1/2/2007 C P

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C

^ALCOLO ^DELLE

P

^ROBABILITÀ

PROVASCRITTADEL

1/2/2007

Esercizio 1

Un servizio di autobus effettua il collegamento tra due stazioni seguendo la linea A nel 30% dei casi e la linea B in tutti gli altri casi. Un pendolare riesce a prendere l’autobus con probabilità 0.25 nel caso in cui venga percorsa la linea A e con probabilità 0.65 nel caso della linea B.

Definiti gli eventi A = l’autobus percorre la linea A, B = l’autobus percorre la linea B e

C = il pendolare riesce a prendere l’autobus, (1.1) si calcoli la probabilità che il pendolare riesca a prendere l’autobus;

(1.2) si calcoli la probabilità che l’autobus abbia seguito la linea A dato che il pendolare non è riuscito a prenderlo;

(1.3) si calcoli la probabilità che l’autobus abbia seguito la linea B dato che il pendolare è riuscito a prenderlo;

(1.4) si stabilisca se gli eventi A e B sono indipendenti, motivando la risposta;

(1.5) si stabilisca se gli eventi A e C sono indipendenti, motivando la risposta.

Quesito 1

Si consideri il lancio di due dadi regolari. Qual è la probabilità che la somma dei punteggi sia 12 sapendo che è uscito il 6 su almeno uno dei dadi?

Quesito 2

Si dimostri che, se P(A |B) = P(A | B), allora A e B sono indipendenti.

Esercizio 2

(2.1) Si trovi il valore della costante k per cui la funzione p(x) = kx (x = 1,2,3,4) rappresenta la funzione di probabilità di una v.c. X.

(2.2) Si calcolino P(3<X<10) e P(X<1).

(2.3) Si calcoli il valore atteso della v.c. X

(2.4) Si determini la funzione di ripartizione della v.c. X e la si rappresenti graficamente.

(2.5) Si trovi il valore della costante kn per cui la funzione pn(x) = kn x (x = 1,2,3,…,n) rappresenta la funzione di probabilità di una v.c. X.

(2)

Soluzione Esercizio 1

Definiti gli eventi A = l’autobus percorre la linea A, B = l’autobus percorre la linea B e

C = il pendolare riesce a prendere l’autobus, si ha: P(A) = 0.3, P(B) = 0.7, P(C | A) = 0.25 e P(C | B) = 0.65.

(1.6) P(C) = P(C|A) P(A) + P(C|B) P(B) = 0.075 + 0.455 = 0.53.

(1.7) P(A |C) = P(C | A ) P(A) / P(C ) = 0.225 / 0.47 = 0.479.

(1.8) P(B | C) = P(C |B) P(B) / P(C) = 0.455 / 0.53 = 0.858.

(1.9) A e B non sono indipendenti.

(1.10) A e C non sono indipendenti.

Quesito 1

Nel lancio di due dadi regolari la probabilità che la somma dei punteggi sia 12 dato che almeno uno dei dadi ha dato 6 risulta 1/11.

Esercizio 2

(2.6) La funzione p(x) rappresenta la f.p. di una v.c. X per c = 1/10:

(2.7) P(3<X<10) = 2/5; P(X<1) = 0.

(2.8) E(X) = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3 [non richiesto: Var(X) = E(X²) – E(X)² = 10 – 3² = 1, essendo E(X²) = 0.1 + 0.8 + 2.7 + 6.4 = 10].

(2.9) La funzione di ripartizione della v.c. X è data da:

F(x) = 0 per x<1, F(x) = 0.1 per 1x<2, F(x) = 0.3 per 2x<3, F(x) = 0.6 per 3x<4 e F(x) = 1 per x4.

(2.10) La funzione pn(x) rappresenta la f.p. di una v.c. X per kn = 2 / [n(n+1)].