Universit`a dell’Aquila - Elettromagnetismo e Fisica 2
Nome Cognome N. Matricola Corso di Studio CFU
... ... ... ... .... Prova scritta - 03/07/2017
Tempo a disposizione due ore e mezza. Problema 1
Una nuvola cilindrica infinitamente lunga e di raggio R ha una densit`a di carica che varia con la distanza dall’asse con la legge
ρ = ρo(a − r/R) 0 ≤ r ≤ R
Determinare: a) la carica per unit`a di lunghezza ; b) l’espressione del campo elettrico per r < R e in particolare ad R/2; c) a che distanza dal centro il campo elettrico ha la massima intensit`a ed il suo valore; d) se il valore di a fosse 1.7 dove si troverebbe il massimo del campo elettrico e quale sarebbe la sua intensit`a?
(dati del problema ρo = 2 µC/m3, R = 10 cm, a = 0.9 )
Problema 2 Nel circuito mostrato a lato l’interruttore dopo essere stato chiuso per lungo tempo viene aperto. Determi-nare: a) la carica del condensatore quando l’interrut-tore `e chiuso; b) la carica del condensatore trascorso un tempo molto lungo dalla apertura, determinando cosa significhi tempo molto lungo (determinando la costante di tempo in questa fase); c) La tensione ai
capi della resistenza R3 trascorso un tempo t = t1 dalla apertura dell’interruttore; d) la
po-tenza fornita dal generatore f1 prima dell’apertura e trascorso un tempo 2t1 dall’apertura
dell’interruttore.
(dati del problema R1 = 6 Ω, R2 = 3 Ω, R3 = 2 Ω, R4 = 8 Ω, C = 3 µF , f1 = 12 V , f2 = 4 V ,
t1 = 5 µs)
Problema 3
Un disco di rame di raggio a e momento di inerzia Ic (rispetto al suo asse) ruota coassialmente
all’interno di un solenoide ideale di N spire, lungo ` e percorso da una corrente di I = 50 A. Il disco ruota inizialmente attorno al proprio asse compiendo n giri/minuto. Al disco sono colle-gate due spazzole, una in contatto con il bordo esterno e l’altra sull’asse del disco chiuse su una resistenza R (resistenza totale del circuito chiuso, essendo la resistenza del disco trascurabile). Per effetto del momento frenante il disco viene rallentato. Determinare: a) la f.e.m. indotta inizialmente; b) la legge con cui varia la velocit`a angolare; c) la corrente circolante nel circuito dopo t1.
(dati del problema a = 15 cm, Ic = 2 · 10−3 kgm2, N = 2000, ` = 2 m, I = 50 A, n = 5000,
Soluzioni: Problema 1
a)
La carica di un tratto lungo ` `e pari a:
Q = ` Z R 0 ρo(a − r/R)2πrdr = 2π`ρo " ar2 2 − r3 3R #R 0 = 2π`R2ρo a 2 − 1 3
Quindi la carica per unit`a di lunghezza vale: λ = 2πR2ρo a 2 − 1 3 = 14.7 nC/m b)
Applicando il teorema di Gauss ad una cilindro gaussiano coassiale con la distribuzione e di altezza ` (consideriamo solo il flusso attraverso la superficie laterale per ragioni di simmetria):
2πr`Er = ` εo Z r 0 ρo(a − r0/R)2πr0dr0 Er = ρo εor Z r 0 (a − r0/R)r0dr0 = ρo εor " ar02 2 − r03 3R #r 0 = ρo εo ar 2 − r2 3R ! Er(r = R/2) = 3201 V /m c) La funzione: f (r) = ar 2 − r2 3R 0 ≤ r ≤ R `
e crescente per r R, mentre per r ≈ R `e decrescente. La sua derivata `e nulla per: rx =
3aR
4 = 6.75 cm Quindi il campo `e massimo a tale distanza dall’asse:
Emax= 3432 V /m d) Se a = 1.7 il valore di rx = 3aR 4 ≈ 13 cm `
e al di fuori della definizione di f (r), quindi la funzione f (r) `e monotona crescente all’interno e decrescente fuori, in questo caso il massimo del campo si ha sul bordo della distribuzione r = R e vale:
Emax = 11676 V /m
Problema 2 a)
Il generatore di sinistra equivale a un generatore equivalente di Thevenin: fth1 =
f1
R1+ R2
R2 = 4 V
Quindi essendo i due generatori eguali la carica iniziale `e inizialmente pari a. Q0 = Cf2 = 12 µC
Notiamo come il generatore di destra non fornisca nessuna corrente, avendo una f.e.m. eguale all’equivalente di Thevenin di sinistra .
b)
Quando viene aperto l’interruttore e trascorre un tempo molto lungo il circuito diventa una sola maglia con una corrente circolante, in senso orario, pari a:
Ic=
f1− f2
R1+ R3+ R4
= 0.5 A Quindi la tensione ai capi del condensatore vale:
VC = f2+ IcR4 = 8 V
Quindi la sua carica finale vale:
Qf = CVf = 24 µC
La resistenza equivalente del circuito ai capi del condensatore vale: Re=
R4(R1+ R3)
R − 1 + R − 3 + R4
= 4 Ω Quindi la costante di tempo vale:
τ = ReC = 12 µs
quindi se attendo un tempo molto maggiore di 12 µs `e trascorso un tempo molto lungo. c)
La tensione ai capi di R3 da 0 (apertura dell’interruttore) a IcR3 (t τ ) cio`e:
V3(t) = IcR3 1 − e−t/τ quindi: V3(t1) = 0.34 V d)
Prima dell’apertura dell’interruttore il generatore di sinistra `e l’unico che fornisce corrente pari a :
I0 =
f1
R1+ R2
Quindi la potenza iniziale `e pari a:
P0 = f1I0 =
f2 1
R1+ R2
= 16 W
Dopo l’apertura il generatore di sinistra `e quello che fornisce la corrente circolante che coincide con quella nella resistenza R3 (tale corrente in parte va a caricare il condensatore e in parte va
a caricare l’altro generatore che invece assorbe energia). Quindi la potenza istantanea fornita `
e:
P1 = f1Ic
Problema 3 a)
Il campo magnetico generato dal solenoide `e: B = µ0
N
` I = 0.063 T
L’area, triangolare, spazzata durante la rotazione di un angolo dθ `e: dA = a 2dθ 2 Quindi: f = BdA dt = B a2ω o 2 = 0.37 V Avendo definito ωo = 2πn/60 = 524 rad/s.
Notiamo allo stesso risultato si arrivava considerando, la forza di Lorentz che agisce su una carica del disco:
FL= q~v × ~B
Essendo v = ωor (con 0 ≤ r ≤ a distanza dal centro) perpendicolare a ~B si ha una forza per
unit`a di carica dovuta alla rotazione di diretta radialmente: Er = Bωor
quindi si ha una d.d.p. radiale pari:
dV = Bωordr Integrando: f = Z a 0 Bωordr = B a2ω o 2 b)
La corrente che istantaneamente scorre nel circuito vale: i(t) = Ba
2ω(t)
2R
Che determina una forza frenante su un elemento infinitesimo dr (lungo il raggio del disco) pari a:
dF = i(t)Bdr ortogonale a dr quindi un momento pari a:
dM = i(t)Brdr Quindi il momento frenante vale:
M = Z a 0 i(t)Brdr = B2a 2ω(t) 2R Z a 0 rdr = B 2a4 4R ω(t) Quindi la seconda equazione cardinale `e:
Ic
dω(t) dt = −
B2a4 4R ω(t)
Definendo: τ = Ic4R B2a4 = 400 s dω dt = − ω(t) τ Che integrata: ω(t) = ωoe−t/τ c)
Quindi la velocit`a angolare `e divenuta:
ω(t1) = ωoe−t1/τ = 318 rad/s
Quindi
i(t1) = B
a2ω(t1)
