1
Convessit`
a olomorfa
Esercizio 1 Sia f ∈ O(Cn) e sia X = {f = 0}; dimostrare che, per ogni K compatto di X, l’inviluppo bKO(Cn)`e contenuto in X.
Esercizio 2 Fissato un reale δ ∈ (0, 2π), consideriamo in C2l’insieme compatto K = {z2= 0, z1= eitcon δ ≤ t ≤ 2π} ∪ {|z2| = 1, z1= eit con 0 ≤ t ≤ δ} Dimostrare che bKO(C2)contiene il disco D = {z2= 0, |z1| ≤ 1}.
Esercizio 3 In C2 consideriamo le coordinate z
1= x1+ iy1 e z2= x2+ iy2. i. Dimostrare che il 2−piano reale π = {x2 = y1 = 0} `e olomorficamente
convesso.
ii. Dimostrare che l’insieme K = {x21+ y22 = 1, x2= y1 = 0} `e olomorfica-mente convesso.
iii. Dimostrare che ogni compatto K del piano π `e olomorficamente convesso. (Hint: ogni chiuso `e luogo di zeri di una funzione continua e i polinomi reali sono densi nelle continue per convergenza uniforme sui compatti) Bonus Per quali piani π il risultato dell’esercizio precedente rimane vero? Se al posto di π consideriamo l’iperpiano reale H = {x1 = 0} e prendiamo K = {x1 = 0, x22+ y21+ y22 = 1}, `e ancora vero che H e K sono olomorficamente convessi?
Esercizio 4 Dimostrare che il dominio di C2 Ω = {|z1|2+ x22> ρ
2}
non `e di olomorfia.
Esercizio 5 Dimostrare che l’inviluppo olomorfo di Γ = {z1= z2z¯22} ⊂ C2
incontra in un aperto (di C) ogni retta complessa della forma z1 = k2z2 con k ∈ R.
NB: L’inviluppo olomorfo di un insieme non compatto `e l’unione degli inviluppi olomorfi di tutti i compatti in esso contenuti.
NB2: L’inviluppo convesso di Γ `e tutto lo spazio C2, ma non ne conosco una dimostrazione con tecniche elementari.
1.1
Complementi
Nei prossimi esercizi vogliamo dimostrare che, se K `e un compatto olomorfica-mente convesso in Cn, allora π
k(Cn\ K) = 0 e Hk(Cn\ K; G) = 0 per ogni G abeliano e 1 ≤ k ≤ n − 1.
Esercizio 6 Dimostrare che, fissato U intorno di K, possiamo trovare una funzione di esaustione ρ : Cn → R, liscia, fortemente plurisubarmonica e una costante reale R > 0 tali che
ii. ρ(z) = |z|2 se |z| ≥ R;
iii. ρ `e una funzione di Morse con un numero finito di punti critici, tutti di indice minore o uguale a n, di modo che 0 non sia valore critico.
Esercizio 7 Sia Xt= {ρ ≥ t}.
i. Si fissi c ≥ R2 e si calcolino omotopia e omologia di X c.
ii. Siano poi t1 < . . . < tm i punti critici di ρ e siano s, t reali tali che tj−1 < t < tj < s < tj+1; si determinino omologia e omotopia di Xt rispetto a Xs(in dimensione 1 ≤ k ≤ n − 1).
Esercizio 8 Utilizzando l’esercizio precedente, dimostrare che omologia e omo-topia di X0 ⊃ Cn \ U rispetto a Xc sono nulle in dimensione positiva < n e concludere che πk(X0) = Hk(X0; G) = 0 se 1 ≤ k ≤ n − 1. Concludere con un opportuno passaggio al limite su U .
I prossimi esercizi riguardano invece i domini di Reinhardt logaritmicamente convessi e il loro legame con le serie di potenze in pi`u variabili.
Esercizio 9 Si consideri in Cn la serie di potenzeP IaIz
I (in notazione mul-tiindice) e sia D il suo dominio di convergenza. Dimostrare che
i. D `e un dominio di Reinhardt completo;
ii. un sottoinsieme di Rn`e convesso se e solo se, per ogni suoi due punti x, y, il loro punto medio appartiene ancora all’insieme;
iii. D `e logaritmicamente convesso.
Esercizio 10 Indichiamo con bKM,D l’inviluppo di K rispetto ai monomi in D, ovvero l’insieme
{x ∈ D : |f (x)| ≤ sup
K |f | ∀f (z) ∈ C[z], monomio}
Diremo che un dominio D `e monomialmente convesso se bKM,D `e compatto in D per ogni K compatto in D.
i. Dimostrare che un dominio monomialmente convesso `e anche olomorfica-mente convesso.
ii. Dimostrare che, se K `e un dominio di Reinhardt compatto, completo e logaritmicamente convesso in D, allora per ogni punto a di (C∗)n\K posso trovare (per convessit`a) un multiindice I tale che kzIkK < |aI|.
iii. Dimostrare che, se a ∈ (C∗)j× 0 ⊂ Cn
, la proiezione su Cj non cambia la situazione e quindi si pu`o riapplicare il punto precedente.
iv. Dedurne che K `e monomialmente convesso.
Esercizio 11 Dimostrare che esiste una funzione che `e illimitata in ogni intorno di ogni punto del bordo di un insieme olomorficamente convesso e dedurne che ogni dominio di Reinhardt completo e logaritmicamente convesso `e il dominio di convergenza di una serie di potenze.
2
Forma di Levi
Esercizio 12 Sia S = {ρ = 0} ⊂ C2 un’ipersuperficie reale differenziabile; dimostrare che la forma di Levi di S `e definita positiva se e solo se il determinante
det 0 ρz1 ρz2 ρz1 ρz1z21 ρz1z2 ρz2 ρz2z1 ρz2z2
non si annulla mai su S.
Esercizio 13 Calcolare la forma di Levi dell’ellissoide En= {|z1|2+ |z2|n+2+ |z3|2n+4 = 1} in C3 e calcolarne la segnatura1.
Esercizio 14 Si consideri l’ellissoide E0; nel punto (1, 0, 0), la sua forma di Levi ha un autovalore nullo con autovettore (0, 0, 1). Si consideri il disco analitico dato da ζ 7→ (1, 0, ζ) = φ(ζ), con ζ ∈ ∆ = {z ∈ C : |z| < 1}; allora
lim ∆3ζ→0
dist(φ(ζ), E0) |φ(ζ) − φ(0)|2 = 0
Ovvero esiste un disco analitico che ha come tangente l’autovettore di autovalore 0 e che ha ordine di contatto con E0 maggiore di 2.
Esercizio 15 Dimostrare che non ci possono essere dischi analitici contenuti nel bordo della palla unitaria di C2. (Hint: Il modulo di una funzione olomorfa `
e subarmonico e armonico se e solo se la funzione `e costante.)
Esercizio 16 Calcolare la forma di Levi per le ipersuperfici definite da i. ρ(z) = 2xn+P n−1 j=1|zj|pj con pj ∈ N ii. ρ(z) = 2xn+P n−1 j=1|fj(z)|2con fj ∈ O iii. ρ(z) = 2x2+ |z1|8+ k|z1|6x21
Per quali valori di k, nel terzo caso, l’ipersuperficie sar`a fortemente Leviconvessa vicino all’origine? Nel secondo caso, se le fj non dipendono da zn, si trovi una formula per il determinante della forma di Levi.
Esercizio 17 Dimostrare che, se λ `e abbastanza piccolo, allora Ωλ= {x1+ |z2|4+ 2λ<(z2z23}
`
e un dominio strettamente pseudoconvesso. Esercizio 18 Sia r ∈ R e sia
T1= {|z1|2+ |z2|2= r2+ 2|z1| − 1}
in C2; si dimostri che tale ipersuperficie `e fortemente Leviconvessa per 0 < r < 1.
1Si intende, ovviamente, la segnatura della forma di Levi considerata come forma bilineare
Sia poi
T2= {|z1|2+ |z2|2= r2+ 2 q
x2
1+ x22− 1
in C2; si dimostr che tale ipersuperficie `e realmente isometrica a T1, ma `e forte-mente Leviconvessa solo per 0 < r < 1/2.
Se ne concluda che T1e T2, per opportuno valore di r, sono isometriche come ipersuperfici di R4 ma non biolomorfe.
3
Variet`
a complesse e quasi complesse
Esercizio 19 Sia (M, J ) una variet`a complessa. Una sezione C∞ di T1,0M si dice campo olomorfo di vettori se manda germi di funzione olomorfa in germi di funzione olomorfa; dimostrare che Z `e un campo olomorfo di vettori se e solo se, fissando coordinate complesse z1, . . . , zn nell’intorno di ogni punto si ha
Z =XZα ∂ ∂zα con Zαfunzioni olomorfe.
Esercizio 20 Sia (M, J ) una variet`a complessa. Una sezione C∞ di TRM si dice campo olomorfo reale di vettori se X − iJ X `e un campo olomorfo di vettori. Dimostrare che le seguenti sono equivalenti:
• X `e un campo olomorfo reale di vettori • LXJ = 0
• il flusso di X consiste di trasformazioni olomorfe di M .
Esercizio 21 Sia a(M ) l’insieme dei campi olomorfi reali su M ; dimostrare che a(M ) ha struttura di algebra di Lie complessa.
Bonus: Se M `e una variet`a complessa chiusa, a(M ) ha dimensione finita. Esercizio 22 Sia M = (C2\ {0})/(z˜2z) una superficie di Hopf; dimostrare che M(M ) = M(CP1), dove M(X) `e lo spazio delle funzioni meromorfe su X. (Hint: Sollevare m ∈ M(M ) al rivestimento universale, estendere e dimostrare che passa al quoziente in CP1.)
Bonus: Cosa si pu`o dire nel caso M0= (C2\ {0})/((z
1, z2)˜(2z1, 3z2))? Esercizio 23 Dato un reticolo Γ ∈ Cn
, isomorfo a Z2n, scelte due basi {e
1, . . . , en} di Cn e {λ 1, . . . , λ2n} di Γ, possiamo scrivere λi= X λjiej e quindi abbiamo la matrice
P = λ1,1 λ1,2 · · · λ1,2n .. . ... λn,1 λn,2 · · · λn,2n
detta matrice dei periodi del toro Cn/Γ. Dimostrare che P `e la matrice dei periodi di un toro complesso se e solo se la matrice
Π =P P
`
e non singolare.
Esercizio 24 Determinare lo spazio delle 1−forme olomorfe sul toro Cn/Γ; caratterizzare le funzioni olomorfe f : Cn/Γ → Cm/Γ0.
Esercizio 25 Dimostrare che ogni gruppo di Lie complesso e compatto `e un toro. (Si sfrutti la rappresentazione aggiunta). Dedurre che U (n) e SU (n) non sono gruppi di Lie complessi.
Esercizio 26 Dimostrare che ogni 6−variet`a ammette una struttura quasi com-plessa.
Esercizio 27 Sia (M, J ) una variet`a quasi complessa; consideriamo una forma differenziale di tipo (1, 0) su M , ovvero una sezione C∞del fibrato Λ1(T1,0M )∗; allora dφ ∈ Γ(M, Λ2(TCM )∗) e dunque
dφ = d1,0φ + d0,1φ + d−1,2φ
con d1,0φ una (2, 0)−forma, d0,1φ una (1, 1)−forma e d−1,2φ una (0, 2)−forma. Dimostrare che d−1,2`e un campo di tensori su M e che
φ(N (X, Y )) = 8d−1,2φ(X, Y )
per ogni (1, 0)−forma φ e per ogni coppia di campi di vettori X, Y su M , con N il tensore di Nijenhuis.
