Compito di Fisica Matematica, 12/2/2010
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 6 CFU risolva almeno quattro dei seguenti quesiti. Quello di 9 cfu almeno 6:
(1) Considerare lo spazio di Hilbert H := C3. Sia A la matrice A =
1 0 0 2 3 1 5 1 2
e sia
<< ., . >>:= H × H → C la mappa cos`ı definita: ∀f, g ∈ H, << f, g >>=< Af, Ag >=
P3
j=1(Af )j(Ag)j. Verificare se tale mappa definisce un prodotto scalare.
(2) Sviluppare la funzione f (x) = 4 cos3(x) in serie di Fourier. Verificare l’uguaglianza di Parceval.
(3) Calcolare l’integrale
I = Z
γ
|z|2dz, γ essendo la curva γ(t) = eit, t ∈ [0, 2π[.
(4) Risolvere l’equazione differenziale y00(t) + y0(t) + 2y(t) = t, con le condizioni iniziali y(0) = 0 e y0(0) = 0 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(5) Calcolare la trasformata di Fourier della f (x) = rect(x − x2)e−x. (6) Calcolare l’antitrasformata di cui al punto precedente.
(7) Sia data la funzione fξ(x) =
x/2, x ∈ [0, 1], a − x, x ∈]1, 2]
0 altrove.
Ottenere il valore di a per il quale essa
`e una densit`a di probabilit`a. Calcolare il valor medio e la varianza di ξ. Calcolare inoltre la probabilit`a che, effettuando una prova aleatoria, si ottenga un risultato compreso tra 0 e 2.
(8) Qual’`e la probabilit`a che lanciando una moneta equa 4 volte esca testa 2 volte?
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