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Concavità – trattazione non rigorosa
Una funzione derivabile in un punto x0 del suo dominio, si dice che:In x0 rivolge la concavità verso il basso (oppure ”è concava”) se esiste un intorno di x0 in cui l’ordinata della funzione è minore dell’ordinata della tangente.
In x0 rivolge la concavità verso l’alto (oppure ”è convessa”) se esiste un intorno di x0 in cui l’ordinata della funzione è maggiore dell’ordinata della tangente.
Come la continuità e la derivabilità, anche il verso della concavità è una proprietà puntuale: esso si estende ad un intervallo se è verificata in tutti i punti dell’intervallo.
Si può dimostrare che quando l’ascissa attraversa una regione in cui la funzione yf x( ) rivolge in basso la concavità, la derivata prima decresce. Vediamo come si può giungere in modo intuitivo a questa conclusione considerando i quattro valori delle ascisse x1 x2 x3 x4 in figura:
2 ( ) f x tangente in 2 y x 1 ( ) f x tangente in 1 y x 1 x x2 0 x 2 ( ) f x tangente in 2 y x 1 ( ) f x tangente in 1 y x 1 x x2 0 x 1 x x2 x3 x4 1 2 4 3
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Osservando i quattro angoli formati dalle rette tangenti nei punti in esame, si vede immediatamente che le loro tangenti goniometriche decrescono al crescere delle x , come appare evidente riportando 1,2,3,4 sulla circonferenza goniometrica. Vale cioè la relazione:
1 2 3 4 tan 1 tan 2 tan 3 tan 4
x x x x
E poiché la tangente goniometrica dell’angolo che la retta tangente forma con l’asse delle ascisse, è il coefficiente angolare di tale retta, e coincide con la derivata della funzione in quel punto, possiamo concludere che:
1 2 3 4 ( )1 ( )2 ( )3 ( )4
x x x x f x f x f x f x quindi in una regione in cui la funzione rivolge la concavità
verso il basso la sua derivata prima decresce al crescere della x . Ma se la funzione derivata prima, y f x( ), è decrescente, in quella regione la sua derivata f x( )D f x ( ) (detta derivata seconda) sarà negativa. In modo del tutto analogo si mostra che f x( ) in tutte quelle regioni ove ( )0 f x rivolge la concavità verso l’alto.
concavità verso il basso (funzione triste) f x( )0 [è triste perché f x( ) è negativa]
concavità verso l’alto (funzione felice) f x( )0 [è felice perché f x( ) è positiva]
Un punto x0 del dominio tale che non esiste alcun intorno con centro x0 nel quale il grafico della funzione ha ordinata sempre maggiore oppure sempre minore di quella del punto sulla retta tangente viene detto punto di flesso. In corrispondenza del flesso il grafico passa da trovarsi sotto a trovarsi sopra alla retta tangente, detta tangente inflessionale. La tangente inflessionale è la posizione limite di una retta secante che ha intersezione tripla con la funzione.
1 2 3 4 2 tan 1 tan 3 tan 4 tan 1 P 1 P F tangente inflessionale
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Con riferimento alla figura, la posizione del flesso F si ottiene come limite di quelle delle intersezioni P1 e
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P al tendere di P1 P2. Si dice anche che il flesso è un punto nel quale la funzione ha un contatto triplo con la propria tangente.
Se in corrispondenza del flesso il grafico passa da sotto a sopra alla tangente il flesso si dice ascendente, se passa da sopra a sotto si dice discendente. Come si vede dai grafici che seguono, entrambi i casi possono verificarsi con qualsiasi inclinazione della tangente inflessionale.
FLESSI ASCENDENTI: DA CONCAVA A CONVESSA
FLESSI DISCENDENTI: DA CONVESSA A CONCAVA
I flessi vengono classificati anche a seconda dell’inclinazione della tangente inflessionale (obliqua, verticale, orizzontale) .
I flessi a tangente orizzontale sono dei punti stazionari e si individuano studiando gli zeri della derivata prima.
I flessi a tangente verticale sono dei punti di non derivabilità, e si individuano negli estremi del dominio della derivata prima.
I flessi a tangente obliqua annullano la derivata seconda e possono essere individuati risolvendo l’equazione f x( ) . Si faccia tuttavia attenzione perché la condizione di annullamento della derivata 0 seconda è solo necessaria per la presenza di un flesso, ma non sufficiente. Possono cioè esistere dei punti in cui risulti f x( ) che però non sono dei flessi. Un esempio ne è la funzione 0 y x4 nel punto x 0 0, in cui la derivata seconda si annulla, pur trattandosi di un punto di minimo.
a tangente obliqua con f x( )0 0 a tangente orizzontale a tangente obliqua con f x( )0 0 a tangente verticale a tangente obliqua con f x( )0 0 a tangente orizzontale a tangente obliqua con f x( )0 0 a tangente verticale
