In un cilindro chiuso munito di un pistonesono contenute n moli di ossigeno, Inizialmente il pistone è bloccato in una posizione sia p

In un cilindro chiuso munito di un pistone

sono contenute n moli di ossigeno,

Inizialmente il pistone è bloccato in una posizione

sia p_i = 5 atm

A partire da un dato istante

pressione p_a = 1 atm.

a tenuta perfetta,

gas perfetto biatomico.

sull’ambien te,

tale per cui la pressione del gas senza attrito

e la sua temperatura T_i = 26.85 °C.

assimilabile a un

il gas viene lasciato espandere liberamente che si suppone rimanga fisso alla compiendo un lavoro L

di massa trascurabile, e scorrevole

c) l’espressione del lavoro L compiuto dal gas.

Sapendo che cilindro e pistone

a) il valore della temperatura T_f del gas

b) l’ espressione della variazionee quello

finale

in funzione di

sono perfettamente adiabatici

tra lo stato iniziale n, e di g

determinare : p_i

p_a , T_i ,

alla fine dell’espansione di energia interna del gas

gli stati iniziale e finale della

il fatto che

l’equazione di stato

durante la trasformazioneo in altri termini in una qualsiasi

trasformazione

quindi non si potra’ usare l’ equazione di stato

sono stati di equilibrio

ma la trasformazione

le equazioni di Poisson non e’ reversibile

per assunzione

in questi stati sia utilizzabile

non potremo utilizzare

dei gas perfetti

trasformazione e potremo sfruttare

la trasformazione effettuata dal sistema , ossia dal gas, e’ una

trasformazione adiabatica irreversibile

di trasformazione

nel caso piu’ generale possibile di un gas perfetto

e’ possibile affermare se la trasformazione adiabatica e’

che avvenga tra due stati di equilibrio

i

f

irreversibilequesto e’ tutto cio’ che quindi Q = 0 non vi e’ scambio di calore

se la trasformazione e’ adiabatica e per il primo principio

si ha

( )

V f i

L   nc T  T

U nc T

  

U L

  

( )

V f i

nc T T

 

in questo esercizio il gas e’ lasciato

solamente quando la pressione del gas che la sua espansione terminera’

uguagliera’ la pressione dell’ambiente quindi

libero di espandersie cio’ significa

f A

p  p

integrale che puo’ essere valutato soltanto

ma cio’ avviene solo in

 durante una trasformazione

“quasi statica”

 quando la pressione esterna non varia durante la trasformazione

 nella espansione libera del gas nel vuoto

 pressione esterna nulla ^ p_a = 0

 p_a = p ad ogni istante di tempo

 p_a = cost

dove p e’ la pressione del gas come specificato in precedenza

il lavoro effettuato dal sistema sull’ambiente esterno istante di tempo

risultera’ essere

pressione esterna p_a

casi particolari ossia:

se si conosce il valore della

se p_a e’ la pressione esterna

durante tutta la trasformazione ad un generico

B

A

V

a V

L   p dV

in questo esercizio ci troviamo nel primo casodunque

e finali compiuto dal gas

sull’ambiente

attenzio ne :

dov e

ma dato che importa ne’ dell’ambiente,

il lavoro puo’ essere calcolato come

possiamo affermare che

se il gas si espande

conoscere solo la

dell’ambiente

l’ambiente si comprimera’

diminuendo il suo volume

aumentandoil suo volume di una certa quantita’

ne’ del gas

variazionedi volume e dato che il cilindro e’ chiuso

corrispondentemente della stessa quantita’

non conosciamo i volumiiniziali

( )

a f i

p V V

 

B

A

V

a V

 p dV

L  ( V

 V

)   V

Nota bene: il sistema esegue una trasformazione adiabatica mentre l’ambiente esegue una trasformazione contemporaneamente adiabatica ed

isobara

Nota bene: usualmente si fanno trasformazioni con cilindri aperti e in quel caso non sarebbe possibile dire nulla sulla variazione di

volume dell’ambiente

uguagliando i due termini si ha

dato che e dato che

ossia

( ) ( )

V f i a f i

nc T T p V V

   

( )

a f i

L  p V  V

( )

V f i

L   nc T  T

( ) ( )

V f i a i f

nc T  T  p V V 

( )

V f i a i a f

nc T  T  p V  p V

sfruttando l’equazione di stato dei gas perfetti

mentre nello stato finale si ha

nello stato iniziale si ha

quindi _{a i a} ⁱ

i

p V p nRT

 p

f

a f a f

a

p V p nRT nRT

 p 

i i i

pV  nRT

i

V nRT

 p

ossi a quin

di

nc T

 nc T

V f f

nc T  nRT (

)

n c  R T

a i f

i

p nRT nRT

 p 

V i a i

i

nc T p nRT

  p

(

)

i

n c R p T

  p

utilizzando la relazione di Mayer

eliminando

n

ottien e

(

)

i

n c R p T

  p

p V

c   c R c

 c

 R

(

)

p f V i

i

c T c R p T

  p (

)

f i

p p i

c R p

T T

c c p

 

nc T

inoltre da

ricavia mo

ma

quind i

in

conclusion e

1

p p

c R

c c

 

1

p p

R c

c  ^ c 1 1

 g

 ¹

p

R c

g g

 

p V

c g  c

1 1

(

)

i

p T p

g g g

 

(

)

f i

p p i

c R p

T T

c c p

  

1 (1 ( 1)

)

f i

i

T p T

g p

g ^

 

p V

c  c  R

la variazione U di energia interna del gas

e quello finale sara’

quindi

tra lo stato iniziale

( )

V f i

U nc T T

  

1 (

i

nc p T T

g p

g

   

            

1

1 (

1

V i

i

nc T p

g p

g

   

            

1 1

(

1

V i

i

nc T p

p g

g g





    

 

1 1

(

V i

i

nc T p

p

g g

g g

 

 

   

 

1

1

V i

i

U nc T p

p g

g

  

    

 

e l’espressione del lavoro L compiuto dal gas

ossi a come

sara’ ovviamente esprimibile

1 ^A 1

V i

i

L U nc T p

p g

g

  

     

 

L  U

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