Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura

(1)

Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura

Modello matematico di un sistema di misura

SITEMA DI MISURA

IN OUT

q_i(t) q_o(t)

• q_i(t) e q_o(t) sono rispettivamente segnale di ingresso e di uscita per lo strumento (sistema di misura) in esame: si tratta di

grandezze tempovarianti (ovvero funzioni del tempo).

• Se il sistema considerato è lineare e stazionario allora esso è descrivibile da un sistema di equazioni differenziali lineari ordinarie a coefficienti costanti non omogenee; la soluzione di tale sistema è ottenibile come soluzione di un’unica equazione differenziale ordinaria a coefficienti costanti in una sola funzione incognita di ordine n (=somma di tutti gli ordini delle equazioni componenti il sistema).

(2)

Caratteristiche dinamiche 3

• Tale equazione differenziale lineare ordinaria a coefficienti costanti non omogenea di ordine n è un modello matematico del sistema di misura e descrive la relazione esistente tra ingressi e uscite (q_i e q_o).

m i i m m

i m m m

i m m n o

o n n

o n n n

o n

n bq

dt q bd dt

q b d dt

q b d q dt a

q ad dt

q a d dt

q

a d 2 1 0

2 1 2

1 1 0

2 1 2 1 2

1

1 + +...+ + = + + +...+ +

+ ₋ ⁻₋ ₋ ⁻₋ ₋ ⁻₋ ₋ ⁻₋

• Nota la funzione q_i(t), è possibile, risolvendo l’equazione, ricavare la funzione del tempo che descrive il segnale in uscita q_o(t). Devono essere noti i parametri caratteristici del sistema, ovvero i coefficienti a_i.

• La soluzione è del tipo

op og

o q q

q = +

- q_og ⇒ integrale generale: descrive l’evoluzione libera del sistema

- q_op ⇒ integrale particolare: descrive l’evoluzione del sistema dovuta alla presenza di un dato ingresso (evoluzione forzata)

• Integrale generale:

Si ottiene dalla soluzione dell’equazione algebrica omogenea associata…

Si possono presentare 4 differenti casi, in base alla tipologia delle radici λ_i dell’equazione.

1 - Radici reali distinte

Per ogni radice λ_i che assume valore α_i si considera un termine

2 - Radici reali con molteplicità r

Per ogni radice reale λ_i che assume valore α_i con molteplicità r si considera una serie di termini del tipo:

0

... ₁ ₀

2 2 1

1 + + + + =

+a₋D⁻ a₋ D⁻ aD a D

a_n ⁿ _n ⁿ _n ⁿ

t ie ⁱ C ^α

t r r r r

o Ct C t C t C t e ⁱ

C + + +...+ ₋ ⁻ + ₋ ⁻)⋅ ^α

( ₁ ₂ ² ₂ ² ₁ ¹

(3)

3 - Radici complesse coniugate

Per ogni radice λ_i che assume valore α_i± jω_i si considera un termine del tipo:

che equivale a:

4 - Radici complesse coniugate con molteplicità r

Per ogni radice λ_i che assume valore α_i± jω_i con molteplicità r si considera un termine del tipo:

[

C₁sin(ωit)+C₂cos(ωit)

]

⋅e^αⁱ^t

t i i

i t e ⁱ

C sin(ω + )ϕ ⋅ ^α

[

i r

]

^t

r r i

it Ct t C t t e ⁱ

C₀sin(ω +ϕ₁)+ ₁ sin(ω +ϕ₂)+...+ ₋₁ ⁻¹sin(ω +ϕ ₋₁)⋅ ^α

• Integrale particolare:

Si può ottenere mediante il metodo dei coefficienti indeterminati. Si ipotizza una funzione in cui compaiono un numero adeguato di coefficienti incogniti.

Sostituendo tale funzione in q_o nell’equazione differenziale di partenza si ricavano i valori da attribuire a tali coefficienti.

In particolare, se al secondo membro dell’equazione differenziale di partenza, vi è una funzione F(t),

- se F(t) è una funzione polinomiale di grado n di t, q_p(t) è un polinomio di grado n+r, dove r è la molteplicità della soluzione λ=0 nell’omogenea associata.

- se F(t) è una funzione armonica del tipo :

q_p(t) è del tipo se ±ik non è soluz. dell’omogenea associata

q_p(t) è del tipo se ±ik è soluz. di molteplicità r dell’omogenea associata

) sin(

' kx A ) ( )

cos(kt Bsen kt

A +

[^Acos(^kt)+^Bsen(^kt)]⋅^t^r

(4)

Nota: il metodo dei coefficienti indeterminati si può impiegare per la soluzione dell’integrale particolare se sono rispettate due condizioni:

- F(t) è una funzione tale che, dopo un certo ordine di derivazione, tutte le derivate successive sono nulle; (es. polinomi)

- F(t) è una funzione tale che, dopo un certo ordine di derivazione, le derivate successive producono sempre le stesse forme funzionali; (es. seno e coseno)

♦ ♦ ♦

• I coefficienti C_i che compaiono nell’espressione di q_o(t) ricavata come somma di integrale generale ed integrale particolare (che provengono dall’individuazione dell’integrale generale) vengono determinati imponendo le condizioni iniziali.

Funzione di trasferimento

• L’equazione differenziale di partenza (descrittiva delle

proprietà dinamiche del sistema di misura) può essere trasformata in un’equazione algebrica, se ogni termine di derivazione viene sostituito con l’operatore D.

n n n

dtd →D

( ) ( )

i

m m m m m m o n

n n n n

nD a D a D aD a q b D b D b D bD b q

a + ₋₁ ⁻¹+ ₋₂ ⁻²+...+ ₁ + ₀ ⋅ = + ₋₁ ⁻¹+ ₋₂ ⁻²+...+ ₁ + ₀ ⋅

0 1 2 2 1 1

...

) ...

( )

( aD a D a D aD a

b D b D

b D b D D b q D q

H _n

n n n n n

m m m m m m i

o

+ + + +

+

+ + + +

= +

= ₋

−

(5)

• H(ω) è la funzione di trasferimento del sistema di misura e dipende dall’operatore D!!! Può essere ottenuta analogamente applicando la trasformata di Laplace all’equazione differenziale di partenza: in tal caso l’operatore D è sostituito dalla variabile s.

I due modi di operare sono del tutto equivalenti.

• Dalla definizione di H(D) consegue ) ( ) ( )

(D H D q D q_o = ⋅ _i

Se un sistema di misura è costituito da un insieme di elementi interconnessi a formare uno schema a blocchi; la funzione di trasferimento complessiva può essere ottenuta come prodotto delle singole funzioni di trasferimento (se l’effetto di carico dei blocchi successivi sui precedenti può essere trascurato).

H₁(D) H₂(D) H₃(D)

q_i(D) q_o(D)

H(D)= H₁(D) ·H₂(D) ·H₃(D)

q_i(D) q_o(D)

Funzione di trasferimento armonica:

risposta in frequenza

• In molte applicazioni è importante conoscere la risposta a regime di un sistema (di misura) ad un ingresso di tipo sinusoidale.

• Se il sistema è lineare e stazionario, a regime, l’uscita q_o(t) del sistema è ancora un segnale sinusoidale avente la stessa

frequenza ω del segnale in ingresso q_i(t). In generale l’ampiezza dell’output differisce da quella dell’input; inoltre i due segnali hanno fasi differenti. Il rapporto in termini di ampiezze fra i segnali (amplificazione dinamica) e lo sfasamento variano al variare della frequenza ω del segnale di ingresso.

• La risposta in frequenza di un sistema (di misura) consiste nell’indicazione di come l’amplificazione e lo sfasamento variano al variare di ω.

(6)

• Esempio qualitativo

Amplificazione in ampiezza

Frequenza ω Amplificazione in ampiezza

Frequenza ω

Ao/Ai

ϖ

Segnali nel tempo

Tempo [s]

Segnali [u.m.]

qi qo

Frequenza: ϖ

) (

) ( )

(

φ ϖ ϖ

+

⋅

=

⋅

=

t sen A K t q

t sen A t q

i o

i i

K: amplificazione in ampiezza φ: sfasamento

K

φ

• La risposta in frequenza può essere ottenuta, ad ogni frequenza considerata ϖ, attraverso l’applicazione del metodo dei

coefficienti indeterminati per il calcolo dell’integrale particolare dell’equazione differenziale caratteristica del sistema.

• Tuttavia si può più rapidamente procedere attraverso la determinazione della funzione di trasferimento armonica (o sinusoidale), che coincide con la risposta in frequenza. Si ottiene dalla funzione di trasferimento sostituendo a D il termine

complesso iω.

0 1

2 2 1 1

0 1

2 2 1 1

) ( ...

) ( )

( ) (

) ( ...

) ( )

( )

) ( ( )

( a i a i a i a i a

b i b i

b i

b i i b

q i q

H _n

n n n n n

m m m m m m i

o

+ +

+

+ +

= +

= ₋

−

− −

ω ω

ω ω ω

ω

• i è l’unità immaginaria

• ω è la frequenza espressa in rad/s

(7)

• La funzione di trasferimento armonica in corrispondenza di ogni frequenza è data da un numero complesso il cui modulo coincide con il rapporto di amplificazione in ampiezza e la cui fase coincide con lo sfasamento con cui il segnale q_o è in anticipo sul segnale q_i.

φ ω ω

=

∠

= ) (

) (

i H

A i A

H

i o

Avendo considerato le seguenti espressioni per i segnali:

) (

) ( )

(

φ ω ω

+

⋅

=

⋅

=

t sen A t q

o o

i i

Quanto sopra è facilmente dimostrabile mediante l’uso dei fasori, ovvero di una tecnica rappresentativa dei segnali armonici basata sull’impiego dei numeri complessi.

• Fasori:

Si tratta di vettori rotanti nel piano complesso.

Data una funzione sinusoidale del tipo:

questa è rappresentata dal fasore:

Nel piano complesso i fasori sono vettori aventi modulo pari all’ampiezza della sinusoide di riferimento A, punto di applicazione nell’origine degli assi, e rotanti con velocità angolare ω a partire da un angolo iniziale formato con l’asse dei reali Re pari a ϕ.

) (

)

(t =A⋅senω⋅t+ϕ q

[

^cos( ⁾ ⁽ ⁾

]

~=A⋅e₍^ω^⋅⁺^ϕ₎ =A⋅ ω⋅t+ϕ +i⋅senω⋅t+ϕ

Q ^t

Re Im

A ωt

ϕ

(8)

• Dimostrazione:

Si considerino i seguenti segnali rispettivamente di ingresso ed uscita per lo strumento (o sistema) di misura considerato:

) (

) ( )

(

φ ω ω

+

⋅

=

⋅

=

t sen A t q

o o

i i

essi sono rappresentabili da due fasori:

)

~ (

) (

) ~ (

φ ω ω

⋅ +

=

→

⋅

=

→

t i o o o

t i i i i

e A Q t q

Si può procedere alla sostituzione di q_i(t) e q_o(t) nell’equazione caratteristica del sistema di misura rispettivamente con Q_i e Q_o. L’operazione di derivazione rispetto al tempo comporta una moltiplicazione del fasore per (iω).

) ( )

( 1

) ( 1 1 ) (

) ( )

( 1

) ( 1 1 ) (

) ( ...

) ( )

(

) ( ...

) ( )

(

t i i o t i i t

i i m m t i i m m

t i o o t i o t

i o n n t i o n n

e A b e A i b e

A i b e A i b

e A a e A i a e

A i a e A i a

ω ω

φ ω φ

ω φ

ω

ω ω

ω

ω ω

ω

⋅

⋅ +

⋅

⋅ + +

⋅

⋅ +

⋅

=

⋅

⋅ +

⋅

⋅ + +

⋅

⋅ +

⋅

−

+ +

+

−

− +

Raccogliendo...

[ ]

[

1 1

]

⁽ ⁾

1

) ( 1

1 1

) ( ...

) ( )

(

) ( ...

) ( )

(

t i i o m

m m m

t i o o n

n n n

e A b i b i

b i b

e A a i a i

a i a

ω φ ω

ω ω

ω

ω ω

ω

⋅

⋅ +

⋅ + +

⋅ +

⋅

=

⋅

⋅ +

⋅ + +

⋅ +

⋅

− −

+

−

φ ωt i

i e

e⁽ ⁾⋅

da cui si ottiene:

) ) (

( ...

) ( )

( ) (

) ( ...

) ( )

( )

(

0 1

2 2 1 1

0 1

2 2 1

1 D

q q a i a i

a i

a i a

b i b i

b i

b i e b A A

i o n

n n n n n

m m m m m i m

i

o =

+ +

+

+ +

= +

⋅ ₋

−

ω ω

ω

φ ω

espressione che coincide con la definizione data di funzione di trasferimento armonica. Tale espressione coincide con il rapporto q_o/q_i(iω), che si può calcolare dall’equazione differenziale caratteristica. Si tratta di un numero complesso H(iω) tale che:

φ ω ω

=

∠

= ) (

) (

i H

A i A H

i o

C.v.d.

ω i

(9)

Prontezza

• Scopo di uno strumento di misura è consentire di effettuare una misurazione; nel caso di segnali tempovarianti, ciò equivale a dire che lo strumento deve fornire in uscita una ricostruzione fedele del segnale misurato. Infatti se il segnale in uscita è distorto è possibile che non si riesca a risalire al misurando e quindi non si possa assegnare una misura.

• La caratteristica degli strumenti che sono in grado di fornire un’indicazione fedele relativa a segnali tempovarianti oggetto della misurazione è detta prontezza (→banda passante).

• Di seguito verranno mostrati alcuni casi particolari di strumenti e di segnali possibili di input e si discuterà relativamente a quali valori devono assumere i parametri descrittivi del comportamento dinamico degli strumenti affinché essi siano pronti.

Strumento di ordine zero

Per strumento di ordine zero si intende uno strumento che dal punto di vista dinamico possa essere descritto dalla seguente equazione (algebrica!).

i

o bq

q a₀ = ₀

i i

o q Kq

a q = b =

0 0

Dove K è un parametro caratteristico del sistema, detto

sensibilità statica (si determina dalla prova di taratura statica!).

Lo strumento di ordine zero è teoricamente perfetto, in quanto il segnale di uscita, a meno di una costante moltiplicativa riproduce fedelmente il segnale in ingresso.

(es. potenziometro resistivo)

(10)

Strumento del primo ordine

Per strumento del primo ordine si intende uno strumento che dal punto di vista dinamico possa essere descritto dalla seguente equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del primo ordine.

i o

o aq bq

dt

a₁dq + ₀ = ₀

Dividendo entrambi i membri per a₀...

i

o o q

a q b dt dq a a

0 0 0

1 + =

i

o Kq

q

D+ =

⋅ 1) (τ Dove:

0 0

a K=b

0 1

a

=a τ

sensibilità statica costante di tempo

• La costante di tempo ha la dimensione di un tempo, mentre la sensibilità statica ha la dimensione data dal rapporto delle dimensioni di output e input.

• Per quanto visto la funzione di trasferimento del sistema è data da:

1 ) 1

( = ⋅ +

D D q q

i

o τ

(es. termometro ad espansione di liquido)

(11)

Strumento del primo ordine: risposta al gradino Il gradino è una particolare funzione del tempo, data dalla seguente espressione in termini di segnale d’ingresso in un sistema di misura q_i(t):





>

= ≤

0

0 0

)

( q t t

t t t

q

is i

t q_i

q_is

t₀

Consideriamo gradini per cui t₀= 0. Per calcolare la risposta di un sistema del primo ordine si deve risolvere la seguente equazione differenziale (q_i= q_is).

is

o Kq

q

D+ =

⋅ 1) (τ

A tale equazione differenziale è associata la condizione iniziale q_o(0) = 0, dovuta al particolare ingresso.

• L’integrale generale è dato dall’espressione:

• L’integrale particolare è dato da:

• Quindi:

• C va determinata imponendo la condizione iniziale in t = 0:

• quindi

• dunque la risposta risulta:

• e può essere scritta in maniera adimensionalizzata come:

τ t

og t C e

q ()= ⋅ ⁻

is

opt K q

q ()= ⋅

is t

o t C e K q

q()= ⋅ ⁻^τ+ ⋅

is

o C K q

q(0)= 0= + ⋅

qis

K C=− ⋅

) 1 ( )

( ^τ

t is

o t Kq e

q = − ⁻

) 1

( ^τ

t

is

o e

Kq

q = − ⁻ Risposta al gradino di uno strumento del 1° ordine

(12)

Caratteristiche dinamiche 23 Strumento del 1° ordine: Risposta al gradino

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6 7

t/τ

qo/(Kqis)

t/τ qo/(Kqis)

0 0.0000

1 0.6321

2 0.8647

3 0.9502

4 0.9817

inf. 1.0000

Si può definire l’errore di misura (scostamento tra la quantità in uscita e quella effettiva all’ingresso nell’istante t):

τ τ

t is t is is o i

m q q e q e

K q q

e = − = − ⋅(1− ⁻ )= ⁻

Si definisce settling time il tempo necessario al sistema di misura affinché il segnale q_o raggiunga, entro una certa banda di

tolleranza il valore di regime (q_is). Assunta una tolleranza del 5%

tale valore di tempo è pari a 3 volte la costante di tempo τ.

Per quanto visto è chiaro che quanto più la costante di tempo τ è piccola, tanto più la risposta dello strumento sarà rapida, ovvero l’errore di misura tenderà a zero tanto più rapidamente. Affinché lo strumento sia pronto dunque τ deve essere piccolo.

Strumento del 1° ordine: errore di misura

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6 7

t/τ

em/qis

(13)

Strumento del primo ordine: risposta in frequenza L’espressione della funzione di trasferimento per lo strumento del primo ordine può essere impiegata per ricavare l’espressione della risposta in frequenza dello stesso.

) 1 ( ) ( ) ( )

( = = = = +

ω ωτ

ω i

i K q i q H q D D q H

i o i

o

Si tratta di un numero complesso funzione della frequenza ω, dipendente dai parametri del sistema di misura: K e τ. Modulo e fase sono dati dalle seguenti espressioni.

) tan(

) (

) ( ) 1

( 2

ωτ

ω ωτ

ω arc i H

i K H

−

=

∠ = +

La risposta in frequenza può essere diagrammata in forma adimensionalizzata (per quanto concerne il modulo).

Strumento del 1° ordine: Risposta in frequenza (modulo)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ωτ

|qo/(Kqi)|

(14)

Caratteristiche dinamiche 27 Strumento del 1° ordine: Risposta in frequenza (fase)

-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ωτ

φ[°]

La fase ha il seguente andamento...

Considerando le espressioni dei segnali rispettivamente di ingresso ed uscita q_i(t) e q_o(t), come

) ( )

(

) ( )

(

φ ω ω

+

⋅

=

⋅

=

t sin A t q

o o

i i

si ha:

) tan(

) (

) ( ) 1

( 2

ωτ ω

φ ω ωτ

arc i H

i K A H A

i o

−

=

∠

=

= +

=

Affinché lo strumento sia pronto, il suo comportamento deve essere il più possibile prossimo a quello di uno strumento di ordine zero e dunque si dovrebbe avere:

0 ) (

1 ) (

=

∠

=

= ω φ

ω i H

i KA H

A

i o

(15)

Si osserva che tali condizioni si verificano per

Infatti in tale condizione per qualunque valore di frequenza ω le condizioni considerate tenderebbero ad essere verificate!

È dunque verificato, anche per la risposta in frequenza, quanto osservato nel caso della risposta al gradino (si può verificare anche per la risposta alla rampa): strumenti del primo ordine sono pronti per τ piccoli.

Quanto detto non ha valore se si considera un input costituito da una sinusoide semplice, in quanto in tal caso è sufficiente ricavare mediante calcolo lo sfasamento e l’amplificazione per correggere il segnale in uscita ottenendo una misura adeguata. Il problema nasce se il segnale contiene più armoniche. Si veda il seguente esempio…

→0 τ

Si consideri il caso

) 200 sen(

1 ) 20 sen(

1 )

(t t t

q_i = ⋅ + ⋅

Il segnale è formato da due armoniche, una a 20 rad/s ed una a 200 rad/s.

Supponendo il sistema lineare e stazionario, si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti: la risposta al segnale completo è la somma delle risposte alle singole armoniche. Si consideri un sistema di misura avente K = 1 e si valuti il segnale in uscita per due differenti valori di τ: τ = 0.02 e τ = 0.002.

Eseguendo dei calcoli relativi alla risposta in frequenza nei due casi si ottiene quanto esposto nella tabella sotto riportata.

ω1 20 rad/s amp1 1

ω2 200 rad/s amp2 1

τ 0.02

m1 0.928477 φ1 -0.380506 rad

m2 0.242536 φ2 -1.325818 rad

τ 0.002

m1 0.999201 φ1 -0.039979 rad

m2 0.928477 φ2 -0.380506 rad

(16)

Caratteristiche dinamiche 31 Distorsione del segnale: risposta in frequenza (primo ordine)

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

[s]

Segnale [u.m.]

qi qo (tau=0.02) qo (tau=0.002)

Si osserva che il segnale ottenuto in uscita nel caso di τ = 0.02 non è riconducibile al segnale di ingresso; il segnale ottenuto nel caso nel caso τ = 0.002 è molto prossimo al segnale di ingresso misurato. Riducendo ulteriormente il τ il segnale in uscita tende ad approssimare ancor meglio quello misurato.

Strumento del primo ordine: risposta all’impulso Si definisce funzione impulso di durata finita di ampiezza A la seguente funzione del tempo:







>

≤

<

≤

=

T t

T T t

A t t p

0 0

0 0 ) (

t p

A/T

0 T

Si definisce funzione impulso di ampiezza A:

) ( lim )

(t 0pt A⋅δ =T→

Nel caso di A = 1, con il passaggio al limite, si ricava l’impulso unitario δ(t).

(17)

La funzione impulso unitario ha durata infinitesima e ampiezza infinita.

Per ricavare la risposta dello strumento ad una funzione impulso di ampiezza A del tipo A⋅ δ(t), si procede ricavando la risposta per una funzione impulso di durata T e poi si attua il passaggio al limite per T→0.

Tra 0 e T il sistema di misura è sottoposto ad un ingresso a gradino; da T in poi sarà soggetto ad evoluzione libera (la funzione di ingresso va a zero) a partire dalle condizioni raggiunte in T. Dunque la soluzione è ottenuta in due passaggi.

1 - Si deve valutare la risposta al gradino secondo l’equazione differenziale:

T K A Kq q

D+ _o = _is = ⋅

⋅ 1) (τ

si ricava la seguente risposta:

tale risposta è da considerarsi tra t = 0 e t = T, istante in cui l’ingresso va a zero. Da t = T in poi il sistema subirà un’evoluzione libera a partire dalla condizione raggiunta in T, che è determinabile attraverso l’espressione di q_o ora ricavata, dunque:

) 1 ( )

( ^τ

t

o e

T t KA

q = ⋅ − ⁻

) 1 ( )

( ^τ

T

o e

T T KA

q = ⋅ − ⁻

T t≤

<

0

2 - L’evoluzione libera del sistema a partire da t = T si determina calcolando l’integrale generale con la condizione iniziale appena determinata. L’integrale generale assume la seguente espressione:

dunque:

τ t

o t C e

q ()= ⋅ ⁻ t>T

) 1 ( )

( ^τ ^τ

T T

o e

T e KA C T

q = ⋅ ⁻ = ⋅ − ⁻

(18)

si ricava:

dunque: ^τ

τ T

T

Te e C KA

−

− −

= (1 )

τ τ

τ ^t

T T

o e

Te e t KA

q ⁻

−

− ⋅

= (1 )

) (

Che, unitamente all’espressione ricavata per l’intervallo [0,T], costituisce l’espressione della risposta all’impulso finito di ampiezza A.

Risposta all'impulso di durata finita

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

0 1 2 3 4 5 6

tempo [s]

segnale [u.m.]

qin qout

K 1.2

tau 0.7 [s]

A 3 [u.m.]

T 2 [s]

C 29.54107 [u.m.]

La risposta all’impulso A⋅δ(t) si ottiene dal passaggio al limite dell’espressione ricavata per T → 0.

T e e

KA Te

e e KA e Te

e t KA

q

T

T t T

T

T t t

T T

o T

) 1 lim( )

1 lim( )

1 lim ( )

( 0 0 0

τ τ τ

τ

τ ⁻

→

−

→

−

→

⋅ −

⋅

− =

⋅

=

− ⋅

=

ma

τ

τ ^τ

τ 1

1 ) / 1 lim( ) 1 lim(

0

0 − = ⋅ ⁻ =

→

−

→

T

T T

T

e T

e

Teorema di L’Hopital

Dunque si ricava:

τ τ t

o KA e

t

q ()= ⋅ ⁻

Risposta all'impulso

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t/τ

(τqo/KA)

(19)

La funzione impulso considerata è tale per cui, in corrispondenza di t = 0, si verifica un trasferimento di energia infinito: infatti, il segnale passa da valore nullo ad un valore infinito per poi ritornare a valore nullo; ciò accade in un intervallo di tempo infinitesimo. È chiaro che tale segnale non può esistere in natura e, dunque, che la risposta trovata è relativa ad un impulso ideale.

Tuttavia se T è sensibilmente inferiore a τ (di solito si considera almeno un ordine di grandezza) quella trovata è una buona approssimazione della risposta al segnale reale di durata piccola ma finita.

La risposta all’impulso non dipende dalla particolare “forma” dell’impulso considerato, ma solo dalla sua ampiezza A (sempre nell’ipotesi che la durata T sia breve).

La risposta all’impulso coincide con l’evoluzione libera del sistema a partire da una condizione perturbata per cui q_o= KA/τ in t= 0⁺.

Strumento del secondo ordine

Per strumento di secondo ordine si intende uno strumento che dal punto di vista dinamico possa essere descritto dalla seguente equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del secondo ordine.

i o o

o aq bq

dt a dq dt

q

a d ₂ ₁ ₀ ₀

2

2 + + =

Dividendo entrambi i membri per a₀...

i o o

o q

a q b dt dq a a dt

q d a a

0 0 0

1 2 2

0

2 + + =

Si definiscono termini:

2 0

a a

n= ω

2 0

1

2 a a a

= ⋅ ς

Frequenza naturale (propria) Fattore di smorzamento

0 0

a

K=b Sensibilità statica