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Progressioni

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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)
(2)

Le progressioni

Progressione aritmetica

Progressione geometrica

(3)

Progressione aritmetica

•  Si dice progressione aritmetica (o per differenza) una successione di numeri tale che sia costante la differenza fra un q u a l u n q u e n u m e r o e i l s u o predecessore.

(4)

Esempio

•  5, 8, 11, 14, ...

•  8 - 5 = 3

•  11 - 8 = 3

•  14 - 11 = 3

(5)

La

ragione

•  I termini successivi di una progressione si

possono indicare così (lettere minuscole con indice):

a1 , a2 , a3 , ..., an , ...

•  a1 è il primo termine della progressione.

•  La differenza costante, che nell'esempio numerico è 3, si chiama ragione della

(6)

•  a

n

= a

n-1

+ d

•  Formula per calcolare il termine

n-esimo di una progressione aritmetica conoscendo il primo termine e la

ragione :

(7)

Progressione aritmetica finita

•  Se di una progressione aritmetica

consideriamo soltanto un numero finito di termini consecutivi

•  (ad esempio, soltanto i primi n termini), parleremo di progressione aritmetica finita

(8)

La somma in una progressione

aritmetica

•  S = a1 +a2 + ……+ an-1+ an

•  S = (a1+an) +(a2 + an-1) +(a3 + an-2) +…

•  a2 + an-1 = a1+ d + an - d = a1+an e così

per ogni coppia (le coppie sono n/2)

•  S = (a1 + an) n/2

(9)

Progressione geometrica

•  Si dice progressione geometrica una successione di numeri tale che sia costante il rapporto fra un qualunque numero e il suo predecessore.

•  Il rapporto costante tra ogni termine (escludendo, ovviamente, il primo) e il precedente si dice “ragione della

progressione, e viene di solito indicato col simbolo q

(10)

Esempio

•  2, 10, 50, 250, 1250 •  10/2 = 5 •  50/10 = 5 •  250/50 = 5 •  1250/250 = 5

(11)

La ragione

•  I termini successivi di una progressione si possono indicare così (lettere

minuscole con indice):

a1 , a2 , a3 , ..., an , ...

•  a1 è il primo termine della progressione.

•  an = an-1 q n q= ragione

(12)

Successioni

•  an = an-1 q

•  an-1 = an-2 q

•  an = an-1 q = an-2 q q = an-2 q2

(13)

Progressione geometrica finita

•  Se di una progressione geometrica

consideriamo soltanto un numero finito di termini consecutivi

•  (ad esempio, soltanto i primi n termini), parleremo di progressione geometrica finita

(14)

•  S = a1 +a2 + ……+ an-1+ an •  S = a1 + a1 q + a1 q2 + ….. + a 1 qn-1 •  S = a1 (1 + q + q2 + ……. + qn-1 ) •  1 – q n =(1 – q) (1 + q + q2 +.. + qn-1 ) •  (1 + q + q2 +.. + qn-1 ) = (1 – q n )/(1 – q)

• 

S = a

1

(1 – q

n

)/(1 – q)

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