Soluzioni esercizi 4 e 5

Esercitazione sulla retta - Soluzioni esercizi 4 e 5

Esercizio 1. Rappresenta sul piano cartesiano i seguenti punti:

A = (−15, −7) B = (17, −7) C = (13, 4) D = (−14, 4)

Disegna i segmenti AB, BC, CD e DA. Calcola il perimetro e l'area della gura geometrica ottenuta.

Esercizio 2. Determina quali fra le seguenti equazioni rappresentano una retta, scrivile in forma implicita e determina i coecienti a, b, c ∈ R:

− 1

3 x = 7y 127y − 5

7 x + 22 = 0 23x

²

= 34y

√

5x + y = 3 x = 23 + y

³

23x

²

+ 16y

²

− 36 = 0 y = 5 7x = 8y

²

+ 5 πy = x + 3 4x = 80

Esercizio 3. Rappresenta sul piano cartesiano la retta r di equazione 8x − 2y + 2 = 0. Individua il coeciente angolare e il punto d'intersezione con l'asse y.

Verica se r passa per i punti A =  1 5 , 9

5



e B =  1 4 , − 3

7



Esercizio 4. Determina l'equazione della retta s passante per P =  3 5 , − 7

2



e parallela alla retta r di equazione 5x − 9

5 y + 2 = 0 . Le rette passanti per P =  3

5 , − 7 2



sono innite quindi, per determinare s, ci serve almeno un altro dato. Poiché s è parallela a r possiamo determinare il suo coeciente angolare m

s

a partire dal coeciente angolare m

r

di r. Per determinare m

r

scriviamo l'equazione di r in forma esplicita:

5x − 9

5 y + 2 = 0 (spostiamo5x e il termine noto al secondo membro)

− 9

5 y = −5x − 2 (moltiplichiamo per −1 entrambi i membri) 9

5 y = 5x + 2 (moltiplichiamo per 5

9 entrambi i membri per ottenere 1 come coeciente di y) 5

9 · 9

5 y = (5x + 2) · 5

9 (svolgiamo i prodotti nali) y = 25

9 x + 10 9 Quindi m

r

= 25

9 .

Ricordiamo che due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coeciente angolare. Perciò m

s

= m

r

= 25

9 .

Poiché conosciamo coeciente angolare di s e un punto per cui passa, possiamo determinare la sua equazione attraverso la formula dell'equazione di una retta passante per un punto e di direzione

1

assegnata:

y − y

0

= m(x − x

0

) (sostituiamo le coordinate di P in x

0

e y

0

) y −



− 7 2



= 25 9

 x − 3

5



(svolgiamo i calcoli)

y + 7 2 = 25

9 x − 3 5 · 25

9 (svolgiamo i calcoli) y + 7

2 = 25 9 x − 5

3 (isoliamo y al primo membro) y = 25

9 x − 5 3 − 7

2 (svolgiamo i calcoli) y = 25

9 x − 31 6

Esercizio 5. Determina l'equazione della retta s passante per P =  3 5 , − 7

2



e perpendicolare alla retta r passante per A = 

2, − 8 3



e B = 

− 1 4 , 11

6

 .

Come nell'esercizio precedente, le rette passanti per P =  3 5 , − 7

2



sono innite quindi, per determinare s, ci serve almeno un altro dato. L'altro dato utile possiamo determinarlo sfruttando la perpendicolarità fra r e s. Infatti, poiché s è perpendicolare alla retta r possiamo determinare il suo coeciente angolare m

s

a partire dal coeciente angolare m

r

. Possiamo determinare il coeciente angolare di r utilizzando la formula 2.6

¹

(coeciente angolare di una retta passante per due punti), oppure possiamo determinare l'equazione della retta r passante per i due punti A =

 2, − 8

3



e B = 

− 1 4 , 11

6



con la formula 2.8. Il primo metodo è più veloce, il secondo richiede più calcoli, per esercizio svolgerò il secondo:

y − y

₁

y

2

− y

1

= x − x

₁

x

2

− x

1

(sostituiamo le coordinate di A in x

1

e y

1

, quelle di B in x

2

e y

2

) y −



− 8 3

 11

6 −



− 8 3

 = x − 2

− 1 4 − 2

(svolgiamo i calcoli nei denominatori)

y + 8 3 11

6 + 8 3

= x − 2

−1 − 8 4

(continuiamo a svolgere i calcoli nei denominatori)

y + 8 3 11 + 16

6

= x − 2

−9 4

(continuiamo a svolgere i calcoli nei denominatori)

y + 8 3 27

6

= x − 2

− 9 4

(semplichiamo il primo denominatore)

y + 8 3 9 2

= x − 2

− 9 4

(poiché a

b c

= a : b c = a · c

b ) 2

9 ·

 y + 8

3



= (x − 2) ·



− 4 9



1

Vedi appunti.

2

9 · 2 9 ·

 y + 8

3



= (x − 2) ·



− 4 9



· 9 (moltiplichiamo per 9 entrambi i membri per eliminare i denominatori) 2 ·

 y + 8

3



= (x − 2) · (−4) (dividiamo per 2 entrambi i membri) 2

2 ·

 y + 8

3



= (x − 2) · (−4)

2 (semplichiamo le frazioni) y + 8

3 = (x − 2) · (−2) (svolgiamo i calcoli al secondo membro) y + 8

3 = −2x + 4 (isoliamo la y) y = −2x + 4 − 8

3 (svolgiamo i calcoli) y = −2x + 4

3

Dall'equazione di r così ottenuta possiamo individuare il coeciente angolare m

r

= −2 . Allora il coeciente angolare della retta s perpendicolare a r è:

m

s

= − 1 m

r

= − 1

−2 = 1 2

Ora possiamo determinare l'equazione di s attraverso la formula dell'equazione di una retta pas- sante per un punto e di direzione assegnata:

y − y

0

= m(x − x

0

) (sostituiamo le coordinate di P in x

0

e y

0

) y −



− 7 2



= 1 2

 x − 3

5



(svolgiamo i calcoli)

y + 7 2 = 1

2 x − 3

10 (isoliamo la y) y = 1

2 x − 3 10 − 7

2 (sommiamo i termini al secondo membro) y = 1

2 x + −3 − 35 10 y = 1

2 x − 38 10 y = 1

2 x − 19 5

3