Corso di Teoria dei Giochi e Giochi Evolutivi Prova scritta del 02/09/2014.
Compito 1
Si consideri il gioco simmetrico descritto dalla matrice di payoff A:
A =
1 α + 1 2 0 2 − α 1
3 0 2
con α parametro.
Rispondere alle seguenti domande:
1. al variare di α individuare gli equilibri di Nash puri e dire se sono stretti o non stretti (6 punti);
2. individuare gli equilibri di Nash misti interni al simplesso (xi 6= 0 ∀i = 1, 2, 3) e studiare la loro esistenza la variare di α (14 punti);
3. individuare gli equilibri di Nash misti sul bordo e1− e2 del simplesso e studiare la loro esistenza la variare di α (14 punti);
Soluzione
• [NE Puri] e2 è Nash for α ≤ 1/2
• [NE Misti] xA= (1 + α 4 − 4α, 2
4 − 4α,1 − 5α
4 − 4α) è NE per −1 ≤ α ≤ 1/5
• [NE nel bordo e1 − e2] xB = (1 − 2α 2 − 2α, 1
2 − 2α, 0) è NE per 1/5 ≤ α ≤ 1/2
• [NE nel bordo e2− e3] xC= (0, 1
3 − α,2 − α
3 − α) è NE per α ≤ 1
• [NE nel bordo e1− e3] Non ci sono
Prova scritta del 02/09/2014.
Compito 2
Si consideri il gioco simmetrico descritto dalla matrice di payoff A:
A =
1 α + 1 2 0 2 − α 1
3 0 2
con α parametro.
Rispondere alle seguenti domande:
1. al variare di α individuare gli equilibri di Nash puri e dire se sono stretti o non stretti (6 punti);
2. individuare gli equilibri di Nash misti interni al simplesso (xi 6= 0 ∀i = 1, 2, 3) e studiare la loro esistenza la variare di α (14 punti);
3. individuare gli equilibri di Nash misti sul bordo e2− e3 del simplesso e studiare la loro esistenza la variare di α (14 punti);
Prova scritta del 28/07/2014
Si consideri il gioco simmetrico descritto dalla matrice di payoff A:
A =
1 α 2
0 1 1
3 0 2
con α parametro.
Rispondere alle seguenti domande:
1. al variare di α individuare gli equilibri di Nash puri e dire se sono stretti o non stretti (4 punti);
2. individuare gli equilibri di Nash misti interni al simplesso (xi 6= 0 ∀i = 1, 2, 3) e studiare la loro esistenza la variare di α (8 punti);
3. individuare gli equilibri di Nash misti sui bordi del simplesso (xi= 0 per i = 1, i = 2 o i = 3) e studiare la loro esistenza la variare di α (8 punti);
[Hint: nel caso x3= 0, usare la relazione x1= 1 − x2]
4. riportare tutti gli equilibri individuati ai punti precedenti su un asse che rappresenta il parametro α (2 punti);
5. per ogni intervallo di α individuato, disegnare per quanto possibile il flusso associato alla replicator equation nel simplesso (10 punti).
[Hint: aiutarsi fissando in ogni intervallo un valore di α]
Soluzione
• [NE Puri] e2 è Nash for α ≤ 1, e3 è Nash non stretto
• [NE Misti] xA= ( α 4 − 2α, 1
2 − α,2 − 3α
4 − 2α) è NE per 0 ≤ α ≤ 2/3
• [NE nel bordo e1− e2] xB= (1 − α 2 − α, 1
2 − α, 0) è NE per 2/3 ≤ α ≤ 1 1 1
Esame del 4 Luglio 2014 Compito 1
Si consideri il gioco simmetrico a 2 giocatori e 3 strategie descritto dalla seguente matrice di payoff:
2 0 3 2 5 1 5 3 2
.
1. Determinare tutti gli equilibri di Nash puri del gioco e stabilire se sono ESS (3 punti).
2. Determinare tutti gli equilibri di Nash non puri del gioco (5 punti).
3. Per ogni punto di equilibrio x∗trovato al punto 2, determinare le strate- gie y 6= x∗ per le quali u(x∗, x∗) > u(y, x∗), e quelle per cui invece u(x∗, x∗) = u(y, x∗) (10 punti).
4. Verificare se i punti di equilibrio x∗ trovati al punto 2 sono ESS (10 punti).
Hint: basta verificare la condizione di stabilità solo per le strategie y tali per cui u(x∗, x∗) = u(y, x∗).
5. Disegnare qualitativamente il flusso della dinamica all’interno del simp- lesso (4 punti).
Soluzione
• [NE Puri] e2 è Nash e ESS
• [NE Misti] Non ci sono
• [NE nel bordo e1− e2] Non ci sono
• [NE nel bordo e2− e3] xC= (0,1 3,2
3) è NE e non è ESS
• [NE nel bordo e1− e3] xD= (1 4, 0,3
4) è NE e ESS
Esame del 4 Luglio 2014 Compito 2
Si consideri il gioco simmetrico a 2 giocatori e 3 strategie descritto dalla seguente matrice di payoff:
3 1 3 3 5 0 4 3 2
.
1. Determinare tutti gli equilibri di Nash puri del gioco e stabilire se sono ESS (3 punti).
2. Determinare tutti gli equilibri di Nash non puri del gioco (5 punti).
3. Per ogni punto di equilibrio x∗trovato al punto 2, determinare le strate- gie y 6= x∗ per le quali u(x∗, x∗) > u(y, x∗), e quelle per cui invece u(x∗, x∗) = u(y, x∗) (10 punti).
4. Verificare se i punti di equilibrio x∗ trovati al punto 2 sono ESS (10 punti).
Hint: basta verificare la condizione di stabilità solo per le strategie y tali per cui u(x∗, x∗) = u(y, x∗).
5. Disegnare qualitativamente il flusso della dinamica all’interno del simp- lesso (4 punti).
Soluzione
• [NE Puri] e2 è Nash e ESS
• [NE Misti] Non ci sono
• [NE nel bordo e1− e2] Non ci sono
• [NE nel bordo e2− e3] xC= (0,1 2,1
2) è NE e non è ESS
• [NE nel bordo e1− e3] xD= (1 2, 0,1
2) è NE e ESS
