Esercizi 5

Esercizi 5

1)Quali delle seguenti funzioni sono applicazioni lineari?

f 1 : R[x] → R definita ponendo f 1 (P (x)) := 2P (5) + P ^′ (2) f 2 : R[x] → R ² definita ponendo f 2 (P (x)) :=

( 2P (5) + P ^′ (2) P ”(3) + p(0)

)

f ₃ : R[x] → R ² definita ponendo f ₃ (P (x)) :=

( 2P (5) + P ^′ (2) P ”(3) + p(0) + 3

)

f ₄ : R[x] → R[x] definita ponendo f 4 (P (x)) := P (x)(3x ² + 1).

f ₅ : R[x] → R[x] definita ponendo f 5 (P (x)) := (P (x) + 1)(3x ² + 1).

f ₆ : R[x] → R[x] definita ponendo f 6 (P (x)) := (P (x)) ² . f ₇ : F 2 [x] → F 2 [x] definita ponendo f ₇ (P (x)) := (P (x)) ² . f ₈ : R[x] → R definita ponendo f 8 (P (x)) := P (1)P ^′ (0).

g ₁ : M _2,2 ( K) → M 2,2 ( K) definita ponendo g 1 (A) := A ( 1 2

3 4 )

. g ₂ : M _2,2 ( K) → M 2,2 ( K) definita ponendo g 2 (A) := 2A + 3A ^t +

( 1 2 3 4

) . g ₃ : M _2,2 ( K) → M 2,2 ( K) definita ponendo g 3 (A) := 3A + 2A ^t

( 1 2 3 4

) . g ₄ : M _2,2 ( K) → M 2,2 ( K) definita ponendo g 4 (A) := AA ^t .

2) Dimostrare che le seguenti funzioni sono applicazioni lineari:

h ₁ : K[x] → K[x] definita da h 1 (P (x)) := P (a) dove a ` e un fissato ele- mento di K.

h ₂ : K[x] → K[x] definita da h 2 (P (x)) := _dx ^d

P (x) (la derivata k-esima del polinomio).

h ₃ : K[x] → K[x] definita da h 3 (P (x)) := P (x)Q(x) dove Q ` e un fissato polinomio di K[x].

h ₄ : M _m,n ( K) → M m,l ( K) definita ponendo h 4 (A) := AB dove B ` e una fissata matrice di M _m,l ( K).

h ₅ : M _m,n ( K) → M n,m ( K) definita ponendo h 5 (A) := A ^t .

3) Usare l’esercizio 2) per rigiustificare le risposte affermative dell’esercizio 1).

4) Quante sono le applicazioni lineari F : R ³ → R ² tali che F



 1 2 3



 = ( 2 2

) , F



 2 1 2



 = ( 1 2 )

e F



 7 8 13



 = ( 8 9 )

?

Quante sono le le applicazioni lineari F : R ³ → R ² tali che

1

F



 1 2 3



 = ( 2 2

) , F



 2 1 2



 = ( 1 2 )

e F



 7 8 13



 = ( 8 10

)

?

5) Sia A =



 

 



1 2 −1 1 1 1 2 3 0 2 2 2 1 0 3



 

 

 . Trovare dimensioni e basi del nucleo e dell’immagine dell’applicazione lineare L _A : K ³ → K ⁵ associata ad A.

6) Sia F : M _2,2 ( R) → M 2,2 ( R) la funzione definita da F (A) =

( 1 1 2 2

)

A − A ( 1 2

0 0 )

. a) Mostrare che F ` e lineare.

7) Sia {v 1 , v 2 , v 3 } una base di un spazio vettoriale V . Dimostrare che {v 1 + v ₂ + v ₃ , v ₁ + 2v ₂ , v ₂ + 2v ₃ } `e una base per V .

8) Sia V uno spazio vettoriale su K e sia X ⊆ V un sottoinsieme non vuoto di V e sia p ∈ X fissato. Dimostrare che X `e un sottospazio affine di V se e solo se X − p := {x − p : x ∈ X} `e un sottospazio vettoriale di V .

9) Sia f : V → W un’applicazione lineare tra spazi vettoriali su K, sia w ∈ W e sia

f ⁻¹ (w) := {v ∈ V : f(v) = w} .

Mostrare che f ⁻¹ (w) ⊂ V `e vuoto o `e un sottospazio affine di V (dotato della sua naturale struttura di spazio affine).

10) Sia f : V → W un’applicazione lineare tra spazi vettoriali su K, sia S ⊆ W un sottospazio affine e sia

f ⁻¹ (S) := {v ∈ V : f(v) ∈ S} .

Mostrare che f ⁻¹ (S) ⊆ V `e vuoto o `e un sottospazio affine di V .

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