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Disco rotante ??

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Academic year: 2021

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5.11. DISCO ROTANTE??

PROBLEMA 5.11

Disco rotante ??

Un disco di raggio r ruota in un piano orizzontale con velocità angolare costante ω. sul disco è praticata un scanalatura diametrale, in cui può scorrere senza attrito una pallina di massa m, legata al centro mediante una molla di lunghezza a riposo nulla e costante elastica k. Supponendo che sia k >2si determini il moto della pallina.

Inizialmente la pallina si trove ferma a distanza r/2 dal centro.

Soluzione

In un sistema inerziale il moto sarà la composizione del movimento lungo la scanalatura e dalla rotazione insieme al disco. Scrivendo la posizione della pallina in un sistema di coordinate polari abbiamo

~R=Rˆer

dove R è una funzione del tempo (da determinare), mentre sappiamo che ˆerruota con velocità angolare ω costante. Quindi abbiamo per la velocità

~v= ˙R ˆer+Rω ˆeθ

e per la accelerazione

~a= R¨2ˆer+2 ˙Rω ˆeθ

dove sono state usate le solite relazioni ˙ˆer = ˙θ ˆeθe ˙ˆeθ =−˙θ ˆer. Notare che non è necessario porre alcuna restrizione su R, che potrà assumere anche valori negativi.

Le due forze in gioco saranno quella di richiamo della molla, che potremo scrivere

~Fm =−kRˆer

e la reazione vincolare ˆN della guida, che sappiamo ortogonale alla stessa: ˆer· ~N = 0.

Le equazioni del moto sono quindi

m R¨ −2ˆer+2 ˙Rω ˆeθ

=−kRˆer+N .ˆ Proiettando nella direzione radiale abbiamo

m R¨ −2ˆer·ˆer+2 ˙Rω ˆeθ·ˆer

= −kRˆer·ˆer+Nˆ ·ˆer

cioè

m ¨R−2 =−kR ossia

m ¨R+ (k−2)R=0 .

La soluzione generali di questa equazione è una oscillazione armonica R(t) =A cosΩt+B sinΩt

107 versione del 22 marzo 2018

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5.11. DISCO ROTANTE??

con

Ω=

rk−2

m .

Imponendo le condizioni iniziali troviamo A= r/2 e B=0, quindi

~R(t) = r

2cosΩt ˆer

ossia, in coordinate Cartesiane,

x(t) = r

2cosΩt cos ωt y(t) = r

2cosΩt sin ωt

dove abbiamo supposto che la scanalatura sia inizialmente allineata all’asse x.

108 versione del 22 marzo 2018

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