Modellizzazione e controllo di un banco idraulico per la simulazione Real-Time Hardware-in-the-loop di attuatori per comandi primari di volo.

(1)

SOMMARIO

Questa tesi si inserisce nell’ambito delle attività, in corso presso il Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale (DIA), per lo sviluppo di un sistema di controllo

Fly-By-Wire (FBW) dei comandi primari di volo con attuazione idraulica.

Attualmente è presente un banco prova idraulico per la simulazione del Flight

Control System (FCS) capace di riprodurre le condizioni operative di volo

effettuando simulazioni Real-Time/Hardware-In-The-Loop.

L’obbiettivo di questa tesi è quello di studiare il comportamento dinamico dei vari componenti che costituiscono il banco idraulico, sviluppando per essi logiche di controllo finalizzate a riprodurre le condizioni operative di un tipico impianto idraulico di bordo ed i carichi aerodinamici, al fine di integrare nella simulazione

Real-time un attuatore velivolo, attualmente unico elemento Hardware-In-The-Loop,

che movimenta superfici di controllo primarie.

Nella prima parte del lavoro è stato sviluppato un modello lineare della dinamica del distributore idraulico che alimenta il banco per sviluppare una architettura di controllo in ciclo chiuso sulla pressione di mandata verso le camere dell’attuatore velivolo, in modo da riprodurre i valori di un impianto idraulico di bordo calcolati dal software di simulazione.

Nella seconda parte è stata studiata la dinamica del martinetto per la riproduzione dei carichi aerodinamici sull’attuatore velivolo, effettuando dei test di risposta in frequenza e delle simulazioni di manovre sia in configurazione “isolata” (sostituendo una barra d’acciaio al posto dell’attuatore velivolo), che in configurazione completa effettuando simulazioni di manovre Real-Time Hardware-In-The-Loop.

Tutti i modelli utilizzati sono stati sviluppati in ambiente Matlab-Simulink®.

(2)

INDICE

INTRODUZIONE... 1

PRIMA PARTE... 3

1 DINAMICA LINEARIZZATA DEL DISTRIBUTORE A TRE LINEE... 4

1.1 SIMBOLOGIA ... 4

1.2 ARCHITETTURA DEL BANCO IDRAULICO ... 6

1.3 MODELLO DELLA DINAMICA DEL DISTRIBUTORE... 10

1.4 LINEARIZZAZIONE DELLA DINAMICA DEL SISTEMA ... 16

1.4.1 Funzioni di trasferimento in ciclo aperto ... 27

1.4.2 Funzioni di trasferimento approssimate ... 28

1.4.3 Modello Matlab-Simulink del sistema ... 34

1.5 VALIDAZIONE SPERIMENTALE DEL MODELLO... 35

1.5.1 Dati sperimentali ... 35

1.5.2 Confronto tra dati sperimentali e risultati di simulazione ... 42

1.5.3 Non linearità del sistema ... 46

2 CONTROLLO DELLA PRESSIONE DI MANDATA NEL BANCO PROVA ATTUATORI... 51

2.1 CONTROLLO IN CICLO CHIUSO DELLA PRESSIONE... 51

2.1.1 Requisiti ... 52

2.1.2 Controllo in ciclo chiuso per la linea idraulica 1 ... 53

2.1.3 Controllo in ciclo chiuso per la linea idraulica 2 ... 60

2.2 DESCRIZIONE DELLA POSTAZIONE DI CONTROLLO DEL DISTRIBUTORE... 69

2.3 ATTIVITA’ SPERIMENTALI SUL BANCO PROVA ATTUATORI.... 72

2.3.1 Risultati delle prove sperimentali relative alla linea idraulica 1 ... 72

2.3.2 Risultati delle prove sperimentali relative alla linea idraulica 2 ... 77

(3)

2.3.3 Risultati dei test in frequenza per le due linee idrauliche ... 80

2.3.4 Simulazione di failure idrauliche... 84

2.3.5 Comando delle valvole mediante servoamplificatori ... 86

SECONDA PARTE... 89

3 ANALISI DELLA DINAMICA DEL MARTINETTO DI CARICO ... 90

3.1 MODELLO DELLA DINAMICA DEL SISTEMA ... 92

3.2 CARATTERIZZAZIONE SPERIMENTALE DELLA DINAMICA DEL MARTINETTO DI CARICO ... 96

3.2.1 Descrizione dell’interfaccia hardware-software ... 96

3.2.2 Prima configurazione di studio... 98

3.2.3 Risposta in frequenza del martinetto di carico ... 100

3.2.4 Risultati sperimentali ... 108

3.3 INTERAZIONE CON ATTUATORE VELIVOLO ... 115

3.3.1 Seconda configurazione di studio ... 115

3.3.2 Risposta in frequenza... 115

3.3.3 Rigidezza dell’attuatore velivolo ... 118

3.3.4 Confronto tra le due configurazioni di studio ... 122

4 SIMULAZIONE REAL-TIME HARDWARE-IN-THE-LOOP ... 124

4.1 MODELLO SIMULINK ... 124

4.2 PROVE DI SIMULAZIONE RT-HITL ... 126

4.2.1 Modello dei carichi aerodinamici... 126

4.2.2 Simulazione RT-HITL con movimento armonico dell’attuatore velivolo ... 131

4.2.3 Simulazione RT-HITL di una generica manovra ... 136

5 CONCLUSIONI E SVILUPPI FUTURI... 139

5.1 CONCLUSIONI ... 139

(4)

5.2 SVILUPPI FUTURI ... 141

BIBLIOGRAFIA... 142

APPENDICE A: MODELLI SIMULINK®... 144

A.1 MODELLI SIMULINK RELATIVI ALLA PRIMA PARTE... 144

A.2 MODELLI SIMULINK RELATIVI ALLA SECONDA PARTE ... 156

APPENDICE B: FILE MATLAB®... 166

B.1: FILE MATLAB RELATIVI ALLA PRIMA PARTE ... 166

B.2: FILE MATLAB RELATIVI ALLA SECONDA PARTE... 177

APPENDICE C: FUNZIONI DI TRASFERIMENTO IN CICLO APERTO DELLA DINAMICA DEL DISTRIBUTORE ... 184

APPENDICE D: CATALOGHI UTILIZZATI... 191

(5)

INTRODUZIONE

Il presente lavoro si inquadra all’interno delle attività del Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale (DIA) dell’Università degli Studi di Pisa, nell’ambito del progetto di ricerca denominato “Sviluppo di un sistema di controllo Fly-By-Wire (FBW) dei

comandi primari di volo con attuazione idraulica”, stipulato con la società Teleavio s.r.l..

Uno degli obiettivi principali del progetto è quello di realizzare presso i laboratori del DIA simulazioni “Real-Time Hardware-In-The-Loop” della dinamica dell’intero sistema dei comandi di volo di un moderno velivolo Fly-By-Wire.

Allo stato attuale di sviluppo il sistema di simulazione è composto da un attuatore velivolo servoidraulico tandem per una delle superfici di controllo primarie del velivolo Aermacchi M346 (unico elemento Hardware-In-The-Loop del sistema), un banco idraulico per la simulazione dei carichi aerodinamici e per l’alimentazione dell’attuatore velivolo, ed un Engineering Test System (ETS), costituito dalle unità di calcolo per la simulazione in tempo reale dei modelli della dinamica del volo e dei vari sottosistemi del Flight Control System (FCS) Fly-By-Wire.

La sezione ETS è costituita da una rete di PC con memoria condivisa sviluppata usando il toolbox xPCtarget di Matlab/Simulink [1, 2].

Per quanto riguarda il banco idraulico, esso è alimentato da una centrale idraulica che invia il fluido idraulico ad un distributore a tre linee, due delle quali per l’attuatore velivolo ed una per il martinetto di carico.

Su di ogni linea del distributore sono montate una servovalvola proporzionale regolatrice di portata ed una servovalvola proporzionale regolatrice di pressione. L’obiettivo della presente tesi è quello di permettere al banco idraulico di riprodurre, sia le condizioni operative di un tipico impianto idraulico di bordo che i carichi aerodinamici generati da una generica manovra, al fine di poter inglobare l’attuatore

(6)

velivolo, come elemento Hardware-In-The-Loop, durante la simulazione Real-Time dell’intero FCS.

Nella prima parte del presente lavoro è stata studiata la dinamica del distributore a tre linee, giungendo alla sintesi del controllo in ciclo chiuso sulla pressione delle due linee di mandata dell’attuatore velivolo in modo da poter riprodurre durante la simulazione RT/HITL i valori di pressione calcolati dal modello dell’impianto idraulico di bordo.

La sintesi del controllo sulla pressione è stata compiuta usando modelli linearizzati della dinamica del distributore e della tubazione di collegamento sviluppati in ambiente Matlab/Simulink.

Tali modelli sono infine stati convalidati mediante il confronto con i risultati sperimentali ottenuti dai test effettuati direttamente sull’hardware.

Nella seconda parte del lavoro è stata studiata la risposta dinamica del martinetto di carico per la simulazione dei carichi aerodinamici.

Essendo la dinamica del loop di controllo del carico influenzata dal moto dell’attuatore velivolo, la caratterizzazione sperimentale è stata prima effettuata sul martinetto di carico “isolato” (sostituendo all’attuatore velivolo una barra d’acciaio di adeguata rigidezza), poi sul sistema completo effettuando delle prove di simulazione Real-time Hardware-In-The-Loop.

(7)

PRIMA PARTE

(8)

1 DINAMICA LINEARIZZATA DEL

DISTRIBUTORE A TRE LINEE

1.1 SIMBOLOGIA

mspool Massa dello spool

X Posizione dello spool

X0 Posizione dello spool all’equilibrio

x Perturbazione della posizione dello spool

Kspool Rigidezza della molla di richiamo dello spool

cspool Smorzamento associato alla rigidezza Kspool

l0 Lunghezza iniziale della molla dello spool

Aspool Area delle superfici superiore ed inferiore dello spool

Pw Pressione agente sulla superficie superiore dello spool

Pw0 Pressione agente sulla superficie superiore dello spool

all’equilibrio

pw Perturbazione di pressione agente sulla superficie superiore

dello spool

Pa Pressione in uscita della servovalvola

Pa0 Pressione in uscita della servovalvola all’equilibrio

pa Perturbazione di pressione in uscita della servovalvola

Pz Pressione agente sullo spillo di regolazione elettrico

Pz0 Pressione agente sullo spillo di regolazione all’equilibrio

pz Perturbazione di pressione agente sullo spillo di regolazione

Pb Pressione in ingresso della servovalvola

(9)

Capitolo 1 Dinamica linearizzata del distributore a tre linee

Pb0 Pressione in ingresso della servovalvola all’equilibrio

pb Perturbazione di pressione in ingresso della servovalvola

PY Pressione di scarico della servovalvola

Qw Portata del flusso verso lo spool

Qw0 Portata del flusso verso lo spool all’equilibrio

qw Perturbazione di portata del flusso verso lo spool *

W

Q Portata del flusso verso la camera Z

Qc Portata del flusso di controllo

Qc0 Portata del flusso di controllo all’equilibrio

qc Perturbazione di portata del flusso di controllo

QY Portata verso lo scarico

QY0 Portata verso lo scarico all’equilibrio

qY Perturbazione di portata verso lo scarico

Qb Portata all’ingresso della servovalvola

Qb0 Portata in ingresso della servovalvola all’equilibrio

qb Perturbazione di portata all’ingresso della servovalvola

QA Portata in uscita dalla servovalvola

QAW Portata in uscita dalla servovalvola verso la camera Z

Qa_in Portata in ingresso alla tubazione

Qa_in0 Portata in ingresso alla tubazione all’equilibrio

qa_in Perturbazione di portata ingresso alla tubazione

Qa_out Portata in uscita dalla tubazione

Qa_out0 Portata in uscita dalla tubazione all’equilibrio

qa_out Perturbazione di portata uscita dalla tubazione

K1 Coefficiente di trafilamento della strozzatura 1

K2 Coefficiente di trafilamento della strozzatura 2

Kreq Coefficiente di trafilamento della strozzatura spillo

Kf Coefficiente di trafilamento della strozzatura spool

(10)

Cd Coefficiente di trafilamento adimensionale

ρ0 Densità dell’olio

Com Comando adimensionale impartito alla valvola luce

A Area della strozzatura superiore dello spool

0

luce

A Area della strozzatura superiore dello spool all’equilibrio luce

a Perturbazione di area della strozzatura superiore dello spool

Rmax Massimo raggio della strozzatura dello spool

α Angolo con cui il flusso attraversa la strozzatura dello spool

1.2 ARCHITETTURA DEL BANCO IDRAULICO

Presso i laboratori del DIA è disponibile un banco idraulico per l’effettuazione di simulazioni Real-Time Hardware-In-The-Loop di un moderno FCS/FBW [3].

Tale banco è alimentato da un’apposita centrale idraulica di potenza, direttamente collegata ad un distributore che ripartisce il fluido idraulico proveniente dalla centrale su tre linee, due delle quali alimentano l’attuatore velivolo ed una il martinetto di carico. Su di ognuna di queste linee è presente una servovalvola regolatrice di pressione, una servovalvola regolatrice di portata, un trasduttore di pressione ed uno di portata, come rappresentato nello schema di Fig. 1.1.

(11)

Capitolo 1 Dinamica linearizzata del distributore a tre linee 1 2 3 4 5 9 6 7 8 1 A cc u m u la to re di c o m p e n sa zi on e 2 V a lv o la r ego la tr ic e di po rt a ta p rop or z ion a le 3 T ra sdu tt or e di p o rt a ta 4 S e rv o v al v o la r e g o la tr ic e d i p re s si o n e 5 M a no m e tr o d i pr e ss ion e 6 T ra sdu tt or e d i p res si on e 7 R idu tt ri ce di p re ss io n e m a nu a le 8 D is tr ibut o re O N /O F F 9 F il tr o

Fig 1.1 Distributore a tre linee

(12)

Il martinetto di carico è necessario per la simulazione dei carichi aerodinamici agenti sull’attuatore velivolo e rilevati da un’apposita cella di carico. La Fig. 1.2 rappresenta il banco idraulico e tutti i suoi componenti.

Unità di Controllo del Banco Dowty Centrale Idraulica di Potenza Comandi per movimentazione attuatore (dall’ETS) Cella di carico

Comandi per variazione parametri idraulici (dall’ETS)

Comandi per simulazione dei carichi aerodinamici ed inerziali (dall’ETS)

Attuatore Velivolo (Hardware-in-the-loop)

210/350 bar 100 lt/min

Distributore a tre linee: • Tre sezioni indipendenti

• Regolazione separata di pressione e portata massima per ogni sezione Unità di Controllo della

Centrale Idraulica

Martinetto di carico

DDV

Banco Dowty

Fig. 1.2 Banco idraulico per simulazioni Real-time Hardware-in-the-loop

(13)

Durante la simulazione RT-HITL è necessario poter riprodurre la pressione sulle linee di mandata dell’attuatore velivolo, sulla base dei valori calcolati istante per istante da un modello della dinamica dell’impianto idraulico di bordo.

A tal fine, è necessario progettare un controllo in ciclo chiuso sulla pressione partendo da un modello linearizzato della dinamica del distributore.

Questo capitolo ha lo scopo di descrivere la metodologia utilizzata per ricavare le equazioni linearizzate che descrivono la dinamica del distributore.

(14)

1.3 MODELLO DELLA DINAMICA DEL DISTRIBUTORE

Le servovalvole regolatrici di pressione sono l’elemento fondamentale del distributore a tre linee del banco idraulico e ne è stata fornita una modellizzazione di dettaglio in lavori precedenti [4]

In Fig. 1.3 viene rappresentato lo spaccato della servovalvola. Tale figura mette in evidenza i tre componenti principali della servovalvola, ed inoltre mostra tutte le strozzature presenti che danno origine alle equazioni di trafilamento presenti nel modello matematico. Per ulteriori dettagli su tali equazioni si rimanda a [5].

(15)

[

Main Body Pilot valve (Manual) Solenoid vent valve

Spillo di massima pressione

Spillo di regolazione

Spool

Fig. 1.3 Servovalvola regolatrice di pressione

Per meglio comprendere il significato delle equazioni della dinamica si fa riferimento al modello della servovalvola rappresentato mediante la simbologia idraulica convenzionale, riportato in Fig. 1.4.

(16)

QB Q_C P_B PA Q_A P_Y Pz P’_z Q_A* QAW K_AW P_W K₂ Q_W* K₁ Q_W Q_Y P’_Z QC Q*W QY PY QW * _Q Y PZ QY QC QB QA PW QW

Fig. 1.4 Schema idraulico della servovalvola

Nelle comuni condizioni operative rispetto alle quali è stata effettuata la linearizzazione, la valvola di sicurezza posta all’interno dello spool rimane chiusa e non vi è quindi trafilamento di portata verso lo scarico.

(17)

Per quanto detto si ha e di conseguenza si hanno le seguenti uguaglianze di portata: 0 = AW Q (3.1) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = A A W W Q Q Q Q * *

Il modello dinamico non lineare della servovalvola, alla luce della relazione (3.1), viene espresso dal sistema (3.2)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ − = = − − = − − = − − = − − = = − = − = − = + + + α α α π ρ sin cos sin 2 2 sgn sgn sgn sgn max max 0 2 1 0 X R X R A A C K P P P P K Q P P P P K Q P P P P K Q P P P P K Q X A Q Q Q Q Q Q Q P P A l X K X c X m luce luce d f A B a b f A Y z Y z req Y w z w z w z b z b c spool w Y c w c b A a w spool spool spool spool (3.2)

I termini Rmax ed α rappresentano rispettivamente il massimo raggio della

strozzatura superiore dello spool e l’angolo con cui il flusso attraversa la stessa. Per ulteriori dettagli su tali parametri geometrici si veda [4].

(18)

Il coefficiente di trafilamento attraverso la strozzatura dello spillo di regolazione è funzione del comando impartito alla servovalvola, quindi:

(

Com

)

f K_req =

Per il calcolo delle condizioni di equilibrio rispetto alle quali va linearizzata la dinamica si fa uso del sistema (3.3) inserendo come valori in ingresso: la pressione iniziale di equilibrio all’utilizzatore , la pressione di mandata , la portata all’utilizzatore , ed avendo fissato la pressione di scarico bar.

eq a P _ Pb_eq eq a Q _{_} P_Y =1

I dati geometrici sono stati presi dal catalogo della DENISON riportato in Appendice D.

Dalle equazioni del sistema (3.3) vengono ricavati i seguenti valori d’equilibrio: , X Kf, Kreq, Aluce, Pz , Pw , Qy , Qw , Qc .

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ − = = − − = − − = − − = − − = = = − = − = + α α α π ρ sin cos sin 2 2 sgn sgn 0 sgn 0 max max 1 0 2 1 0 X R X R A A C K P P sign P P K Q P P P P K Q P P P P K P P P P K Q Q Q Q Q Q Q P P A l X K luce luce d f a b a b f A Y z Y z req Y w z w z z b z b c w Y c c b A a w spool spool (3.3) 14

(19)

Per completare il modello dinamico del distributore bisogna considerare anche la deformazione della tubazione in gomma che invia il flusso in uscita dalle servovalvole all’attuatore velivolo.

La deformabilità della tubazione viene modellizzata mediante l’equazione di bilancio della portata tra due sezioni del condotto:

(

)

. _ _ A tubo e out a in a P V Q Q − β = (3.4)

Con il seguente significato dei termini:

in a

Q _ Portata in ingresso alla tubazione

out a

Q _{_} Portata in uscita dalla tubazione

e

β Bulk modulus effettivo dell’olio

tubo

V Volume della tubazione

PA Pressione all’uscita della servovalvola

Alla luce dell’equazione (3.4), la del sistema (3.2) corrisponde alla , la diventa uno stato dinamico e la rappresenta un ingresso del sistema dinamico.

A Q Q_a_{_}_in P_a out a Q _{_} 15

(20)

1.4 LINEARIZZAZIONE DELLA DINAMICA DEL SISTEMA

Le equazioni che descrivono la dinamica della servovalvola presenti nel sistema (3.2) congiuntamente all’equazione (3.4) costituiscono un sistema di equazioni non lineari. Per poter effettuare un controllo in ciclo chiuso del sistema è stata linearizzata la dinamica del distributore secondo la metodologia riportata in testi quali [5, 6 ,7]. Nel presente lavoro viene indicata in maiuscolo la componente d’equilibrio ed in minuscolo la componente di perturbazione di ogni variabile di stato, come rappresentato nella tabella 1.1.

Nell’intraprendere tale metodologia di linearizzazione è stato utilizzato un valore del comando adimensionale, pari a zero quando lo spillino di regolazione della servovalvola è totalmente aperto e la pressione è tutta indirizzata allo scarico, e pari ad uno quando lo spillino di regolazione è totalmente chiuso. In questo modo il comando impartito alla servovalvola “Com” viene svincolato da ogni significato fisico e rappresenta semplicemente un valore numerico. Tale valore numerico, successivamente, verrà trasformato in voltaggio per comandare direttamente lo spillino di regolazione della servovalvola.

(21)

Componente d’equilibrio più perturbazione

Significato fisico

x X

X = ₀ + Spostamento dello spool

a a

a P p

P = ₀ + Pressione all’uscita della servovalvola

b b

b P p

P = 0 + Pressione in ingresso alla servovalvola

z z

z P p

P = ₀ + Pressione agente sullo spillo di regolazione

w w

w P p

P = ₀ + Pressione agente sulla superficie dello spool

luce luce

luce A a

A = ₀ + Area della strozzatura dello spool

in a in a in a Q q

Q _ = _ 0 + _ Portata del flusso in ingresso alla tubazione

out a out a out a Q q

Q _{_} = _{_} ₀ + _{_} Portata del flusso in uscita dalla tubazione

c c

c Q q

Q = + Portata del flusso di controllo

w w

w Q q

Q = 0 + Portata del flusso verso lo spool

b b

b Q q

Q = ₀ + Portata del flusso in ingresso alla servovalvola

Y Y

Y

Q

q

Q

=

₀

+

Portata del flusso verso lo scarico

Tabella 1.1 Simbologia utilizzata per la linearizzazione

(22)

La funzione viene ricavata costruendo una curva di best-fit relativamente ai dati ottenuti da [4]. Tale funzione viene rappresentata graficamente in Fig. 1.5 ed è descritta dalla seguente relazione:

(

Com f

K_req =

)

(3.5)

Fig. 1.5 Andamento del coefficiente di trafilamento dello spillo di regolazione K_req in 4 3 2 2 3 1 4

0 Com a Com a Com a Com a

a K_req = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Comando imprtito alla servovalvola

Coef fi c ient e d i t raf ila m ent o Kr eq [m m 3 /s e c /k P a 0. 5 ] dati sperimentali Best fit a0=2.9*104 [mm3/sec/kPa0.5] a1=-6.8*104 [mm3/sec/kPa0.5] a2=5.7*104 [mm3/sec/kPa0.5] a3=-2.3*104 [mm3/sec/kPa0.5] a4=4.6*103 [mm3/sec/kPa0.5]

funzione del comando adimensionale impartito alla servovalvola

(23)

Il modello della dinamica linearizzata è costituito dalle equazioni presenti nel sistema .6).

(3.6) (3

Dove, per non appesantire troppo la scrittura, si è posto:

( )

K Pz Py dCom req 0 d − ⋅ = γ (3.6.a) Py Pz K_req − ⋅ = 0 2 α sin 2⋅ ⋅ max⋅ = R

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

=

⋅

−

⋅

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⋅

+

⋅

−

=

⋅

+

⋅

=

−

⋅

=

−

⋅

=

−

=

−

⋅

=

+

. _ _ 0 0 0 0 0 0 _ 0 0 2 0 0 1 . _ . ..

2

a tubo e out a in a luce a b a b luce luce a b d in a z y w z w z w z b z b c spool w y c w in a c b a w spool spool spool spool

p

V

q

x

a

P

p

A

a

P

C

q

p

Com

q

p

P

K

q

p

P

K

q

x

A

q

p

A

x

K

x

c

x

β

δ

ρ

α

γ

⎧

_m

(3.6.b) α α π α −2⋅X0⋅ ⋅sin2 ⋅cos (3.6.c) π δ 19

(24)

Il sistema ricavato, come si può ben notare, è costituito da relazioni lineari in cui le

se di partenza per la

(3.7)

on il seguente significato dei simboli:

Vettore di stato

ressi

a

ward

li stati dinamici del sistema (3.6) sono costituiti dallo spostamento dello spool e

(3.8) variabili di stato sono espresse in termini di perturbazione. Le equazioni del sistema (3.6) costituiscono la ba

rappresentazione del sistema dinamico in variabili di stato, ovvero nella forma:

[ ]

{ }

[ ]

{ }

[ ]

{ }

[ ]

{ }

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

u

D

x

C

y

u

B

x

A

x

. C

{ }

x

{ }u Vettore degli ing

{ }

y Vettore delle uscite del sistem

[ ]

A Matrice dinamica

[ ]

B Matrice di ingresso

[ ]

C Matrice di uscita

[ ]

D Matrice di feed-for

G

dalla pressione all’utilizzatore, inoltre si assumono le seguenti uguaglianze:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = . 2 1 x x x x 20

(25)

la relazione (3.8) indica con x1 ed x2 rispettivamente, lo spostamento e la velocità

dello spool, di conseguenza il vettore che caratterizza gli stati dinamici sarà il seguente: ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = a p x x 2 1 x (3.9)

Come ingressi del sistema vengono scelti Com, pb e qa_out che rappresentano

rispettivamente: il comando impartito alla servovalvola, la pressione in ingresso nella servovalvola e la portata richiesta dall’utilizzatore. Il vettore degli ingressi è dunque rappresentato dall’espressione (3.10). ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = out a b q p Com _ u (3.10)

Le equazioni relative agli stati dinamici del sistema (3.6) sono due, e precisamente quella riguardante la dinamica dello spool e quella relativa alla deformabilità della tubazione. Tali equazioni vengono rappresentate nel sistema (3.11).

(

)

(

)

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

⋅

−

⋅

=

⋅

+

⋅

+

⋅

. _ _ 1 2 2 . a tubo e out a in a a w spool spool spool spool

p

V

q

p

A

x

K

x

c

x

m

β

(3.11)

Come si può ben notare dal sistema (3.11), l’equazione che descrive la dinamica dello spool è espressa in termini di spostamento e velocità in quanto sono state utilizzate le relazioni (3.8).

(26)

Per potere ricavare direttamente la matrice dinamica

[ ]

A dalle equazioni (3.11) bisogna esprimere le variabili che non rappresentano stati dinamici come funzione degli ingressi e degli stati dinamici stessi, ovvero:

( )

⎩

⎨

⎧

=

u

x,

u

x

f

p

f

q

w in a_

,

(3.12)

Per ricavare le relazioni (3.12) si fa uso della seguente relazione algebrica lineare:

[ ] [ ]

E ⋅i= K ⋅x+

[ ]

H ⋅u (3.13)

in cui il vettore i è definito come segue:

[

q

a_in

,

q

b

,

q

c

,

q

y

,

q

y

,

p

z

,

p

w

,

a

luce

]

=

i

Le matrici

[

E

]

,

[ ]

K e

[

della relazione (3.13) rappresentano i coefficienti che legano le variabili presenti nel vettore i con quelle presenti in x ed in secondo le

relazioni fornite dal sistema (3.6) come evidenziato di seguito.

]

H

u

(27)

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ − − − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − − − = 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1 a b d w z w z z b P P C P P K P P K P P K ρ α E

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ ⋅ − ⋅ = 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 a b luce d z b P P A C P P K ρ γ K

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ ⋅ − = 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 δ ρ _b _a luce d spool P P A C A H Ponendo inoltre :

[ ] [ ] [ ]

M = E−1⋅K (3.14.a)

[ ] [ ] [ ]

N = E−1⋅ H (3.14.b) 23

(28)

la relazione (3.13) assume la seguente forma:

[ ]

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⋅

+

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⋅

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

out a b a luce w z w y c b in a

q

p

Com

p

x

a

p

q

_ 2 1 _

N

M

(3.13.a)

Le relazioni (3.12) si determinano rispettivamente dalla 1° e dalla 7° riga delle matrici

[

M

]

ed

[ ]

N .

Lasciando indicati in maniera del tutto generica gli elementi delle matrici

[

M

]

ed

[ ]

N

il sistema (3.12) può essere riscritto nella seguente forma:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = a out a b w a out a b in a p x x q p Com p p x x q p Com q 3 , 7 2 2 , 7 1 1 , 7 _ 3 , 7 2 , 7 1 , 7 3 , 1 2 2 , 1 1 1 , 1 _ 3 , 1 2 , 1 1 , 1 _ M M M N N N M M M N N N (3.12.a)

Sostituendo nel sistema (3.11) le relazioni (3.12.a), e riordinando il tutto in modo da avere a primo membro solo le variabili dinamiche, si ottengono le seguenti espressioni:

(29)

(

)

(

)

( )

3.15 1 1 2 1 . _ 3 , 1 2 , 1 1 , 1 3 , 1 2 2 , 1 1 1 , 1 . _ 3 , 7 2 , 7 1 , 7 3 , 7 1 1 , 7 2 2 , 7 . 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ + ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ = x x q N V p N V Com N V p M V x M V x M V p q N m A p N m A Com N m A p M m A x m K M m A x m c M m A x out a tubo e b tubo e tubo e a tubo e tubo e tubo e a out a spool spool b spool spool spool spool a spool spool spool spool spool spool spool spool spool spool β β β β β β

Il sistema (3.15), permette di ricavare immediatamente la matrice dinamica

[

e la matrice degli ingressi che costituiscono la forma canonica nello spazio degli stati.

]

A

[ ]

B

[ ]

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ = 3 , 1 2 , 1 1 , 1 3 , 7 2 , 7 1 , 7 1 0 1 0 M V M V M V M m A m c M m A m K M m A tubo e tubo e tubo e s s s s s s s s s s β β β A 25

(30)

[ ]

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 1 0 0 0 3 , 1 2 , 1 1 , 1 3 , 7 2 , 7 1 , 7 N V N V N V N m A N m A N m A Tubo e tubo e tubo e s s s s s s β β β B

Come uscita del sistema viene scelta la pressione , che rappresenta la variabile che si vuole controllare in ciclo chiuso, inoltre, non essendo presenti derivate delle variabili d’ingresso, sarà nulla la matrice di feed-forward.

a

p

Alla luce di quanto esposto, il modello dinamico del distributore espresso in variabili di stato è rappresentato dal sistema (3.16).

[ ]

[

]

[

]

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⋅

+

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⋅

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⋅

+

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⋅

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

out a b a out a b a a

q

p

Com

p

x

q

p

Com

p

x

p

x

_ 2 1 _ 2 1 . 2 . 1 .

0

1

0

0 y

B

A

(3.16) 26

(31)

1.4.1 Funzioni di trasferimento in ciclo aperto

Il modello (3.16) rappresenta un sistema di equazioni differenziali nel dominio del tempo, tale sistema, mediante la trasformata di Laplace, viene ricondotto ad un sistema di equazioni algebriche nel dominio della variabile complessa “s”.

A questo punto, chiamando ∆ il determinante della matrice

[ ]

G = s

(

⋅

[ ] [ ]

I − A

)

, in cui rappresenta la matrice identica, ed utilizzando il metodo di Cramer [8], è possibile ricavare le tre funzioni di trasferimento relative ai tre ingressi del sistema.

[ ]

I

( )

(

)

∆ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ − ⋅ − = = 6 , 1 5 , 1 1 , 1 6 , 7 5 , 7 1 , 7 1 1 0 1 0 M V s M V M V M m A m c M m A s M m A Com p s G tubo e tubo e tubo e s s s s s s s s a β β β (3.17)

( )

(

)

∆ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ − = = 6 , 1 2 , 1 4 , 1 6 , 7 2 , 7 4 , 7 2 1 0 0 M V s M V M V M m A M m A m K M m A s p p s G tubo e tubo e tubo e s s s s s s s s b a β β β (3.18)

( )

(

)

∆ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ − − = = 1 0 1 3 , 1 5 , 1 4 , 1 3 , 7 5 , 7 4 , 7 _ 3 M V M V M V M m A m c M m A m K M m A s q p s G Tubo e tubo e tubo e s s s s s s s s s s out a a β β β (3.19) 27

(32)

Le tre funzioni di trasferimento (3.17), (3.18) e (3.19) permettono di ricavare la risposta del sistema in termini di perturbazione di pressione a seguito dei tre ingressi , e mediante la relazione (3.20).

a p Com pb qa_out

( )

b

( )

a out a G s Com G s p G s q p = 1 ⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ _ (3.20)

1.4.2 Funzioni di trasferimento approssimate

A questo punto possono essere esplicitate le relazioni (3.17), (3.18) e (3.19) per il calcolo di poli, zeri e guadagni del sistema. I poli che caratterizzano la dinamica della servovalvola si ricavano dal calcolo del determinante ∆ fornito dalla relazione (3.21).

(

)

(

2 2

)

2⋅ζ ⋅ω⋅ +ω + ⋅ + = ∆ s P s s (3.21)

Il sistema è caratterizzato dall’avere un polo reale ed una coppia di poli complessi coniugati. Tutti e tre i poli giacciono su LHP e sono caratterizzati dall’avere ordini di grandezza molto diversi fra loro. Infatti il polo reale è molto grande, dell’ordine di grandezza di circa 105 rad/sec, mentre i poli complessi coniugati sono dell’ordine di 101 rad/sec.

Le tre relazioni (3.22), (3.23), e (3.24) rappresentano la struttura delle tre funzioni di trasferimento del sistema in termini di zeri, poli e guadagni per una generica condizione operativa.

(33)

( ) ( )

(

2 2

)

1 1 2⋅ζ ⋅ω⋅ +ω + ⋅ + = s s P s K s G (3.22)

( )

₍

2

(

₎

₍

₂ _1

) (

_2 ₂

)

₎

2 2⋅ζ ⋅ω⋅ +ω + ⋅ + + ⋅ + ⋅ = s s P s Z s Z s K s G pb pb (3.23)

( )

3

₍

₎

₍

₂ _1 ₂_

₎

2 3 2 _ _ ω ω ζ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ = s s P s Z s Z s K s G out a out a q q (3.24)

La funzione di trasferimento G1

( )

s non presenta zeri al numeratore, mentre le

funzioni di trasferimento G₂

( )

s e G₃

( )

s presentano entrambe due zeri reali su LHP, posti a frequenze molto diverse tra loro.

Alla luce di tali considerazioni sugli ordini di grandezza di zeri e poli, è stato ritenuto opportuno studiare la dinamica del sistema mediante un’approssimazione di bassa frequenza inglobando i valori di zeri e poli di frequenze più alte nel guadagno.

Di seguito vengono riportate le approssimazioni delle tre funzioni di trasferimento, scritte precedentemente. Con tale approssimazione la dinamica della valvola è rappresentata da una coppia di poli complessi coniugati, riducendo così il sistema ad un secondo ordine.

( )

₍

₂ ₂

₎

_ 1 2⋅ζ ⋅ω⋅ +ω + = s s K s G Com LF (3.25)

( )

₍

₂

(

_2

)

₂

₎

_ 2 2⋅ζ ⋅ω⋅ +ω + + ⋅ = s s Z s K s G _LF pb pb (3.26) 29

(34)

( )

₍

₂ _2₂

₎

_ 3 2 _ _ ω ω ζ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ = s s Z s K s G out a out a q q LF (3.27)

I valori dei guadagni presenti nelle funzioni approssim

(3.27.a)

A titolo pio, nella tabella 1.2, vengono riportati i valori numerici di zeri, poli guadagni del sistema dinamico linearizzato rispetto ad una condizione operativa di ate sono esplicitati di seguito. (3.25.a) P Z K K P Z K K P K K out a out a b b q q p p Com 1 _ 3 1 _ 2 1 _ _ ⋅ = ⋅ = = (3.26.a) di esem e

riferimento per la linea uno.

Condizioni di equilibrio

Portata = 7.2 l/min Pressione = 173 bar

Poli del sistema

Autovalori [rad/sec] Smorzamento ζ Pulsazione ω (rad/sec) -2.17e+005 -2. 1i 2.17e+005 46e+001 ± 7.03e+00 1.00e+000 3.30e-001 7.44e+001

Zeri e guadagni delle fdt

Fdt Zeri Guadagno

Com

p_a Nessuno zero 2.7081e+013 kPa

b a p p -2.16e+005 -7.35e+002 6.8924 out a a q p _ -0.1953 kPa*sec/mm3 -4.22e+001 -2.17e+005

Tabella 1.2 Zeri, poli e guadagni per una determinata condizione di riferimento della linea 1

(35)

Nella tabella 1.3 vengono invece riportati i valori di zeri, poli e guadagni per la medesima condizione operativa do ttuato l’approssimazione e quindi

ec che rende i modelli instabili a meno di non usare passi

mbiente Matlab®, ed i relativi file sono riportati in po avere effe

riconducendo le tre funzioni di trasferimento alla forma riportata dalle relazioni (3.25), (3.26) e (3.27).

Con la approssimazione di bassa frequenza si evita la dinamica caratterizzata dal polo posto a 105 rad/s

d’integrazione molto piccoli, ma in questo modo aumenterebbero notevolmente i tempi macchina di elaborazione.

La procedura per il calcolo di zeri poli e guadagni delle funzioni di trasferimento in ciclo aperto è stata sviluppata in a

Appendice B.

Poli approssimati in bassa frequenza

Autovalori [rad/sec] Smorzamento ζ Pulsazione ω (rad/sec) -2.46e+001 ± 7.03e+001i 3.30e-001 7.44e+001

Zeri e guadagni approssimati in bassa frequenza

Fdt Zeri Guadagno

LF

G₁_{_} Nessuno zero 1.2484e+008 kPa

LF

G2_ -7.35e+002 6.8704

LF

G₃_{_} -4.22e+001 -0.1953 kPa*sec/mm3

Tabella 1.3 Zeri, p li e guadagni per u a condiz linea

1, con l’approssimazione di bassa frequenza

o na determinat ione di riferimento della

(36)

Lo schema del sistema dinamico descritto è illustrato in Fig. 1.6, in cui nel primo mo, è stato inserito un blocco attuatore posto in serie alla

ra G1

( )

s che rappresenta la

come

Fig. 1.6 Schematizzazione del sistema dinamico in esame

dinamica dello spillo di regolazione della servovalvola come descritto in [4]. Tale dinamica è caratterizzata da due poli complessi coniugati evidenziato nella tabella 1.4.

G (s)

₁

G

₂

(s)

G

₃

(s)

p_b q_{a_out} Com Dinamica dello spillo di regolazione + + + p_a 32

(37)

Poli della dinamica dello spillo di regolazione

Autovalori [rad/sec] Smorzamento ζ Pulsazione ω [rad/sec]

i

⋅ ±

−49 50 0.7 70

Tabella 1.4 Poli della dinamica dello spillo di regolazione

Il secondo ramo della Fig. 1.10 rappresenta l’ingresso dovuto alla perturbazione di pressione in ingresso alla servovalvola , mentre il terzo ramo della rappresenta l’ingresso relativo alla perturbazione di portata .

b p out a q _{_} 33

(38)

1.4.3 Modello Matlab-Simulink del sistema

In Fig. 1.7 viene riportato lo schema di TOP level del modello Simulink [9] utilizzato

per il calcolo delle risposte in ciclo aperto relative alla dinamica linearizzata della servovalvola.

Il modello è chiamato andamento_Pa_LF.mdl, e fornisce la risposta in termini di

perturbazione di pressione per le due linee idrauliche del distributore che alimentano l’attuatore velivolo.

a

p

Ulteriori dettagli sul modello Simulink rappresentato in Fig. 1.7 sono riportati in Appendice A.

Fig. 1.7 Modello Simulink per il calcolo della perturbazione di pressione pa

(39)

1.5 VALIDAZIONE SPERIMENTALE DEL MODELLO

1.5.1 Dati sperimentali

Nei paragrafi precedenti è stata esposta tutta la metodologia che ha portato alla definizione delle funzioni di trasferimento espresse dalle relazioni (3.25), (3.26) e (3.27) che permettono di ricavare le risposte in ciclo aperto in termini di perturbazione di pressione a seguito dei tre ingressi del sistema. Tali risposte vengono confrontate con i dati sperimentali derivanti dalle prove in ciclo aperto effettuate direttamente sul banco idraulico a seguito di comandi a gradino di voltaggio.

a

p

In particolare è stato misurato l’andamento della pressione per le due linee idrauliche che portano il flusso all’attuatore velivolo, relativamente a tre diversi valori della portata dovuti al moto dell’attuatore velivolo caratterizzato da un andamento tipo onda triangolare. 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 T e m p o [ s e c ] P re s s io n e [ b ar ] P o r t a t a 2 . 4 [ l / m in ] L in e a 1 L in e a 2

Fig. 1.8 Andamento della pressione per le due linee idrauliche

(40)

1 9 0 0 2 0 0 0 2 1 0 0 2 2 0 0 2 3 0 0 2 4 0 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 T e m p o [ s e c ] Pres s ion e [ b ar] P o rt a t a 4 . 8 [ l/ m in ] L ine a 1 L ine a 2

2 5 0 0 2 6 0 0 2 7 0 0 2 8 0 0 2 9 0 0 3 0 0 0 3 1 0 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 P o rt a t a 7 . 2 [ l/ m in ] T e m p o [ s e c ] Pres s io ne [ bar] L in e a 1 L in e a 2

(41)

Dall’analisi di tali figure si nota che inizialmente nelle due linee viene impartito il massimo valore del comando Com che produce il massimo valore della pressione di

mandata, successivamente vengono impartiti dei valori a gradino del comando Com

facendo prima diminuire il valore della pressione per poi riportarla, sempre gradualmente, al valore massimo. A questo punto, quando la pressione nella linea due si è assestata al valore massimo, la stessa storia di comando viene impartita alla linea uno.

Tale prova è stata effettuata per tre differenti valori della portata pari a 2.4, 4.8 e 7.2 l/min corrispondenti ad una velocità del moto dell’attuatore velivolo di 20, 40 e 60mm/sec.

I test sperimentali appena descritti sono stati utilizzati per convalidare il modello lineare della dinamica del distributore.

Al fine di riprodurre in simulazione le stesse condizioni operative che hanno caratterizzato le prove sull’hardware, sono stati ricostruiti gli andamenti temporali dei disturbi che intervengono come ingressi nel sistema.

L’ingresso di perturbazione di pressione pb è caratterizzato da un disturbo sinusoidale

causato dalla centrale idraulica di potenza che alimenta l’hardware. Quest’ultima infatti, dopo l’accensione, non riesce a stabilizzarsi ad un valore costante di pressione ma manifesta delle piccole oscillazioni caratterizzate da un’ampiezza di circa 1 bar ed una frequenza di circa 0,1 Hz.

Il terzo ramo della Fig. 1.7 rappresenta l’ingresso relativo alla perturbazione di portata causata dalle inversioni del moto dell’attuatore velivolo [4]. Quest’ultimo è caratterizzato da un andamento tipo onda triangolare in cui, durante gli istanti di inversione, la portata si porta istantaneamente al valore nullo per poi ritornare rapidamente al valore di equilibrio. Di conseguenza la perturbazione di portata sarà diversa da zero solamente durante gli istanti d’inversione.

out a q _{_} out a q _{_}

Inoltre, per tutte le velocità dell’attuatore velivolo per cui è stato testato il modello si nota che durante un generico istante d’inversione, il grafico dello spostamento

(42)

dell’attuatore velivolo presenta una pendenza maggiore rispetto a quella dell’onda triangolare che ne rappresenta il comandato, come è evidenziato dalla Fig. 1.11 per il caso di velocità a 60 mm/sec.

A causa di questa momentanea accelerazione del moto dell’attuatore subito dopo l’istante d’inversione, la portata, dopo essere andata a zero, non torna subito al valore di equilibrio ma si porta momentaneamente ad un valore maggiore, dipendente dall’entità dell’accelerazione, per poi riassestarsi al valore di equilibrio.

Nella Fig. 1.12 viene evidenziato l’andamento dell’ingresso di perturbazione di portata in corrispondenza di un generico istante d’inversione per il caso di velocità dell’attuatore velivolo pari a 60 mm/sec.

out a

q _

(43)

Capitolo 1 Dinamica linearizzata del distributore a tre linee 148 150 152 154 156 158 160 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 te m p o [se c ] x [m m ] A n d a m e n to n e l te m p o d e ll'a ttu a to re a 6 0 m m /s e c a n d a m e n to id e a le a n d a m e n to re a le 150.7 150.8 150.9 151 151.1 151.2 151.3 0 5 10 15 20 tempo [sec] x [mm] andamento ideale andamento reale x [mm] tempo [sec]

Fig. 1.11 Andamento del moto dell’attuatore per una velocità di 60 mm/sec

(44)

5 0 0 0 6 0 0 0 7 0 0 0 8 0 0 0 9 0 0 0 1 0 0 0 0 - 1 2 - 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 x 1 04 P e rtu rb a z io n e d i p o rta ta a 6 0 m m /s e c T e m p o [s e c ] qa -out [ k P a ] 4 10− ×

Fig. 1.12 Andamento dell’ingresso qa_out durante un generico istante d’inversione

Nella tabella 1.5 vengono riassunti i valori massimi e minimi della perturbazione di pressione dovuti all’inversione del moto dell’attuatore velivolo e gli intervalli temporali tra un’inversione e l’altra per ogni valore di portata per cui è stato analizzato il modello.

Portata [mm^3/sec] qa_out max [mm^3/sec] qa_out min [mm^3/sec] ∆T [sec]

40000 10000 -40000 2

80000 20000 -80000 1

120000 80000 -120000 0.6667

Tabella 1.5 Valori caratteristici dell’ingresso di portata qa_out

(45)

Le funzioni di trasferimento rappresentative della dinamica linearizzata del distributore sono state calcolate relativamente a condizioni di equilibrio iniziale analoghe a quelle dei test sperimentali effettuati sull’hardware.

In tabella 1.6 viene riportata la variazione dei poli in termini di pulsazione e smorzamento in funzione delle varie condizioni operative analizzate per la linea uno. In Appendice C vengono tabulati tutti i valori di zeri, poli e guadagni per ogni condizione operativa analizzata relativamente ad ognuna delle due linee idrauliche.

Portata [l/min] Pressione di equilibrio iniziale [bar] Smorzamento ζ Pulsazione ω [rad/sec] 115.5 0.164 80.4 174.5 0.314 72.2 179 0.41 80.7 2.4 188.5 0.654 48.9 119 0.169 79.9 180 0.54 104 183 0.475 72.7 4.8 189 0.934 59.7 119 0.173 80 173 0.33 74.4 183 0.485 70.9 7.2 187 0.656 57.6

Tabella 1.6 Variazione dei poli relativi alla dinamica della linea 1 per le varie condizioni operative esaminate.

(46)

1.5.2 Confronto tra dati sperimentali e risultati di simulazione

Le risposte in ciclo aperto calcolate con il modello Simulink di Fig. 1.6 sono state valutate linearizzando il modello dinamico rispetto a determinati valori d’equilibrio di pressione e di portata. Tali condizioni d’equilibrio sono state scelte riferendosi a vari punti operativi testati direttamente sull’hardware e riportati nelle Fig. 1.7, 1.8 e 1.9.

In questo modo si è potuto fare un confronto diretto tra la risposta del modello linearizzato e quella del modello reale. Per alcuni dei punti operativi analizzati vengono riportati i grafici delle risposte di pa a seguito di comandi a gradino.

In tali grafici l’andamento dovuto al modello linearizzato è sovrapposto all’andamento reale testato direttamente sull’hardware.

In particolare, la Fig.1.13 è composta da due finestre grafiche, nella prima è rappresentato il comportamento della linea uno quando viene dato un comando a gradino di piccole ampiezze pari a Com = 0.05 , sono presenti i disturbi di pressione

e di portata discussi precedentemente, ed il modello è stato linearizzato rispetto ad una portata di 7.2 l/min ed una pressione di 173 bar, mentre la seconda finestra grafica rappresenta l’errore, in termini di pressione, tra l’andamento reale ed il modello lineare.

Analogamente la fig. 1.14 mostra il confronto tra la risposta dell’hardware e quella del modello linearizzato della linea due prendendo come punto operativo di riferimento quello caratterizzato da una portata di 7.2 l/min ed una pressione di equilibrio iniziale di 170 bar.

Nelle tabelle 1.7 e 1.8 vengono riassunte le differenze tra modello linearizzato e comportamento reale nelle condizioni operative analizzate per ognuna delle due linee idrauliche.

(47)

Capitolo 1 Dinamica linearizzata del distributore a tre linee 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 x 104

Tempo [sec]

P

res

si

one [

k

Pa]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1000 -500 0 500 1000

Tempo [sec]

E

rro

re

[

k

P

a

]

Modello Linearizzato Comportamento reale Com=10/210 (step) Q=7.2 l/min LINEA 1

Fig. 1.13 Confronto delle risposte temporali di pressione tra andamento reale e modello linearizzato (Linea 1)

(48)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.6 1.7 1.8 1.9 x 104

tempo [sec]

Pr

ess

ione [

k

P

a

]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500

Tempo [sec]

E

rro

re

[k

P

a

]

Modello linearizzato Comportamento reale Com=10/210 (step) Q=7.2 l/min LINEA 2

Fig. 1.14 Confronto delle risposte temporali di pressione tra andamento reale e modello linearizzato (Linea 2)

(49)

Capitolo 1 Dinamica linearizzata del distributore a tre linee Portata [l/min] Pressione di equilibrio iniziale [bar] Com (step) Differenza di pressione a regime tra modello lineare

ed hardware [bar] Errore percentuale a regime tra modello lineare ed hardware 115.5 40/210 2 3.27% 174.5 10/210 7 350% 179 10/210 4 36% 2.4 188.5 10/210 1.5 18.75% 119 40/210 1.5 2.46% 180 10/210 0.5 12.5% 183 10/210 0.5 7.14% 4.8 189 10/210 1 16.67% 119 40/210 3 5.36% 173 10/210 1.5 13.63% 183 10/210 0.5 7.14% 7.2 187 10/210 0 0%

Tabella 1.7 Errore tra modello reale e modello linearizzato per le varie condizioni operative in cui è stata testata la linea 1

Portata [l/min] Pressione di equilibrio iniziale [bar] Com (step) Differenza di pressione a regime tra modello lineare ed

hardware [bar] Errore percentuale a regime tra modello lineare ed hardware 177 10/210 0 0% 2.4 _{186 10/210} ₀ _0% 171 10/210 2.5 27% 4.8 _{180 10/210} _2.5 _41.6% 170 10/210 2 22% 7.2 _{177 10/210} ₂ _28%

Tabella 1.8 Errore tra modello reale e modello linearizzato per le varie condizioni operative in cui è stata testata la linea 2

(50)

Nella tabella precedente l’errore percentuale a regime è stato calcolato con la seguente formula: ( ) 100 % ⋅ − = eq reale fin P P e errore (3.28)

Con il seguente significato dei simboli:

:

e Differenza di pressione a regime tra modello lineare ed hardware

:

) (reale

fin

P Pressione finale del sistema reale

: eq

P Pressione iniziale d’equilibrio

1.5.3 Non linearità del sistema

Dall’analisi dell’andamento reale della pressione nella linea due, registrato dai trasduttori presenti sull’hardware, si nota che in determinate condizioni operative si hanno delle oscillazioni non smorzate della pressione che producono un andamento fortemente non lineare, di conseguenza tale andamento non è riproducibile dal modello linearizzato della dinamica del distributore.

Queste oscillazioni, che si evidenziano soprattutto nei test con variazione elevata del comando, probabilmente sono dovute alla presenza di attriti elevati che non permettono allo spillino di regolazione di reagire velocemente nei confronti della variazione di pressione dovuta alle inversioni del moto dell’attuatore velivolo ed al sistema elettronico di alimentazione delle valvole che non ha le prestazioni adeguate, infatti, come si vedrà al capitolo seguente, è stato necessario sommare una vibrazione al comando elettrico impartito alle valvole.

Un esempio di queste oscillazioni non smorzate della pressione è riportato in Fig.1.15 relativamente alla portata di 7.2 l/min, evidenziando il comportamento nell’intorno di una pressione di 160 bar.

(51)

Capitolo 1 Dinamica linearizzata del distributore a tre linee 2730 2732 2734 2736 2738 2740 150 155 160 165 170 175 180 Tempo [sec] P res s ione [ bar ]

Velocità attuatore 60 [mm/sec]

Forti oscillazioni di pressione non smorzate 2500 2600 2700 2800 2900 3000 3100 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 Portata 7.2 [l/m in] Tem po [sec] Pr es s ione [ b ar ] Lin ea1 Lin ea 2

Fig. 1.15 Comportamento non lineare della linea 2

(52)

Al fine di realizzare il controllo in ciclo chiuso della pressione è necessaria la conoscenza delle funzioni di trasferimento che descrivono la dinamica oscillatoria rappresentata in Fig. 1.15. Per ricavare tali funzioni, non potendo sfruttare i risultati forniti dalla procedura di linearizzazione, è stato sviluppato un modello alternativo, caratterizzato da bassi valori dello smorzamento dei poli, e sono stati effettuati i confronti con l’andamento reale che hanno portato alla determinazione dei zeri, poli e guadagni riportati nella tabella 1.9, mentre nella Fig. 1.16 viene riportato il confronto grafico.

Poli

Autovalori [rad/sec] Smorzamento ζ Pulsazione ω [rad/sec]

i 74 66 . 0 ± − 0.009 74 Fdt Zeri Guadagni Com pa Nessuno zero 1.1*10 8 [kPa] b a p p -1410.6 2.0716 out a a q p _ -1.3543 -0.2349 [kPa*sec/mm3]

Tabella 1.9 Funzioni di trasferimento che approssimano l’andamento non lineare della linea 2 (portata 7.2 l/min, pressione iniziale 122 bar).

(53)

Fig. 1.16 Confronto delle risposte temporali tra modello simulato ed andamento reale non lineare 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9x 10 4 Tempo [sec] P res s ione [ k P a ] Andamento simulato Andamento reale 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 x 104 Tempo [sec] P res s ione [ k P a ] Portata 7.2 l/min Com 40/210 LINEA 2 49