Caratteristiche Dinamiche

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Misure Meccaniche e Termiche Caratteristiche Metrologiche degli Strumenti pag. 22

Quando la grandezza tempo non gioca un ruolo fondamentale, cioè quando la variazione del misurando M nel tempo è trascurabile, allora il comportamento dello strumento viene descritto adeguatamente dalle caratteristiche statiche.

Caratteristiche Dinamiche

q_i(t) q_o(t)

STRUMENTO DI MISURA

input output Lettura

L(t) Misura

M(t)

Tuttavia in molti casi ipotizzare che l’ingresso sia statico non è corretto e il comportamento dello strumento di misura che si utilizza è molto diverso da quello che si ha in condizioni statiche

Dal punto di vista teorico è possibile descrivere il comportamento degli strumenti attraverso modelli matematici opportuni (equazioni differenziali) e, attraverso l’interpretazione di questi modelli, è possibile illustrare in generale il comportamento dinamico degli strumenti.

Doveq_i(t)eq_o(t)sono rispettivamente ingresso e uscita del sistema di misura.

SISTEMA LINEARE E STAZIONARIO

Caratteristiche Dinamiche

𝑎 𝑑 𝑞

𝑑𝑡 + 𝑎 𝑑 𝑞

𝑑𝑡 +. . +𝑎 𝑑𝑞

𝑑𝑡+ 𝑎 𝑞 = 𝑏 𝑑 𝑞

𝑑𝑡 + 𝑏 𝑑 𝑞

𝑑𝑡 +. . +𝑏 𝑑𝑞 𝑑𝑡+ 𝑏 𝑞

Misure Meccaniche e Termiche Caratteristiche Metrologiche degli Strumenti

Il modello presentato è di carattere generale, tuttavia è possibile caratterizzare dinamicamente gli strumenti di misura raggruppandoli in 3 diverse classi:

• Strumenti di ordine zero

• Strumenti del primo ordine

• Strumenti del secondo ordine

Caratteristiche Dinamiche

𝑎 𝑞 = 𝑏 𝑞

𝑎 𝑑𝑞

𝑑𝑡 + 𝑎 𝑞 = 𝑏 𝑞 𝑎 𝑑 𝑞

𝑑𝑡 + 𝑎 𝑑𝑞

𝑑𝑡+ 𝑎 𝑞 = 𝑏 𝑞

Analizzando il comportamento di queste tre tipologie di strumento per ingressi semplici è possibile comprendere il funzionamento dei sistemi di misura anche per ingressi (segnali di misura) complessi.

In generale sappiamo che la risposta di un sistema ad un input dinamico esterno può essere scritta come somma di due contributi:

𝑞 𝑡 = 𝑞 𝑡 + 𝑞 𝑡

Si ha che il primo contributo dipende solamente dal sistema e non dal tipo di input, viceversa il secondo contributo dipende dal tipo di segnale in ingresso.

Il primo contributo inoltre è un transitorio che termina dopo un opportuno intervallo di tempo.

Caratteristiche Dinamiche

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E’ possibile determinare la tipologia dei diversi tipi di strumenti (categorie) verificandone la risposta a due diversi tipi di input (gradino e ingresso armonico).

La risposta al gradino permette di individuare il contributo in transitorio - 𝑔 𝑡

La risposta all’ingresso armonico (sinusoide) permette di individuare il contributo a regime - 𝑔 𝑡

o comunque per qualsiasi segnale periodico

Caratteristiche Dinamiche

Strumenti di ordine zero

Se l’ingresso q_i(t) varia nel tempo lo strumento ideale dovrebbe fornire una uscita q_o(t) proporzionale all’ingresso per ogni istante:

𝑞 𝑡 = 𝑘 ⋅ 𝑞 𝑡

STRUMENTO DI ORDINE ZERO

Caratteristiche Dinamiche

t q_i(t)

q_o(t)

Nella realtà solo pochi strumenti o solo in poche situazioni gli strumenti si comportano come strumenti ideali.

Generalmente la risposta nel tempo, se non in condizioni opportune, risulta distorta e diversa dal misurando.

Caratteristiche Dinamiche

t qo(t)

La risposta dello strumento reale può essere molto differente da quanto si vorrebbe

Un primo modo per capire il funzionamento dinamico degli strumenti, e quindi per classificarli, è quello di verificarne il comportamento in transitorio, cioè verificare come rispondono ad un input a gradino.

Risposta al Gradino

Si ipotizza che l’ingresso (misurando) segua una legge temporale del tipo:

𝑞 𝑡 = 𝑄 𝑡 ≤ 𝑡 𝑄 𝑡 > 𝑡 Lo strumento ideale sarà in grado di seguire istantaneamente la variazione del misurando.

t q_o(t)

q_i(t)

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Misure Meccaniche e Termiche Caratteristiche Metrologiche degli Strumenti pag. 30 t qo(t)

qi(t)

Per gli strumenti del primo ordine la risposta al gradino sarà di tipo esponenziale ovvero lo strumento fornirà una uscita proporzionale all’ingresso solo dopo un certo intervallo di tempo.

Risposta al Gradino

Gli strumenti del secondo ordine invece avranno un comportamento oscillatorio che si stabilizzerà sul valore finale solo dopo un certo intervallo di tempo

Lo strumento del primo ordine è del tipo:

𝑎 𝑑𝑞

𝑑𝑡 + 𝑎 𝑞 = 𝑏 𝑞

Ponendo 𝑘 = e τ = , se si ipotizza che l’ingresso (misurando) segua una legge temporale del tipo:

𝑞 𝑡 = 𝑄 𝑡 ≤ 𝑡 𝑄 𝑡 > 𝑡 Con 𝑡 = 0 , 𝑄 = 0 e 𝑄 = 𝑄

La risposta 𝑞 𝑡 (per t>t0) sarà 𝑞 𝑡 = 𝐾 𝑄 1 − 𝑒

Risposta al Gradino – primo ordine

Misure Meccaniche e Termiche Caratteristiche Metrologiche degli Strumenti t q_o(t)

3 t

Il tempo necessario a raggiungere il valore finale con una tolleranza del ±5% (detto settling time) è pari a 3 volte la costante di tempo t dello strumento

Risposta al Gradino – primo ordine

Lacostante di tempo t dello strumento caratterizza la rapidità con cui questo risponde agli ingressi tempovarianti.

Lo strumento del secondo ordine è del tipo:

𝑎 𝑑 𝑞

𝑑𝑡 + 𝑎 𝑑𝑞

𝑑𝑡 + 𝑎 𝑞 = 𝑏 𝑞 Si pongono:

𝑘 = sensibilità statica

𝜔 = pulsazione propria

𝜉 = smorzamento

Risposta al Gradino – secondo ordine

(4)

Misure Meccaniche e Termiche Caratteristiche Metrologiche degli Strumenti pag. 34 t

qo(t)

settling time

lafrequenza propria w_ne dallosmorzamento x dello strumento Per gli strumenti del secondo ordine il tempo necessario a raggiungere il valore finale con una tolleranza del ±5%

(settling time) dipende da due parametri

Risposta al Gradino – secondo ordine

Qualunque segnale periodico f(t) può essere visto come la somma di segnali armonici semplici (sinusoidi) .

Risposta in frequenza

Se lo strumento è lineare allora vale la sovrapposizione degli effetti.

Risposta in frequenza

STRUMENTO DI MISURA

input output Lettura

L(t)=L₁(t)+L₂(t) Misura

M(t)=M₁(t)+M₂(t)

DoveL₁(t)è la risposta dello strumento aM₁(t)mentreL₂(t)è la risposta dello strumento aM₂(t).

Risulta dunque interessante capire come ogni singolo segnale sinusoidale viene trasformato dallo strumento

t qo(t)

q_i(t)

Per un sistema lineare, se l’ingresso è di tipo armonico (sinusoide), allora l’uscita sarà una sinusoide alla medesima frequenza ma di modulo amplificato di un fattoreMe sfasato di un angoloj.

Risposta in frequenza

E’ dunque importante comprendere come ogni segnale armonico viene trasformato in funzione della sua frequenza.

(5)

La funzione di trasferimento armonica indica come variano, per ciascuna tipologia di strumento, il modulo di amplificazioneMe lo sfasamentoj.

Risposta in frequenza – primo ordine

Modulo M fase j

Risposta in frequenza – secondo ordine

Modulo M fase j

Misure Meccaniche e Termiche Caratteristiche Metrologiche degli Strumenti frequenza

Risposta in frequenza

Modulo M fase j

frequenza

Misure Meccaniche e Termiche Caratteristiche Metrologiche degli Strumenti frequenza

La banda passante è il range di frequenze entro cui la funzione di trasferimento armonica dello strumento può essere confusa con quella di uno strumento ideale (ordine zero).

Banda Passante

Modulo M fase j

frequenza

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Esempio – strumento del primo ordine

Considerando un segnale composto da due armoniche a differenti frequenze la risposta di uno strumento del primo ordine può essere molto diversa.

Esempio – strumento del primo ordine

Lo strumento rappresentato dalle curve blue attenua e sfasa moderatamente entrambe le armoniche.

Lo strumento rappresentato dalle curve verdi al contrario attenua e sfasa in modo completamente diverso le due armoniche.

Il risultato nel secondo caso è quello di una distorsione del segnale misurato.