5. Esercizi di Geometria 1
(Semestre Invernale 2018/2019)
Dr. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego
Esercizio 1. Dimostrare la seguente affermazione.
Sia X uno spazio topologico Ti con i = 0, . . . , 3. E sia Y ⊂ X un sottospazio.
Allora Y `e Ti con i = 0, . . . , 3 rispettivamente.
Supponiamo che X sia T4 e Y ⊂ X un sottospazio tale che Y chiuso in X. Allora Y `e T4.
(Nel caso T3 trovare una dimostrazione alternativa a quella vista a lezione).
Esercizio 2. Dimostrare la seguente affermazione.
Siano X e Y spazio topologici. Allora X e Y sono Ti con i = 0, . . . , 3 se e solo se X × Y un `e Ti con i = 0, . . . , 3 rispettivamente.
(Nel caso T3 trovare una dimostrazione alternativa a quella vista a lezione).
Esercizio 3. [Manetti Ex. 5.8]
Sullo spazio topologico R, dotato della topologia euclidea, consideriamo la re- lazione di equivalenza x ∼ y se x = y oppure se |x| = |y| > 1. Provare che il quoziente topologico R/ ∼ non `e di Hausdorff e che ogni suo punto possiede un intorno aperto omeomorfo all’intervallo (−1, 1).
Esercizio 4. Siano X e Y due spazi topologici omeomorfi. Si dimostri che X `e Tk se e solo se Y `e Tk per k = 0, 1, 2, 3, 4.
Esercizio 5. Sia C ⊂ R2la circonferenza di centro (0, 0) e raggio 1. Si considerino su C le seguenti topologie:
S1 := (C, top. euclidea), Σ1 := (C, top. cofinita), S1 := (C, top. banale) (1) Stabilire se la funzione
f : Σ1 −→ S1, f (cos θ, sin θ) 7→ (cos(θ + π), sin(θ + π))
`e continua.
(2) Sia W = (R, top. cofinita) e si definisca su W la seguente relazione di equivalenza per a, b ∈ W
a ∼ b ⇔ a − b ∈ Z Dimostrare che (W/ ∼) ∼=hom S1.
(3) Dimostrare che i tre spazi topologici X := S1 × S1, Y := Σ1 × S1 e Z :=S1 × S1 con la topologia prodotto non sono tra loro omeomorfi.
(4) Stabilire se esiste, e in caso affermativo definire, una funzione continua f : X −→ Y .
1
(5) Sia
U := {(x, y) ∈ C| cos θ = x, sin θ = y con θ ∈ [−π 2,π
2] \ 0}
Si determinino chiusura e intrno di U × U in X,Y e Z.
