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4.46 Esercizio. Dimostrare che, dato un insieme convesso K e un punto ¯x ∈ ∂K, l’insieme {a ∈ Rn :

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(1)

4.46 Esercizio. Dimostrare che, dato un insieme convesso K e un punto ¯ x ∈ ∂K, l’insieme {a ∈ R

n

: a x = a ¯ x `e un piano di supporto a K }

`e un cono convesso e chiuso. Che relazione c’`e fra questo cono e D(K, ¯ x)?

Soluzione. Per ogni a dell’insieme si ha a ¯ x ≤ a x, ∀x ∈ K. Certamente anche α a, α ≥ 0 appartiene all’insieme. Quindi si tratta di un cono. Che il cono sia convesso si verifica notando che dati a

1

e a

2

nell’insieme, si ha immediatamente

(a

1

+ a

2

) ¯ x ≤ (a

1

+ a

2

) x ∀x ∈ K

sommando a

1

x ¯ ≤ a

1

x, ∀x ∈ K, e a

2

x ¯ ≤ a

2

x, ∀x ∈ K. Si indichi con C tale insieme. Allora a (x − ¯x) ≥ 0 ∀a ∈ C, ∀x ∈ K

Se h ∈ D(K, ¯x) allora ¯x + ε h ∈ K, quindi

a h ≥ 0 ∀a ∈ C, ∀h ∈ D(K, ¯x)

1

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