Incertezza e errore standard

Trattamento e Analisi statistica dei dati sperimentali

Modulo III : Inferenza Statistica

L2. L'incertezza nei dati sperimentali-B

Prof. Carlo Meneghini

Incertezza e errore standard

Perchè la deviazione standard?

1. Il teorema di Čebyšëv fornisce la massima probabilità che

l'errore di una misura sia maggiore di nσ (n>1) (valutazione del rischio)

1. Il teorema di Čebyšëv fornisce la massima probabilità che

l'errore di una misura sia maggiore di nσ (n>1) (valutazione del rischio)

2. Criteri quantitativi (es.: Il criterio di Chauvenet) forniscono un metodo quantitativo per definire gli outlayers

3. La legge (matematica) per la propagazione delle incertezze nelle misure indirette (grandezze derivate) richiede la Varianza

La diseguaglianza di Čebyšëv

La Diseguaglianza di Čebyšëv La Diseguaglianza di Čebyšëv

La probabilità che il risultato di una osservazione (X) si discosti dal valore vero (µ) più di n-volte la deviazione

standard (σ) è minore di 1/n

2

) 1

( x n n

P − µ ≥ σ ≤

•Stima il rischio di errore

La diseguaglianza di Čebyšëv

Stima del rischio

Es: la probabilità di ottenere un risultato distante più di 4σ da µ (ovvero il rischio di sbagliare più di 4σ) è minore o uguale a:

1/16 ~ 6%

n2

) 1 n X

(

P − µ ≥ σ ≤

Nota: generalmente conosciamo la stima campionaria della varianza s² , pertanto anche essa è affetta da incertezza.

Čebyšëv

Incertezza e errore standard

Perchè la deviazione standard?

1. Il teorema di Čebyšëv fornisce la massima probabilità che

l'errore di una misura sia maggiore di nσ (n>1) (valutazione del rischio)

3. La legge (matematica) per la propagazione delle incertezze nelle misure indirette (grandezze derivate) richiede la Varianza 2. Criteri quantitativi (es.: il criterio di Chauvenet) forniscono un

metodo quantitativo per definire gli outlayers

2. Criteri quantitativi (es.: il criterio di Chauvenet) forniscono un metodo quantitativo per definire gli outlayers

Il criterio di Chauvenet

Criterio di Chauvenet (wikipedia)

Dato un insieme di N valori, nell'ipotesi che i dati seguano una distribuzione Normale con valore atteso x e dev.st s, scelgo un intervallo tale che racchiuda N-1/2 valori:

2

− 1 N_in = N

dx sx

Nout

4 1 4

1 2

1 = +

=

P_in N

2 1 − 1

=

P_out N 2

= 1

εmax

Pb. di essere nell'intervallo

Pb. di non essere nell'intervallo

Il criterio di Chauvenet

Criterio di Chauvenet (wikipedia)

p=P(z>z

)=1/4N z

=INV.NORM.ST(p)

ε

= s z

=s INV.NORM.ST(p)

εmax

Criterio di Chauvenet

Critiche al criterio di Chauvenet:

• Assume un modello Normale (Gauss) per la distribuzione dei dati

• Anche se i dati seguissero un modello Normale (Gauss) si rischia di escludere dati "buoni"

ε

= s z

= s | INV.NORM.ST(1/4N) |

Nota: In figura la distribuzione dei valori è calcolata usando un modello

Criterio di Chauvenet

In caso di pochi dati (N~10

):

• Usare un modello t-Student

• Evitare di rimuovere gli outlayers!

ε

= s z

= s | INV.NORM.ST(1/4N) |

Incertezza e errore standard

Perchè la deviazione standard?

1. Il teorema di Čebyšëv fornisce la massima probabilità che

l'errore di una misura sia maggiore di nσ (n>1) (valutazione del rischio)

2. Criteri quantitativi (es.: il criterio di Chauvenet) forniscono un metodo quantitativo per definire gli outlayers

3. La legge (matematica) per la propagazione delle incertezze nelle misure indirette (grandezze derivate) richiede la Varianza 3. La legge (matematica) per la propagazione delle incertezze

nelle misure indirette (grandezze derivate) richiede la Varianza

Incertezze di tipo A

Misure ripetute

∑

=

=

Ntot

1 i

i tot

N x X 1

N s

X =

σ Incertezza (errore standard) sulla

media campionaria Media campionaria

X N σ = σ

deviazione standard

campionaria Deviazione standard nota

X ± σ

Valutazione delle Incertezze di misura

Grandezze derivate: propagazione delle incertezze

) ,...

,

( x

x

x

f

y =

N N

x x

x x x

σ σ σ

, ...

, ,

2 1

2 1

= ?

σ

Valutazione delle Incertezze di misura

Propagazione degli errori Propagazione degli errori

Massimi

Grandezze derivate: propagazione delle incertezze

) ,...

,

( x

x

x

f

y = σ

= ?

Valutazione delle Incertezze di misura

Grandezze derivate: propagazione delle incertezze )

,...

,

( x

x

x

y = f σ

Ax1

y =

2 ...

1 ± ±

= Ax Bx

y

Axn

y = ₁

x

2

1 x

x y = ⋅

2 1 2 2

x

y A σ

σ =

...

2 .

2 2 2

1 2

2 = _x + _x +

y A σ B σ

σ

( )

1 2 1 2

x n

y A nx σ

σ = ⁻

2 2 2







 

 

σ σ σ

2

2 2 2

1 1 2





 + 







= 













x x

y

x

y σ x σ

σ

Valutazione empirica delle incertezze

Il metodo Montecarlo

) ,...

,

( x

x

x

y = f

Il metodo Montecarlo simula l'effetto di una distribuzione statistica e permette di valutare velocemente gli errori in modo empirico

1. per ognuna delle variabili X_i si costruisce una distribuzione di valori opportuna con valore atteso μ_i=x_i e deviazione standard σ_i

2. Si calcolano possibili valori della Y prendendo casualmente i valori delle variabili dalle distribuzioni:

Foglio di calcolo

Il foglio di calcolo è protetto.

Può essere sbloccato usando la pass. ma conviene copiarne il contenuto in un foglio adiacente per

evitare di modificare le impostazioni.

Il foglio di calcolo è protetto.

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