Compito di Fisica Matematica, 9/7/2010
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 6 cfu risolva almeno quattro dei seguenti quesiti, quello di 9 cfu ne risolva almeno 6:
(1) Dimostrare che,∀p > 0 e ∀m ∈ NN , risulta
∫ 2π 0
e2p(cos(θ)+i sin(θ))e−i2mθdθ = 2π(2p)2m (2m)!
(2) Calcolare i residui della funzione f (z) = (zz−1)(z+2)2+3z+42 in corrispondenza dei suoi punti singo- lari e verificare che la somma di tali residui `e nulla.
(3) Calcolare la derivata debole del segnale φ(x) = u(x−13) sin(2x).
(4) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione f (t) = e2tcos(t).
(5) Lo studente ottenga gli zeri della funzione f (z) = z sin(z)ez2−1 e ne determini l’ordine.
(6) Supponendo che la funzione complessa intera f (z) abbia parte intera u(z) = u(x, y) = xy2+ 1, ricavare la forma di v(z) assumendo inoltre che f (0) = 1 + 5i.
(TdP1) Dimostrare che la funzione f (x) = N x ex(rect(x− 1/2) + rect(x + 1/2)) `e una densit`a di probabilit`a per un’opportuna scelta di N . Ricavare la funzione caratteristica associata ed i momenti di ordine 1 e 2.
(TdP2) Verificare se la funzione f (x) = N
x2+ 1 x∈ [0, 1[
3− x x∈ [1,√ 2]
0 altrove
sia una densit`a di prob-
abilit`a. In questo caso, ottenere la funzione cumulativa associata e la probabilit`a che la variabile aleatoria assuma valore tra 0.2 e 0.8.
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