Richiami matematici 1 ottobre 2015

Richiami matematici

1 ottobre 2015

Campi scalari e vettoriali

Operatori differenziali sui campi

Vettore area, orientazione di una superficie Elementi di lunghezza, area, volume

Operazioni integrali sui campi Teoremi integrali

Campi

• Matematicamente sono funzioni reali (o

complesse) che rappresentano grandezze fisiche

• Sono definiti nello spazio tridimensionale e nel tempo (o in opportuni sottoinsiemi)

• Se non dipendono dal tempo sono detti statici

• Se hanno ovunque (nell’insieme spaziale di

definizione) lo stesso valore sono detti uniformi

) , , ,

(x y z t F

) , ,

(x y z G

Campi

• Se basta una sola funzione a definirli

completamente, il campo e` detto scalare (campo della temperatura)

• Se occorre una funzione per ogni dimensione spaziale, il campo e` detto vettoriale (campo della velocita` di un fluido)

) , , ,

(x y z t f

A_x 

) , , ,

(x y z t

 f



) , , ,

(x y z t g

A_z  )

, , ,

(x y z t g

A_y 

         













A

t z y x A t z y x A t

z y x A t

z y x A

z y

x

z y

x

, ˆ , ˆ ,

, , ˆ ,

, , ,

, , , ,

, , , ,

, , , ,

, ,









 

3

Operazioni differenziali sui campi

• Sono operazioni di derivazione delle componenti del campo. Agiscono su campi e definiscono nuovi campi.

– Gradiente – Divergenza

– Rotazione (o rotore) – Laplaciano

• Siccome le componenti sono funzioni di

piu` variabili, avremo derivate parziali

Gradiente di un campo

• In coordinate cartesiane:

• Formalmente, l’operatore gradiente si scrive:

• Il gradiente di un campo scalare e` un campo vettoriale

• Puo` anche agire su una qualunque componente di un campo vettoriale:

k z j y

i x





 





 





 



 ˆ ˆ ˆ

z k A y

j A x

i A

A_k ^{k k k}



 



 



 

 ˆ ˆ ˆ

k z j y

i x



 



 



 

 ˆ ˆ ˆ

5

Gradiente di un campo

• In coordinate cilindriche (r,,z):

• Un campo ha simmetria cilindrica se non dipende da 

• Ha simmetria di traslazione lungo z se non dipende da z

• In tal caso la parte del gradiente nel rettangolo rosso si annulla

• In coordinate sferiche (r,):

• Un campo ha simmetria sferica se non dipende da  

• In tal caso la parte del gradiente nel rettangolo rosso si annulla

k z





 





 





 



 ˆ ˆ 1 ˆ



 

 





 

 





 





 





 



 sin

ˆ 1 ˆ 1

ˆ r r r

 r

Divergenza di un campo vettoriale

• In coordinate cartesiane:

• Formalmente si puo` considerare come il

prodotto scalare tra l’operatore gradiente e il campo vettoriale:

• E` un campo scalare

z A y

A x

A A^{x y z}



 



 



 



 





k z j y

i x

A ˆ ˆ ˆ  _xˆ _y ˆ _z ˆ

 







 



 



 



 

7

Divergenza di un campo vettoriale

• In coordinate cilindriche:

• In coordinate sferiche:

 

A A A

A ^z



 



 



 



   









1

 1



 



 



 



 



 A

A r A r

r r

A r _r

sin sin 1

sin 1

1 ₂

2





Rotazione di un campo vettoriale

• In coordinate cartesiane:

• Formalmente si puo` considerare come il

prodotto vettoriale tra l’operatore gradiente e il campo vettoriale:

• Dalla presenza di versori, si evince che e` un campo vettoriale



 







 



 



 







 



 



 







 



 



 y

A x

k A x

A z

j A z

A y

i A

A ˆ ^{z y} ˆ ^{x z} ˆ ^{y x}



 

z y

x z

y x

A A

A

z y

x

k j

i k

A j

A i

z A y k

x j i

A 









 









 







 



 



 





ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

 ˆ



9

Rotazione di un campo vettoriale

• In coordinate cilindriche:

• In coordinate sferiche:

  _



 







 



 



 







 



 



 







 



 



  





 



  ^{ } A k A_ ^A

z A z

A A

A ˆ 1 ^z ˆ ^z ˆ 1



      



 







 



 



 







 



 



 







 



 



  



 

 



 ^{  r   r}

rA A r rA r

r r A r

A A r r

A 1 ˆ1

sin ˆ 1

sin sin ˆ 1

 

Laplaciano di un campo

• In coordinate cartesiane:

• Il laplaciano di un campo scalare e` un campo scalare

• E` la divergenza del gradiente:

• Formalmente:

• Puo` agire anche su una qualunque componente di un campo vettoriale:

2 2 2

2 2

2

z y

x 



 





 





 



2 2 2

2 2

2

z A y

A x

A_k A^{k k k}



 



 



 



















   ²

2 2 2

2 2

ˆ 2

ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ k z x y z

j y i x

k z j y

i x



 



 



 



 







 



 



 



 







 



 



 









  

11

Vettore area

• Due vettori nello spazio a e b, linearmente indipendenti, definiscono un piano

• L’area del parallelogramma che si puo`

costruire coi due vettori e`:

• Alla coppia a, b si puo` associare un vettore perpendicolare al piano e di modulo pari ad A, cioe` il loro prodotto esterno:

• Altrettanto bene potremmo associare il vettore dato dal prodotto esterno

 sin ab A 

b a A  



1 

a

b

a

b A₁

a b

A  



2 

a

b

Orientazione di una superficie

• Le due scelte riflettono le due possibili orientazioni della superficie

• Nel primo caso rappresenta l’orientazione oraria

• Nel secondo caso rappresenta l’orientazione antioraria

• Queste considerazioni possono essere estese a superfici di forma qualunque

b a A  



1 

13

a b

A  



2 

a

b

A₁ A₂

b a

dz

dy

dx

Elementi di lunghezza lungo le direzioni coordinate

dz d

d

r sind

r d

dr

• In coordinate cartesiane:

– dx – dy – dz

• In coordinate cilindriche:

– d

– dl_ = d – dz

• In coordinate sferiche:

– dr

– dl_ = r d

15

dz

dy

dx

Elementi di area sulle superfici coordinate

dz d

d

r sind

r d

dr

• In coordinate cartesiane:

– da_z = dx dy – da_x = dy dz – da_y = dz dx

• In coordinate cilindriche:

– da_z = dd – da_= ^d ^dz – da_= dz d

• In coordinate sferiche:

– da_= r dr d

– da_r = r² sindd

17

dz

dy

dx

Elemento di volume nello spazio

dz d

d

r sind

r d

dr

• In coordinate cartesiane:

dV = dx dy dz

• In coordinate cilindriche:

dV = dddz

• In coordinate sferiche:

dV = r² sindr dd

Area dei parallelogrammi proiezione

• Proiettiamo i due vettori a e b sui tre piani coordinati di una terna cartesiana

• Per ciascun piano xixj otteniamo una coppia di vettori a_ij ,b_ij proiezioni della coppia a,b (ovvero un parallelogramma proiezione del

parallelogramma associato alla coppia)

• Determiniamo la coppia proiettata, ad esempio, sul piano xy:

• Determiniamo l’area del parallelogramma associato:

• Che altro non e` se non la componente z del vettore area A.

• Quindi la proiezione di un elemento di area su un piano coordinato e` la componente nella

^{a i a j} ^{b i b j} ^{a b a b} ^k

b a

A_xy  _xy _xy  _xˆ _y ˆ  _xˆ _y ˆ  _{x y}  _{x y} ˆ

z

x

y a

b

j a i a

a_xy  _xˆ  _y ˆ b_xy  b_xiˆ b_y ˆj

 

x y x

xy a b a b a b A

A      

ˆ ˆ

ˆ 

 

Operazioni integrali sui campi

• Circuitazione: integrale lungo una linea (1-dim)

• Flusso: integrale su una superficie (2-dim)

• Integrale nello spazio (di volume): 3-dim



V

dV

 ^

C

l d A  





S S

a d A da

n

A  

ˆ

V 

S

A

C

A

19

Teoremi integrali

• Esistono due teoremi che coinvolgono integrali multipli degli operatori

differenziali:

– Teorema della divergenza – Teorema di Stokes

Teorema della divergenza

• Lega il flusso di un campo vettorale

all’integrale di volume della divergenza del campo stesso

• (Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa) = (Integrale della divergenza del campo nello spazio interno alla superficie)



 ^{   }

V S

dV A

a d

A    

A

 



A

S

V

21

Teorema di Stokes

• Lega la circuitazione di un campo vettoriale al flusso della rotazione del campo stesso

• (Circuitazione di un campo vettoriale lungo una linea chiusa) = (Flusso della rotazione del campo attraverso una qualunque superficie aperta che poggia su tale linea)



 ^{    }

S C

a d A l

d

A     

A

 



S