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4.60 Esercizio. Dimostrare che le direzioni di un insieme convesso formano un cono con- vesso.

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Academic year: 2021

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4.60 Esercizio. Dimostrare che le direzioni di un insieme convesso formano un cono con- vesso.

Soluzione. Per definizione di direzione d, x+α d ∈ K per ogni α ≥ 0 e x ∈ K. Ovviamente anche x + α (β d) ∈ K con β ≥ 0, quindi le direzioni formano un cono. Siano d

1

e d

2

due direzioni, cio`e x + β

1

d

1

∈ K, ∀β

1

≥ 0, e x+β

2

d

2

∈ K, ∀β

2

≥ 0. Prendendo la combinazione convessa si ha

α (x+β

1

d

1

)+(1 −α) (x+β

2

d

2

) = x+α β

1

d

1

+(1 −α) β

2

d

2

∈ K 0 ≤ α ≤ 1, β

1

≥ 0, β

2

≥ 0

Scegliendo i valori in modo che

α β

1

= (1 − α) β

2

si ha

x + α β

1

(d

1

+ d

2

) ∈ K β

1

≥ 0 e quindi anche d

1

+ d

2

`e una direzione.

1

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