𝟏

𝑹

_𝟑

= 𝟎

𝟎 ⇒ 𝑹

_𝟏

𝑹

_𝟑

=

𝒒𝒍 𝟐 𝒒𝒍

𝟐

Si ottiene il risultato paradossale che una trave caricata con un carico distribuito non subirebbe alcuna flessione

(15)

Carichi nodali equivalenti

15

Un iversit à del Sa lento

Carichi nodali equivalenti elemento trave

L’errore che porta a questa soluzione assurda risiede nella modalità con cui sono stati individuati i carichi nodali equivalenti

Il sistema di carico scelto è equivalente dal punto di vista dell’equilibrio del sistema, ma non dal punto di vista energetico

q

𝑸 =

− 𝒒𝒍 𝟎 𝟐

Q¹ Q²

Q³ Q⁴

(16)

Carichi nodali equivalenti

16

Un iversit à del Sa lento

Carichi nodali equivalenti elemento trave

E’ necessario calcolare dei carichi nodali che siano equivalenti anche dal punto di vista energetico

E’ quindi necessario determinare le funzioni di forma anche per gli elementi tipo asta o trave, per i quali la matrice di rigidezza è stata determinata direttamente per ispezione

𝑭

_𝝍𝒆𝒒

= 𝑵

^𝑻

𝝍 𝒅𝑺

𝑺_𝒍

(17)

Funzioni di forma elementi tipo trave

17

Un iversit à del Sa lento

Elemento asta trazione-compressione

Consideriamo un elemento asta e fissiamo un riferimento locale coincidente con la direzione della congiungente i due nodi i e j

(18)

Funzioni di forma elementi tipo trave

18

Un iversit à del Sa lento

Elemento asta trazione-compressione

 equazione di congruenza

 equazione costitutiva

 Equazione di equilibrio

𝜺

_𝒙

= 𝒅𝒖 𝒅𝒙 𝝈

_𝒙

= 𝑬𝜺

_𝒙

𝑵 = 𝝈

_𝒙

𝑨

𝒅𝒖

𝒅𝒙 = 𝑵 𝑬𝑨

Equazione della linea elastica

(19)

Funzioni di forma elementi tipo trave

19

Un iversit à del Sa lento

Elemento asta trazione-compressione

Condizioni al contorno

𝒙 = 𝟎 ⇒ 𝒖 𝟎 = 𝒖

_𝒊

⇒ 𝒖 𝟎 = 𝒄 = 𝒖

_𝒊

𝒙 = 𝒍 ⇒ 𝒖 𝒍 = 𝒖

_𝒋

⇒ 𝒖 𝒍 = 𝑵

𝑬𝑨 𝒍 + 𝒖

_𝒊

= 𝒖

_𝒋

𝒅𝒖

𝒅𝒙 = 𝑵 𝑬𝑨

𝒖 𝒙 = 𝑵

𝑬𝑨 𝒙 + 𝒄

⁽¹⁾

(3)

dalla (3)

𝑵

𝑬𝑨 = 𝒖

_𝒋

− 𝒖

_𝒊

𝒍

⁽⁴⁾

(2)

(20)

Funzioni di forma elementi tipo trave

20

Un iversit à del Sa lento

Elemento asta trazione-compressione

𝒖 𝒙 = 𝑵

𝑬𝑨 𝒙 + 𝒄 = 𝒖

_𝒋

− 𝒖

_𝒊

𝒍 𝒙 + 𝒖

_𝒊

Sostituendo la (4) e la (2) nella (1) si ottiene

𝒖 𝒙 = 𝒖

_𝒊

𝟏 − 𝒙

𝒍 + 𝒖

_𝒋

𝒙

𝒍 = 𝒖

_𝒊

𝟏 − 𝝃 + 𝒖

_𝒋

𝝃 𝝃 = 𝒙

𝒍

Coordinata generalizzata

(21)

Funzioni di forma elementi tipo trave

21

Un iversit à del Sa lento

Elemento asta trazione-compressione

In termini matriciali:

𝒖 𝒙 = 𝑵

𝒊

𝑵

_𝒋

𝒖

_𝒊

𝒖

_𝒋

= 𝟏 − 𝝃 𝝃 𝒖

_𝒊

𝒖

_𝒋

𝝃 = 𝒙 𝒍

Coordinata generalizzata

(22)

Funzioni di forma elementi tipo trave

22

Un iversit à del Sa lento

Elemento trave inflessa

Consideriamo un elemento trave, fissiamo un riferimento locale e i gradi di libertà come in figura

x

y u¹

u² u⁴

u³

(23)

Funzioni di forma elementi tipo trave

23

Un iversit à del Sa lento

Elemento trave inflessa

 equazione di congruenza

 equazione costitutiva

 Equazione di equilibrio

𝜺

_𝒙

= 𝒚

𝝆 = 𝒚 𝒅

^𝟐

𝒗 𝒅𝒙

^𝟐

𝝈

_𝒙

= 𝑬𝜺

_𝒙

𝑴 = 𝝈

_𝒙

𝒚𝒅𝑨

𝑨

𝒅

^𝟐

𝒗

𝒅𝒙

^𝟐

= 𝑴 𝑬𝑱

Equazione della linea elastica

x

y u¹

u² u⁴

u³

(24)

Funzioni di forma elementi tipo trave

24

Un iversit à del Sa lento

Elemento trave inflessa

Risolviamo l’equazione della linea elastica tenendo conto dell’espressione di M(x) in funzione dei carichi nodali applicati:

𝒅

^𝟐

𝒗

𝒅𝒙

^𝟐

= 𝑴 𝑬𝑱

𝑴 𝒙 = −𝑭

_𝟐

+ 𝑭

_𝟏

𝒙 F

²

F

¹

F

³

F

⁴

l x

𝒅

^𝟐

𝒗

𝒅𝒙

^𝟐

= 𝟏

𝑬𝑱 −𝑭

_𝟐

+ 𝑭

_𝟏

𝒙

(25)

Funzioni di forma elementi tipo trave

25

Un iversit à del Sa lento

Elemento trave inflessa

Integriamo due volte per ottenere l’espressione di v(x):

𝒅

^𝟐

𝒗

𝒅𝒙

^𝟐

= 𝟏

𝑬𝑱 −𝑭

_𝟐

+ 𝑭

_𝟏

𝒙

𝒅𝒗

𝒅𝒙 = 𝟏

𝑬𝑱 −𝑭

_𝟐

𝒙 + 𝑭

_𝟏

𝒙

^𝟐

𝟐 + 𝒄

_𝟏

𝒗 𝒙 = 𝟏

𝑬𝑱 −𝑭

_𝟐

𝒙

^𝟐

𝟐 + 𝑭

_𝟏

𝒙

^𝟑

𝟔 + 𝒄

_𝟏

𝒙 + 𝒄

_𝟐

(26)

Funzioni di forma elementi tipo trave

26

Un iversit à del Sa lento

Elemento trave inflessa

Teniamo ora conto delle condizioni al contorno:

𝒗 𝒙 = 𝟏

𝑬𝑱 −𝑭

_𝟐

𝒙

^𝟐

𝟐 + 𝑭

_𝟏

𝒙

^𝟑

𝟔 + 𝒄

_𝟏

𝒙 + 𝒄

_𝟐

𝒙 = 𝟎 ⇒ 𝒗 𝟎 = 𝒖

_𝟏

𝒙 = 𝟎 ⇒ 𝝋 𝟎 = 𝒅𝒗

𝒅𝒙

𝒙=𝟎

= 𝒖

_𝟐

𝒙 = 𝒍 ⇒ 𝒗 𝒍 = 𝒖

_𝟑

𝒙 = 𝒍 ⇒ 𝝋 𝒍 = 𝒅𝒗

𝒅𝒙

𝒙=𝒍

= 𝒖

_𝟒

𝒅𝒗

𝒅𝒙 = 𝟏

𝑬𝑱 −𝑭

_𝟐

𝒙 + 𝑭

_𝟏

𝒙

^𝟐

𝟐 + 𝒄

_𝟏

(27)

Funzioni di forma elementi tipo trave

27

Un iversit à del Sa lento

Elemento trave inflessa

Teniamo ora conto delle condizioni al contorno:

𝒗 𝟎 = 𝒄

_𝟐

= 𝒖

_𝟏

𝒅𝒗

𝒅𝒙

𝒙=𝟎

= 𝒄

_𝟏

= 𝒖

_𝟐

𝒗 𝒍 = 𝟏

𝑬𝑱 −𝑭

_𝟐

𝒍

^𝟐

𝟐 + 𝑭

_𝟏

𝒍

^𝟑

𝟔 + 𝒄

_𝟏

𝒍 + 𝒄

_𝟐

= 𝒖

_𝟑

𝒅𝒗

𝒅𝒙

𝒙=𝒍

= 𝟏

𝑬𝑱 −𝑭

_𝟐

𝒍 + 𝑭

_𝟏

𝒍

^𝟐

𝟐 + 𝒄

_𝟏

= 𝒖

_𝟒

Si ottengono 4 equazioni nelle 4 incognite c₁, c₂, F₁ e F₂

(28)

Funzioni di forma elementi tipo trave

28

Un iversit à del Sa lento

Elemento trave inflessa

Risolvendo il sistema si ottiene l’ espressione di v(x) del generico punto interno della trave in funzione degli spostamenti nodali:

In termini matriciali:

𝒗 𝒙 = 𝟐𝒙^𝟑

𝒍^𝟑 − 𝟑𝒙^𝟐

𝒍^𝟐 + 𝟏 𝒖_𝟏 + 𝒙^𝟑

𝒍^𝟐 − 𝟐𝒙^𝟐

𝒍 + 𝒙 𝒖_𝟐 + −𝟐𝒙^𝟑

𝒍^𝟑 +𝟑𝒙^𝟐

𝒍^𝟐 𝒖_𝟑 + 𝒙^𝟑

𝒍^𝟐 −𝒙^𝟐 𝒍 𝒖_𝟒

𝒗 𝒙 = 𝑵

_𝟏

𝑵

_𝟐

𝑵

_𝟑

𝑵

_𝟒

𝒖

_𝟏

𝒖

_𝟐

𝒖

_𝟑

𝒖

_𝟒

𝒗 𝒙 = 𝟐𝝃^𝟑 − 𝟑𝝃^𝟐 + 𝟏 𝒖_𝟏 + 𝝃^𝟑𝒍 − 𝟐𝝃^𝟐𝒍 + 𝝃𝒍 𝒖_𝟐 + −𝟐𝝃^𝟑 + 𝟑𝝃^𝟐 𝒖_𝟑 + 𝝃^𝟑𝒍 − 𝝃^𝟐𝒍 𝒖_𝟒

𝝃 = 𝒙

Coordinata generalizzata 𝒍

(29)

Carichi nodali equivalenti

29

Un iversit à del Sa lento

Carichi nodali equivalenti elemento trave

Possiamo a questo punto a calcolare i carichi nodali equivalenti per un elemento trave con un carico distribuito q

𝑭

_𝝍𝒆𝒒

= 𝑵

^𝑻

𝝍 𝒅𝑺

𝑺_𝒍

Q¹

Q²

Q³ Q⁴ q

x y

𝑸

_𝟏

𝑸

_𝟐

𝑸

_𝟑

𝑸

_𝟒

=

𝑵

_𝟏

𝑵

_𝟐

𝑵

_𝟑

𝑵

_𝟒

−𝒒 𝒍𝒅𝝃

𝟏 𝟎

𝒅𝑺 = 𝒍𝒅𝝃

(30)

Carichi nodali equivalenti

30

Un iversit à del Sa lento

Carichi nodali equivalenti elemento trave

𝑸_𝟏 𝑸_𝟐 𝑸_𝟑 𝑸_𝟒

= −𝒒𝒍

𝟐𝝃^𝟑 − 𝟑𝝃^𝟐 + 𝟏 𝒅𝝃

𝟏

𝟎

𝒍 𝝃^𝟑 − 𝟐𝝃^𝟐 + 𝝃 𝒅𝝃

𝟏

𝟎

−𝟐𝝃^𝟑 + 𝟑𝝃^𝟐 𝒅𝝃

𝟏

𝟎

𝒍 𝝃^𝟑 − 𝝃^𝟐 𝒅𝝃

𝟏 𝟎

= −𝒒𝒍

𝟐𝝃^𝟒

𝟒 − 𝟑𝝃^𝟑 𝟑 + 𝝃

𝟎 𝟏

𝒍 𝝃^𝟒

𝟒 − 𝟐𝝃^𝟑

𝟑 + 𝝃^𝟐 𝟐 𝟎

𝟏

−𝟐𝝃^𝟒

𝟒 + 𝟑𝝃^𝟑 𝟑 𝟎

𝟏

𝒍 𝝃^𝟒

𝟒 − 𝝃^𝟑 𝟑 𝟎

𝟏

(31)

Carichi nodali equivalenti

31

Un iversit à del Sa lento

Carichi nodali equivalenti elemento trave

𝑸_𝟏 𝑸_𝟐 𝑸_𝟑 𝑸_𝟒

= −𝒒𝒍

𝟏

𝟐 − 𝟏 + 𝟏 𝒍 𝟏

𝟒 − 𝟐 𝟑 + 𝟏

𝟐

−𝟏 𝟐 + 𝟏 𝒍 𝟏

𝟒 − 𝟏 𝟑

=

−𝟏 𝟐𝒒𝒍

− 𝟏

𝟏𝟐𝒒𝒍^𝟐

−𝟏 𝟐𝒒𝒍 𝟏

𝟏𝟐𝒒𝒍^𝟐

(32)

Carichi nodali equivalenti

32

Un iversit à del Sa lento

Carichi nodali equivalenti elemento trave

Oltre ai due carichi verticali compaiono due momenti uguali e opposti che determineranno la flessione della trave

𝑸_𝟏 𝑸_𝟐 𝑸_𝟑 𝑸_𝟒

=

−𝟏 𝟐𝒒𝒍

− 𝟏

𝟏𝟐𝒒𝒍^𝟐

−𝟏 𝟐𝒒𝒍 𝟏

𝟏𝟐𝒒𝒍^𝟐

ql ²

ql ql

1 ql 12

1 12 1

2

1 2

2