PUNTI DI ACCUMULAZIONE

1) PUNTI DI ACCUMULAZIONE

Definizione 1

Sia AR _e x₀R_{. Si dice che} x_{0 è un punto di accumulazione per l’insieme A}

quando in ogni intorno I(x0) di x0cadono infiniti punti di A diversi da x0.

L’insieme dei punti di accumulazione di un insieme A si chiama derivato di A e si denota col simbolo D(A).

Esempi:

D( [1,2] ) = [1,2]; D( ]1,2[ ) = [1,2]; D(N) = D(Z) = ; D( [1,2[ U ]2,3 ] ) = [1,3].

Da questi esempi si deduce che un punto di accumulazione per A non è sempre appartenente ad A.

(x0D(A)x0A )

Inoltre i punti di accumulazione sono numeri reali. E’ comodo, pertanto, estendere la definizione anche ai punti .

Definizione 2

Sia AR_{. Si dice che è un punto di accumulazione per A quando in ogni intorno}

I() di  cadono infiniti punti di A. Osservazione

E’ evidente che

(  è di acc. per A)(A non è limitato superiormente) Analogamente per





.

Una volta data questa definizione i punti di D(A) si chiamano punti di accumulazione al finito, punti di accumulazione all’infinito.

Esempi:

(semplici dagli appunti a pag. 2)

2) LA NOZIONE DI LIMITE

Definizione 1

Sia f :ARR _e x0D(A). Si dice che lRè il limite di f in x0o anche che f

l x f

x

xlim0 ( )

Quando f _{verifica la seguente proprietà:}

(#)  0  0: xA e 0|xx₀|  | f(x) |l 

Osservazione

Analogamente a quanto visto per le successioni, essendo:

 ,  ( , ) | |xx0   x x0 x0 I x0   ,  (, ) ) ( | ) ( ( | f x l   f x  l l J l 

La definizione di limite espressa dalla proprietà (#) è equivalente a:

) , (l  J  I(x0,): xAI(x0,){x0} f(x)J(l,) Osservazione 1

Dalle definizioni di limite si deduce che all’esistenza del limite l concorrono soltanto i valori assoluti di f in punti contenuti in un opportuno intorno I(x0,) di x0e

diversi da x0.

Analogamente il limite l di f in x0è un numero che può esistere anche quando non

esiste il valore f(x0) di f in x0(ciò è possibile perché il punto x0D(A)non è tenuto

ad appartenere ad A). Inoltre all’esistenza del limite l concorrono soltanto i valori di

f che sono contenuti in un intervallo I(x0) di x0(carattere locale della definizione di

limite).

Definizione 2

Sia f :ARR _e x0D(A). Si dice che  è il limite di f in x0 o anche che f in 0

x _{diverge positivamente o anche che f tende a } per x che tende a x_{0 e si scrive}

   ( ) lim 0 x f x x

Quando f verifica la seguente proprietà:

(#)M 0  0: xA e 0|xx0|  f(x)M. Osservazione 2 Assunto che:  ,  ( ) ) ( ) (x M  f x  M  J  f

La proprietà (#) che fornisce la definizione di limite nel caso considerato, è equivalente alla seguente:

) (

J I(x0,): xAI(x0,){x0} f(x)J() Definizione 3

Sia f(x) una funzione reale definita in un insieme A R _{non limitato superiormente}

sicché  è punto di accumulazione per A.

Si dice che il numero lR è il limite di f(x) per x _{o anche che f(x) converge}

ad l per x _{e si scrive}

l x f

xlim ( )

Quando f verifica la seguente proprietà

(#) 0 0:xA e x | f(x)l|

Analogamente a quanto visto per le predente definizioni di limite, tale proprietà è equivalente alla seguente che restituisce gli intorni delle disuguaglianze

) , (l  J  I(): xAI() f(x)J(l,) Osservazione 4

Si noti che, in particolare, la precedente definizione di limite (#) restituisce la definizione di limite per le successioni (an) nel caso delle convergenti.

Osservazione 5

In maniera del tutto analoga, lasciamo allo studente che si definiscano i simboli di limite:

l x f

xlim ( ) ; xlim f(x); xlim f(x) .

Determiniamo qualche considerazione sulla definizione di limite per le funzioni osservando che, analogamente a quanto detto per le successioni, le varie definizioni di limite si possono riassumere tutte nell’unica:

Definizione generale di limite

Sia f :ARR_, x₀R _{un punto di accumulazione per A (al finito o anche}

all’infinito). Denotiamo col simbolo J(l) _{un intorno qualsiasi di} lRe con I(x0)un

intorno qualsiasi di x0.

       _ x f x l xlim0 ( )   ) (l J  I(x0): xAI(x0){x0} f(x)J(l)   

Inoltre, analogamente a quanto fatto per le successioni si dice che una funzione f è regolare nel punto x0quando è dotata di limite in x0, si dice che f è non regolare in

0

x _{quando non è dotata di limite in} x0.

Esempi:

(semplici sulla verifica di un limite da pag. 5 a pag. 8)

4) LIMITE SINISTRO E LIMITE DESTRO

Per studiare la regolarità di una funzione in un punto è molto utile nella pratica la nozione di limite sinistro e limite destro.

Definizione

Sia f :ARR _e x0D(A). Si chiamano limite sinistro e limite destro di f i limiti:

) ( lim ) ( lim 0 0 x f x f x x x

x    con xx0; lim ( ) lim ( ) 0 0 x f x f x x x x    con xx0.

In altri termini il limite sinistro è il limite di f in x0ottenuto facendo tendere x a x0

da destra.

E’ evidente che:

       _ x f x l xlim0 ( )      _{ }   _ x f x x x f x l xlim₀ ( ) lim₀ ( ) Congruentemente:              _      ( ) lim ( ) lim ( ) lim 0 0 0 x f x f x f x x x x x x Esempi:

(Semplici esempi di limite destro e sinistro pag. 9 e 10)

5) IL TEOREMA PONTE

Proposizione (sui punti di accumulazione di un insieme)

Se x0Rè punto di accumulazione per un insiemeA Resiste una successione (xn)

di punti di A distinti da x0che ha per limite il punto x0. Dim.

Sex0 R, l’intervallo n N n x n x       _1_{, }1 0 0 è un intorno di x0.

Essendo x0 di accumulazione per A nN in tale intervallo cadono infiniti punti di

A diversi da x0. Per ogni nNindicheremo allora con xnuno qualsiasi di tali punti

scelto a piacere. In tal modo resta individuata una successione (xn) di punti di A

diversi da x0tali che

n x x n

x₀1  ₀  ₀1

La quale converge a x0per il teorema dei carabinieri.

Analogamente si ragiona se x0  .

Definizione

Ogni successione (xn)di punti di A distinti da x0e avente per limite il punto x0R

(di accumulazione per A) si chiama una successione di punti di A approssimante x0.

Osservazione

Si noti che, come si deduce dalla dimostrazione della proposizione precedente, se x0

è un punto di accumulazione per l’insieme A allora esistono infinite successioni(xn)

di punti di A approssimantix0.

Premesso ciò, consideriamo una funzione f(x) definita nell’insieme A e un punto

R

x₀ _{di accumulazione per A.}

E’ evidente che, per ogni successione(xn) di punti di A approssimante x0è lecito

considerare la successione



f(xn)



dei valori di f in punti xndi A{x0}e cioè la

legge: nN  f(xn).

Relativamente a tali successioni sussiste il seguente importante teorema del quale omettiamo la dimostrazione per brevità.

Teorema ponte (sul limite delle funzioni)

Siano f(x) una funzione definita in A, x₀ R_{un punto di accumulazione per A,} lR.

Vale la seguente equivalenza

       _ x f x l x ( ) lim 0   _{f x l} n ( )

lim _{per ogni succ.}(xn)di punti di A approssimantex0   

Osservazione

Si noti subito che l’equivalenza contenuta nel teorema ponte può essere usate per definire il limite di una funzione: l è limite della funzione f(x) inx0se e solo se per

ogni successione(xn)di punti dell’insieme di definizione di f approssimante x0

E’ questo il motivo per cui il teorema ponte è molto importante. Un altro motivo per cui il teorema ponte è molto importante è che consente di estendere tutte le proprietà notevoli dei limiti delle funzioni collegandole (cioè facendo ponte) con le analoghe proprietà delle successioni. Ad esempio, utilizzando il teorema ponte dimostriamo la seguente proprietà del limite.

Teorema di unicità del limite

Ogni funzione f(x) che sia regolare in un puntox₀R _{di accumulazione per il suo}

insieme di definizione non può tendere a due limiti diversi al tendere di x a x0. Dim.

Supponiamo per assurdo che f ammetta in x0due limiti diversi l1 l2.

Detta

 

xn una successione di punti di A approssimante il punto di accumulazione x0,

per il teorema ponte valgono le implicazioni

1 1 lim ( ) ) ( lim 0 l x f l x f _n n x x    2 2 lim ( ) ) ( lim 0 l x f l x f _n n x x   

Ma allora la successione



f(xn)



amette due limiti diversi e ciò è impossibile perché

in contrasto col teorema di unicità del limite per le successioni. Il teorema è così dimostrato.

Osservazione 1

Naturalmente le proprietà notevoli del limite delle funzioni si possono anche dimostrare direttamente ricorrendo alla definizione di limite delle funzioni senza sfruttare il teorema ponte e i risultati analoghi stabiliti per le successioni.

Termineremo queste considerazioni sul limite delle funzioni aggiungendo il teorema sulle operazioni lecite con i limiti.

Teorema

Siano f(x) e g(x) due funzioni definite in un insiemeARex₀R_{un punto di}

accumulazione per A.



































_

_









gxf

abx

ba

xg

xf

Rb

xg

Ra

xf

xx

xx

xx

xx

lim)2

)()(

)()

(lim)

1

)(

lim,

)(

lim

0

0

0

0

Inoltre se f(x)0,x x0 allora vale che

      _        _{   }    _b a x g x f R b x g R a x f x x x x x x ( ) ) ( lim ) ( lim , ) ( lim 0 0 0

Queste implicazioni sono valide purché a+b, ab, e a /babbiano significato in R e

cioè non abbiano la forma indeterminata







della somma, 0 _{del prodotto,} 0/0,



 / del rapporto oppure il simbolo l/0.

6) CONTINUITA’ E DISCONTINUITA’ DELLE FUNZIONI

Definizione 1

Sia f :ARR _e x0 AD(A). Si dice che f è continua in x0quando risulta

) ( ) ( lim ₀ 0 x f x f x x 

Si dice che f è continua nell’insieme A quando è continua in ogni punto di A.

Esempio 1 (v. pag. 14)

In sintesi ricordando che il limite di una somma e di un prodotto è la somma o il prodotto dei limiti si ha che la somma e il prodotto di funzioni continue sono funzioni continue.

Esempio 2 (v. pag. 14 e 15)

E’ evidente che la funzione identica f(x)x _{e le funzioni costanti sono funzioni}

continue in R. Congruentemente sono continue le funzioni:

n

x x

Anche il rapporto di funzioni è una funzione continua ma, come al solito, occorre fare attenzione ai punti dove il denominatore si annulla.

Ad esempio il rapporto fra le funzioni f(x)sinx _e g(x) cosx _{equivale alla}

frazione x x x x g x f tan cos sin ) ( ) (  

E tale funzione è continua in  

Z k k R k R x x R        _              2 ) 1 2 ( 2 0 cos :   

Allo scopo di comprendere meglio la nozione di continuità è importante anche definire i punti di discontinuità delle funzioni.

Definizione 1

Sia f :ARR _e x0 D(A). Si dice che x0è un punto di discontinuità eliminabile

per f quando accade che xlimx0 f(x)lR ma non esiste f(x0)oppure quando accade

che xlimx0 f(x)lR, f(x0)ma l f(x0).

Osservazione

Se x0 è una discontinuità eliminabile per f, la funzione

per xA{x0} per x x0

è continua in x0 perché lim ( ) lim ( ) ( 0) 0 0 x g l x f x g x x x x     .

Tale funzione si chiama il prolungamento continuo di f in x0

Esempio (v. pag. 15)

Si riporta l’es. della funzione f(x) xsin1_{x che presenta una discontinuità eliminabile}

in x 0 e se ne scrive il prolungamento continuo.

Definizione 2

Sia f :ARR _e x0D(A). Si dice chex0è un punto di discontinuità di prima specie

per f se i limiti sinistro e destro di f inx0esistono finiti e sono tra loro diversi.

Ad esempio la funzione









l

x

f

x

g

(

)

(

)

















0

,1

0

,1

)(

x

x

x

x

xf

Ha in 0 una discontinuità di prima specie.

Definizione 3

Sia f :ARR _e x0D(A). Si dice chex0è un punto di discontinuità di seconda

specie per f in x0 quando almeno uno dei limiti sinistro o destro di f o è infinito

oppure non esiste. Ad esempio le funzioni x x f( ) 1 _; ( ) 1₂ x x g  _.

Hanno in 0 una discontinuità di seconda specie. Così pure le funzione

} 0 { , 1 sin ) (  xR x x f

Ha in 0 una discontinuità di II specie. Osservazione conclusiva

A conclusione di queste considerazioni osserviamo che il diagramma di una funzione

f(x) continua in un intervallo I è una linea priva di interruzioni e cioè tale che si può

descrivere senza mai sollevare la penna dal foglio. Se ciò accade in un punto x0, tale 0

x _{è un punto di discontinuità.}

7) FUNZIONI MONOTONE IN UN INTERVALLO

Ci proponiamo ora di caratterizzare le proprietà del limite di funzioni che risultino monotone in un intervallo.

Innanzitutto, come per le successioni, anche per le funzioni vale il seguente

Teorema sul limite delle funzioni monotone

Sia f(x) una funzione monotona nell’intervallo a, x0 con x0  cioè. Come si suol

dire, monotona a sinistra del punto x0. Vale la seguente legge f _{crescente in}      _     _   f x f x a x a x x 0 0 , 0 lim ( ) sup ,  f decrescente in   _ _{ } _  f x f x a x a x x 0 , 0 0 lim ( ) inf ,

Rinviamo per motivi di brevità la dimostrazione ricordando che tale dimostrazione è simile a quella che abbiamo fatto per le successioni.

Osservazione 1

Si noti che, essendox0l’estremo destro dell’intervallo a, x0 se x0 R risulta che

) ( lim ) ( lim 0 0 x f x f x x x x    Osservazione 2 (notevole)

Supponiamo che la funzione f sia crescente nell’intervallo a,b_{. Per il teorema sul}

limite delle funzioni monotone risulta allora

  ( ) sup ) ( lim , b f f x f b a b x_   

Evidentemente se vale l’uguaglianza f è continua in b, se invece vale la disuguaglianza stretta f ha in b una discontinuità eliminabile.

Osservazione 3 (notevole)

Abbiamo enunciato il teorema supponendo f monotona a sinistra del punto x0 ma è

evidente che i risultati sussistano anche a destra di x0 e cioè in x ,0 b con x0 .

In tal caso valgono le implicazioni:

 f _{crescente in}





 _{ }       _  _  f x f b x b x x x , 0 0 0 inf ) ( lim ,  f _{decrescente in }     _     _  _  f x f b x b x x x , 0 0 0 sup ) ( lim ,

Ne segue che, se f è crescente nell’intervallo compatto a,b _{se se} x0 a,b allora

esistono finiti i limiti sinistro e destro di f in x0e si ha (cfr. figura pag.18)

2 0 1 lim ( ) ( ) lim ( ) 0 0 l x f x f x f l x x x x     _{ }  

Evidentemente se almeno una di queste due disuguaglianze è stretta (cioè non vale l’uguale) allora f ha in x0 una discontinuità di prima specie, altrimenti f è continua

in x0. Analogamente se f è decrescente in a,b

Dal teorema sui limiti delle funzioni monotone, tenendo presente il diagramma, si deducono facilmente i seguenti limiti notevoli delle funzioni elementari:

Criterio di continuità delle funzioni monotone

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I qualsiasi ed ivi monotona. Vale l’implicazione

(il condominio di f(x) è un intervallo)( f(x) è continua in I)

Dim.

Supponiamo, per fissare le idee, f(x) crescente in a,b_{. Osserviamo che in tal caso}

per la crescenza di f(x) risulta f(a) f(x) f(b),xa,b_{, sicché}

[a,b] f(a),f(b)

f  . Si tratta di dimostrare che se f[a,b]f(a),f(b) e cioè se la funzione f(x) assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b) allora f(x) è continua in

a,b_.

Sia x0 un punto interno ad a,b di discontinuità per la funzione. Essa è una

discontinuità di prima specie (v. figura pag. 20) e posto

); ( lim 0 1 f x l x x   lim ( ); 0 2 f x l x x   Risulta ) ( ) (a l1 l2 f b f   

Ne consegue che f(x) non può assumere tutti i valori compresi tra f(a) e f(b) perché in tal caso, essendo



l₁,l₂

 

 f(a), f(b)



, dovrebbe assumere anche tutti i valori compresi tra l1 ed l2e ciò non è vero. Analogamente si ragiona per gli estremi di

a,b_.

Corollario

Le funzioni elementari sono tutte continue nel loro insieme di definizione

Dim.

Basta osservare che una funzione elementare o è una funzione monotona in un intervallo che per condominio un intervallo come le funzioni x_,ax_,loga x_{, oppure è}

noto che il suo insieme di definizione si può scomporre in intervalli in ciascuno dei quali la funzione è monotona ed ha per condominio un intervallo Ciò accade per la potenza ad esponente intero _xn _{con n pari, sinx,cosx,tanx,cotx.}

In ogni caso per il criterio di continuità delle funzioni monotone, ogni funzione elementare è continua.

E’ molto importante per le applicazioni il seguente risultato

Teorema (sul limite delle funzioni composte)

Siano f(x) una funzione definita in X e a valori in Y e g(y) una funzione definita in Y. Consideriamo la funzione composta g f(x) _{mediante tali funzioni che risulta}

definita in X.

Vale la seguente implicazione

Dim.

Sia

 

xn una qualsiasi successione di punti di X approssimante x0. Per l’ipotesi 1) e

il teorema ponte (implicazione a destra) risulta

0 ) ( lim f x_n y n  e f(xn) y0nN Congruentemente, posto yn  f(xn),nNsi ha N n y y_n  ₀,  _e lim_n yn  y0

E la successione

  

yn  f(xn)



è dunque una successione di punti di Y approssimante

0

y _.

Per l’ipotesi 2) e il teorema ponte (implicazione a destra) risulta ancora

l y g _n

n ( )

lim

Raccogliendo abbiamo provato , sfruttando le ipotesi 1) e 2) e il teorema ponte due volte, che



f x



l

g n

n ( ) 

lim

Per ogni successione

 

xn di punti di X approssimanti x0.

Per il teorema ponte (implicazione a sinistra stavolta) si conclude che



f x



l g x xlim ₀ ( )  E cioè la tesi. Osservazione (notevole)         l y g y x f y y x x ) ( lim ) 2 ) ( lim ) 1 0 0 0





      _          g f x l x x y x f x xlim ( ) ) ( 0 0 0

Si noti che il teorema sul limite delle funzioni composte esprime che, se le ipotesi a sinistra dell’implicazione sono valide, risulta:



( )



lim ( ) lim ( ) lim ) ( lim 0 0 0 y g y g x f g x f y y y x x x x     

Tale uguaglianza, dal punto di vista pratico, mostra che per calcolare il limite per

0

x

x _{della funzione composta} gf(x) _{basta porre nel simbolo} g f(x) _{y in luogo di}

f(x) e sostituire xx0 con lim ( ) 0 x f y x x  _.

Quando si effettuano tali operazioni si dice che il limite _xlim_x0g



f(x)



si calcola con la sostituzione y  f(x)_{. (v. esempio a pag. 23)}

Osservazione 2

Dal teorema sul limite delle funzioni composte si trae in particolare:

 

_











_







































)(lim

)()(

lim

)()(

lim

)(lim

0 0 0 0

0

0

0

xfg

ygxf

g

ygyg

yxf

xx

xx

yy

xx

Ovvero, la funzione composta mediante funzioni continue, è a sua volta continua.

9) ESERCIZI SUI LIMITI DI EPSRESSIONI ELEMENTARI

(v. pag. 23 a 26)

Sono presentati diversi esempi di calcolo del limite per sostituzione e attraverso operazioni lecite sui limiti.

10) ALCUNI TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE IN

UN INTERVALLO

Sia f(x) una funzione continua in un intervallo I qualsiasi e siano abdue punti di I tali che f(a) f(b)0_{. Essendo il diagramma di f(x) una curva priva di interruzioni}

perché priva di discontinuità è intuitivo che il pezzo di diagramma di f che si presenta nell’intervallo a,b _{deve intersecare l’asse x in qualche punto.}

Siccome i punti in cui un diagramma interseca l’asse x sono i punti in cui la funzione si annulla possiamo affermare che la funzione f(x) nell’intervallo a,b _deve

annullarsi in qualche punto.

Naturalmente questo ragionamento non può valere come dimostrazione perché non è stata data una definizione quantitativa della continuità, tuttavia è una qualificazione intuitiva del seguente importantissimo

Teorema degli zeri

Una funzione f(x) la quale sia continua in un intervallo compatto a,b _{e che assume}

valori di segno opposto negli estremi di a,b _{si annulla in almeno un punto interno di}

a,b_.

Vale cioè la seguente implicazione

f continua in a,b _e 0 ) ( ) (a  f b  f

Rinviamo la dimostrazione per motivi di brevità.

Utilizzando il teorema degli zeri dimostriamo il seguente

I teorema di esistenza dei valori intermedi

Una funzione f continua nell’intervallo compatto a,b _{assume tutti i valori compresi}

tra f(a) e f(b).

Dim.

Se f(a) f(b) _{il teorema è vero perché la funzione assume l’unico valore}f(a) f(b)_.

Viceversa supponiamo f(a) f(b)_{e consideriamo al funzione ausiliaria} 0 ) ( ) (x f x y g   xa,b con f(a) y0  f(b).

Essendo g(a) f(a) y0 0 e g(b) f(b)y0 0, per il teorema degli zeri esiste un

punto x₀  a,b _{tale che} g(x0) f(x0)y0 0 e cioè tale che f(x0) y0. Si conclude

che f(x) assume il valore y0. Dall’arbitrarietà di y0 segue la tesi.

Consideriamo, ancora, il diagramma di una funzione f continua in un intervallo compatto a,b_{. Essendo tale diagramma privo di interruzioni è quantitativamente}

evidente che esistono almeno due punti x₁,x₂

 

a,b _{tali che} f x f

b a ], [ 1) min (  _e f x f b a ], [ 2) max

(  _{. Tali punti si dicono rispettivamente punti di minimo e punti di}

massimo.          

 



 0 , : ( 0)0



 x a b f x

Naturalmente tutto ciò è una considerazione di carattere quantitativo e non una dimostrazione del seguente importantissimo risultato.

Teorema di Weierstrass

Una funzione f continua in un intervallo compatto a,b _{è dotata di minimo e di}

massimo.

In altri termini vale la seguente implicazioni

f continua in a,b

dal teorema di Weierstrass e dal I teorema di esistenza dei valori intermedi si deduce la seguente proprietà.

II teorema di esistenza dei valori intermedi

Una funzione f continua in un intervallo compatto a,b _{assume tutti i valori compresi}

tra il suo minimo e il suo massimo.

Dim.

Se il minimo è uguale al massimo la funzione è costante e il teorema è vero. Viceversa, indichiamo con x1 un punto di minimo e con x2 un punto di massimo.

Per il primo teorema dei valori intermedi applicato all’intervallo compatti di estremi

1

x e x2si ha che f(x) assume tutti i valori compresi tra f(x1) e f(x2), e quindi tra il

minimo e il massimo. Osservazione

Questo teorema si generalizza. Infatti si può dimostrare che una funz. f continua in un intervallo I qualsiasi assume tutti i valori compresi tra il suo estremo inferiore e il suo estremo superiore. Congruentemente ogni funzione continua in un intervallo ha per codominio un intervallo.

Sussiste, infine il seguente risultato che non dimostriamo.

Teorema di continuità della funzione inversa

La funzione inversa _f 1 _{di una funzione f continua e strettamente monotona in un}

intervallo compatto a,b _{è a sua volta una funzione continua e strettamente}

monotona.

11) FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE

        _{   }     f x f f x f b a x x b a b a, ] 2 [ , ] [ 1 2 1, [ , ]: ( ) min , ( ) max

Le funzioni seno, coseno e tangente non sono invertibili perché periodiche, in tutto il loro insieme di definizione sono però certamente invertibili in ogni intervallo in cui risultino strettamente monotone.

Definizione

Si chiama arcoseno l’inversa della restrizione del seno all’intervallo _ ,_2 2

 

; arcoseno l’inversa della restrizione del coseno all’intervallo 0,_{; arcotangente}

l’inverso della restrizione della tangente all’intervallo _ ,_2 2   . Osserviamo che  1,1 sin 2 , 2        x x   0,  cos 1,1  x x  R x x        tan 2 , 2  

Inoltre: arcsinx e arctanx_{sono strettamente crescenti, mentre} arccos è strettamentex

decrescente, perché tali sono le funzioni da cui provengono. (cfr. grafici a pag. 30) Osservazione

(v. pag. 31)

Sono elencati i valori delle funzioni goniometriche e delle loro inverse per alcuni angoli notevoli.

E’ utile infine osservare che le funzioni arcoseno e arcotangente sono funzioni dispari.

12) I LIMITI FONDAMENTALI

(v. pag. 32)

Sono presentati i limiti fondamentali, con alcuni limiti che derivano da essi. Osservazione

Tutti questi limiti sono utili nelle applicazioni quando si presentano i casi delle forme indeterminate della somma, del prodotto o del rapporto.

(v. pag. 33 e 34)

13) LA POTENZA A BASE ED ESPONENTE VARIABILI.

FORME INDETERMINATE DELLA POTENZA

Vogliamo ora mostrare come si calcola il limite della funzione  _f(x)g(x)_{, detta}

potenza a base ed esponente variabili, in un punto x0di accumulazione per il suo

insieme di definizione. Essendo





( ) log ( ) ( ) ( )log ( )

)

(_x g x _e f x _eg x f x

f _ gx _ 

Risulta (tenendo conto della continuità della funzione esponenziale)





( ) log ( ) ( ) lim₀ ( )log ( )

0 0 lim ) ( lim f x g x f x x x x g x x x x x g e e x f      

Congruentemente il calcolo del limite in questione è ricondotto al calcolo del limite del prodotto ) ( log ) ( lim 0 x f x g x x 

Evidentemente la situazione si complica quando per xx0 il prodottog(x)log f(x)si

presenta nella forma indeterminata 0.

Definizione 1

Si dice che la potenza a base ed esponente variabili  _f(x)g(x) _{si presenta in forma}

indeterminata quando il prodotto g(x)log f(x) _{si presenta nella forma indeterminata} 

 0 .

E’ facile comprendere che il prodotto g(x)log f(x) _{si presenta in forma}

indeterminata quando f(x)0 _e g(x)0 _in x0, oppure quando f(x)1 e 

 ) (x

g _{, oppure infine quando} f(x) _e g(x)0 _in x_0.

In tali casi per xx0,  f(x)g(x) dà luogo ai simboli 0

0 ₁ _0 Definizione 2

I quattro simboli ₀0_,1 _,0 _{si riassumono in tre simboli} 0

0 ₁ _0