Funzione di Funzione

Prof. Chirizzi Marco

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3.2 Funzione di funzione

Sia:

z=φ(x) ( 3.6 ) una funzione della variabile x definita in un intervallo

[

a,b

]

.

Sia:

y= f(z) ( 3.7 ) una funzione della variabile z , che supponiamo definita per ogni valore di z , fornito dalla ( 3.6 ). Sostituendo la ( 3.6 ) nella ( 3.7 ), possiamo scrivere:

y= f

[

φ(x)

]

( 3.8 ) In corrispondenza di ogni valore di x appartenente all’intervallo ₀

[

a,b

]

, corrisponde il valore

) ( ₀

0 x

z =φ ed a questo z corrisponde il valore ₀ y₀ = f

[

φ(x₀)

]

. La y è perciò funzione della variabile x attraverso il legame che intercorre tra essa e la funzione z . La ( 3.8 ) prende il nome di

funzione di funzione oppure funzione composta.

Esempi di funzioni composte

Si considerino le seguenti funzioni: z= x3+4x−2, y =tgz. La funzione composta risulta essere:

) 2 4 ( 3+ − =tg x x y

Consideriamo le seguenti funzioni:

z e y x sen z= , =

La funzione composta risulta essere:

x sen e y = Si dimostra il seguente teorema:

Teorema

Se la funzione φ(x) ammette limite finito  , per x tendente ad x , e se ₀ f (z) è continua in z=, allora risulta:

[

( )

]

_lim ( ) ( ) lim 0 0  f x f x f x x x x =       = → → φ φ

Da questo teorema segue il seguente corollario:

Corollario

Se φ(x) è continua nel punto x ed ₀ f (z) è continua in z₀ =φ(x₀), allora la funzione composta

[

(x)

]

f

y = φ è continua nel punto x . ₀

Grazie a questo corollario, si può dimostrare la continuità di funzioni molto complicate. Per esempio, la funzione:

3 2

log x y =

è continua, in quanto lo sono le funzioni componenti:

z y

x