Compito di Fisica Matematica, 17/9/2010
Prof. F. Bagarello
Lo studente risolva almeno 6 tra i seguenti quesiti:
(1) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione
f (t) =
1, t∈ [0, 3[;
−2, t∈ [3, 4[;
0, altrove.
(2) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Fourier della funzione
f (x) = {
sin(x), x∈ [−2π, π];
0, altrove.
(3) Sviluppare in serie di Taylor nell’intorno di z0= 0 la f (z) = e2z2+log(z)(1 + 3 z3).
(4) Determinare le singolarit`a e la loro natura della funzione f (z) = ez− 1
(z4− z) sinh(z).
(5) Calcolare la derivata debole del segnale φ(x) =(
rect(2 x−12) + rect(2 x + 12)) ex. (6) Sviluppare in serie di Fourier la funzione
f (x) = {
ex−1, x∈ [−π/2, π/2];
0, altrove,
e mostrare che i coefficenti dell’espansione sono a quadrato sommabile.
(7) Supponiamo di lanciare un dado equo a sei facce due volte. Qual’`e la probabilit`a che il risultato del secondo lancio sia maggiore del risultato del primo?
(8) Consideriamo un’urna contenente dei bussolotti numerati da 2 a 6. Determinare la prob- abilit`a che, in tre estrazioni successive (con reintroduzione), i risultati appaiano in ordine non decrescente.
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