Scopo delle seguenti simulazioni è trovare dei modelli con forti

Probablità, Statistica e Processi Stocastici

Franco Flandoli, Università di Pisa

Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria

Premessa

Scopo delle seguenti simulazioni è trovare dei modelli con forti

‡uttuazioni ma valori compresi in un intervallo speci…cato.

Tali processi vengono a volte chiamati "bounded noise".

Se prendiamo una SDE facile, soggetta ad un tale moto browniano, abbiamo sì forti ‡uttuazioni ma ogni tanto si veri…cano valori anomali alti.

A titolo di esempio si simuli l’equazione

dX _t = λX t dt + σdB t , X ₀ = 1

con λ = 1, σ = 1 per tempi un po’lunghi, osservando la presenza di

(pur rare) escursioni anomale.

Barriere di potenziale

L’idea è usare un potenziale V ( x ) con barriere alte, ad esempio V ( x ) = x ¹⁰ :

2 4 6 8

y 10

Barriere di potenziale

Oppure addirittura un potenziale V ( x ) con barriere in…nite, ad esempio V ( x ) = _{1 x} ¹

:

2 4 6 8

y 10

L’equazione con potenziale

La SDE con potenziale V ( x ) è della forma

dX _t = V ⁰ ( X _t ) dt + σdB t , X ₀ = x ₀ . Ad esempio, per V ( x ) = x ¹⁰ essa è

dX t = 10X _t ⁹ dt + σdB t , X 0 = x 0 (1) mentre per V ( x ) = _{1 x} ¹

è

dX _t = ^{2X t}

( 1 X _t ² ) ^{2 dt} + σdB t , X ₀ = x ₀ . (2)

Prima domanda

Problem

Simulare alcune traiettorie dell’esempio (1), con σ = 1 e x ₀ = 0. Si confronti con

dX _t = 10X _t dt + σdB t .

Seconda domanda

Problem

Simulare alcune traiettorie dell’esempio (2), con σ = 1 e x 0 = 0. Eseguire la simulazione con varie ampiezze del passo temporale, controllando se il sistema resta sempre con…nato in [ 1, 1 ] oppure supera i bordi.

Mettersi per il seguito in un caso in cui non supera i bordi.

In linea di massima, il superamento dei bordi è un artefatto numerico,

dovuto alla discretizzazione temporale troppo rozza. Non corrisponde

ad una possibilità reale di superamento.

Premessa teorica: metodo alternativo per densità asintotica con Monte Carlo

Nelle slide delle lezioni scorse abbiamo visto che per trovare la densità at tempo t con Monte Carlo basta simulare tante traiettorie …no al tempo t e poi fare l’istogramma dei valori trovati.

E se vogliamo la densità asintotica p _∞ ( x ) dobbiamo far questo con t molto elevato.

In alternativa, in base ad un teorema ergodico, si può calcolare una sola traiettoria molto lunga e farne l’istogramma.

Più precisamente, bisognerebbe escludere un tratto inziale non

stazionario, ma di solito esso è irrilevante, se la traiettoria è lunga.

Terza domanda

Problem

Ottenere un istogramma della densità asintotica p _∞ ( x ) , con Monte Carlo, per l’esempio (1) e confrontarla con quella di

dX _t = 10X _t dt + σdB t .

Quarta domanda

Problem

Ottenere un istogramma della densità asintotica p _∞ ( x ) , con Monte Carlo, per l’esempio (2).

Attenzione: osservare la traiettoria prima di fare l’istogramma, ed

escluderla se ha superato i bordi.

Problema

Sarebbe naturale, a questo punto, sulla base delle cose viste nel corso, calcolare la densità tramite Fokker-Planck.

Tuttavia, basta fare alcune simulazioni per accorgersi che ci sono seri problemi di instabilità numerica, la cui risoluzione supera le

potenzialità del nostro corso.

I problemi nascono dall’ampiezza dei valori di b ( x ) nel termine ( bp ) ⁰ . Qui b ( x ) = V ⁰ ( x ) che è enorme in prossimità delle barriere.

Tralasciamo quindi questa parte dell’esercitazione, troppo di¢ cile.

Quinta domanda (facoltativa)

Problem

Cercare di calcolare la densità con Fokker-Planck, osservando i problemi

numerici che insorgono. Fare eventualmente dei tentativi correttivi.

Sesta domanda

Problem

Determinare in entrambi gli esempi la forma analitica della densità

asintotica p _∞ ( x ) , tracciandone poi il gra…co e confrontandolo con

l’istogramma asintotico.

Complementi al corso, preparati ma non spiegati

Era previsto lo svolgimento di alcuni ulteriori argomenti, non trattati per ragioni di tempo:

1

Sulle serie storiche, al termine della sesta lezione, è stato lasciato lo studio tramite fPCA, che però non è stato svolto.

2

Sul calcolo stocastico, è interessante vedere il calcolo secondo Stratonovich e le sue di¤erenze rispetto al calcolo di Itô.

3

Sulle equazioni di Fokker-Planck, può essere interessante vedere un’idea delle dimostrazioni circa il legame con le SDE ed il caso asintotico.

Vediamo 2 e 3.

L’integrale di Stratronovich

Ruslan Leont’evich Stratonovich (un ingegnere!) ideò la seguente variante della de…nizione di integrale stocastico:

Z _T

0

X _t dB _t = lim ∑ ^{X t}

⁺ ₂ ^{X t}

^{( B t}

^{B t}

^{) .}

Ha due difetti:

1

esiste solo per processi X t particolari

2

non c’è una formula semplice per calcolare media e varianza.

Riguardo ad 1, però, tra i processi particolari ci sono le soluzioni di equazioni di¤erenziali stocastiche; quindi non è un grosso difetto.

Riguardo a 2, bisogna sviluppare una regola per ricondursi all’integrale di

Formula di Itô-Stratronovich

Il pregio però di questa de…nizione è il seguente: la formula di calcolo di¤erenziale, detta ora formula di Itô-Stratonovich, è identica a quella del caso classico:

Theorem

Se f è derivabile due volte con continuità e X _t soddisfa dX _t = b ( t, X _t ) dt + σ ( t, X _t ) dB _t allora

df ( X _t ) = f ⁰ ( X _t ) dX _t nel senso che

df ( X _t ) = f ⁰ ( X _t ) b ( t, X _t ) dt + f ⁰ ( X _t ) σ ( t, X _t ) dB _t .

Legame tra integrale di Stratronovich e integrale di Itô

Theorem

Se X _t è un processo di Itô, cioè della forma dX _t = b _t dt + σ t dB _t oppure

dX _t = b _t dt + σ t dB _t

allora _Z

T 0

X _t dB _t =

Z T 0

X _t dB _t + ¹ 2

Z T 0 σ t dt.

In particolare, E

Z T

X dB = ¹

Z T

E [ ] dt.

Soluzione del problema dell’energia con l’integrale di Stratronovich

Riprendiamo il modello

X _t ⁰ = V t

dV t = r ^U ( X t ) dt + σdB t

con l’energia E ^t = ^V ₂

+ U ( X _t ) . Per la formula di Itô-Stratonovich d E ^t = V _t dV _t + r ^U ( X _t ) V _t dt

= V t r ^U ( X t ) dt + V t σ dB t + r ^U ( X t ) V t dt

= σV t dB t

da cui

Z Z 2

Relazione tra SDE e Fokker-Planck

Limitiamoci a svolgere i calcoli nel caso 1D. Sia ϕ una funzione test regolare. Vale

d ϕ ( X t ) = ϕ ⁰ ( X t ) dX t + ¹

2 ϕ ⁰⁰ ( X t ) σ ² ( X t ) dt

= ϕ ⁰ ( X t ) b ( X t ) + ¹

2 ϕ ⁰⁰ ( X t ) σ ² ( X t ) dt + ϕ ⁰ ( X t ) σ ( X t ) dB t . Quindi

ϕ ( X _t ) ϕ ( X ₀ ) =

Z t

0 ϕ ⁰ ( X _s ) b ( X _s ) + ¹

2 ϕ ⁰⁰ ( X _s ) σ ² ( X _s ) ds + int stoc Z _t

0 1 _{00 2}

Relazione tra SDE e Fokker-Planck

E [ ϕ ( X _t )] E [ ϕ ( X ₀ )]

=

Z _t

0 E ϕ ⁰ ( X _s ) b ( X _s ) + ¹

2 E ϕ ⁰⁰ ( X _s ) σ ² ( X _s ) ds Z

ϕ ( x ) p t ( x ) dx Z

ϕ ( x ) p 0 ( x ) dx

=

Z t 0

Z

ϕ ⁰ ( x ) b ( x ) p s ( x ) dx + ¹ 2

Z

ϕ ⁰⁰ ( x ) σ ² ( x ) p s ( x ) dx ds

Relazione tra SDE e Fokker-Planck

Z

ϕ ( x ) p t ( x ) dx Z

ϕ ( x ) p 0 ( x ) dx

=

Z t 0

Z

ϕ ( x ) ( b ( x ) p s ( x )) ⁰ dx + ¹ 2

Z

ϕ ( x ) σ ² ( x ) p s ( x ) ⁰⁰ dx ds

p _t ( x ) p ₀ ( x ) =

Z t

0 ( b ( x ) p _s ( x )) ⁰ + ¹

2 σ ² ( x ) p _s ( x ) ⁰⁰ ds

∂p

∂t = ¹ 2

∂ σ ² p

∂x ²

∂ ( bp )

∂x .

Abbiamo dedotto l’equazione di Fokker-Planck dalla SDE.

Densità invariante

Deduciamo ora, da Fokker-Planck, l’equazione soddisfatta dalla densità p _∞ ( x ) . Integriamo FP tra due estremi "grandi"

p _t

+ 1 ( x ) p _t

( x ) =

Z t

+ 1 t

"

1 2

∑ d i ,j = 1

∂ i ∂ j ( a _ij p _s ) div ( bp _s )

# ds.

Se t 0 è molto grande, vale p t

( x ) p _∞ ( x ) , p t

+ 1 ( x ) p _∞ ( x ) , p _s ( x ) p _∞ ( x ) per s 2 [ ^{t 0 , t 0} + 1 ] . Quindi

p _∞ ( x ) p _∞ ( x )

Z t

+ 1 t

"

1 2

∑ d i ,j = 1

∂ i ∂ j ( a _ij p _∞ ) div ( bp _∞ )

# ds

= ¹ 2

∑ d i ,j = 1

∂ i ∂ j ( a ij p _∞ ) div ( bp _∞ )