1.1 Piano tangente.

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Emanuele Fabbiani 6 maggio 2015

1 Superci.

1.1 Piano tangente.

Dopo aver discusso la regolarità delle seguenti superci, calcolare il piano tangente nel punto P . 1.

f (x, y) = xy P (1; 1; 1)

Si tratta di una supercie cartesiana, ovvero di una supercie che rappresenta il graco di una funzione.

Per passare alla forma parametrica è suciente imporre x = u, y = v e ricavare z = xy = uv. La supercie è quindi:

σ = (u; v; uv) (1.1)

La matrice jacobina è:





∂σ_x

∂u

∂σ_x

∂σ_y ∂v

∂u

∂σ_y

∂σ_z ∂v

∂u

∂σ_z

∂v



=





∂

∂u(u) _∂v^∂ (u)

∂

∂u(v) _∂v^∂ (v)

∂

∂u(uv) _∂v^∂ (uv)



=



 1 0 0 1 v u



 (1.2)

Le due colonne sono linearmente indipendenti, quindi la matrice ha rango massimo e la supercie è regolare.

Questa proprietà è in genere soddisfatta da tutte le superci cartesiane.

Si calcolano le coordinate (u0; v₀)del punto in cui determinare il piano tangente:

σ (u₀, v₀) = P (1.3)

(u0; v0; u0v0) = (1; 1; 1) (1.4)

Si ricava u0= 1 e v0= 1. Si applica la formula per calcolare il piano tangente:

x − x0 y − y0 z − z0

∂σ_x

∂u (u0, v0) ^∂σ_∂u^y(u0, v0) ^∂σ_∂u^z(u0, v0)

∂σ_x

∂v (u₀, v₀) ^∂σ_∂v^y(u₀, v₀) ^∂σ_∂v^z(u₀, v₀)      

= 0 (1.5)

x − 1 y − 1 z − 1

1 0 v

0 1 u

     _u=1,v=1

= 0 (1.6)

x − 1 y − 1 z − 1

1 0 1

0 1 1

= 0 (1.7)

Risolvendo il determinante della matrice si ottiene l'equazione cercata:

x − 1 y − 1 z − 1

1 0 1

0 1 1

= (x − 1)    

0 1 1 1    

− 1    

y − 1 z − 1

1 1

+ 0 (1.8)

= −x + 1 − (y − 1 − z + 1) = −x + 1 − y + z = 0 Il piano tangente è:

x + y − z − 1 = 0 (1.9)

2.

σ (u, v) = u²cos v; u; u²sin v
, v ∈ [−π; π] P (1; 1; 0) La matrice jacobina è:





∂σ_x

∂u

∂σ_x

∂σ_y ∂v

∂u

∂σ_y

∂σ_z ∂v

∂u

∂σ_z

∂v



=





∂

∂u u²cos v
_∂

∂v u²cos v

∂

∂u(u) _∂v^∂ (u)

∂

∂u u²sin v
_∂

∂v u²sin v



=





2u cos v −u²sin v

1 0

2u sin v u²cos v



 (1.10)

Per stabilire il rango della matrice al variare dei parametri si prende in considerazione un minore:

2u cos v −u²sin v

1 0

= u²sin v (1.11)

Per tutti i valori di u e v che non annullano il minore la matrice ha rango almeno pari alla dimensione del minore. Dal momento che il rango è limitato dal numero di colonne:

u 6= 0 ∧ v 6= kπ =⇒ r = 2 (1.12)

Per v = kπ: 



2u cos v −u²sin v

1 0

2u sin v u²cos v



=





±2u 0

1 0

0 ±u²



 (1.13)

Se u 6= 0 le colonne sono indipendenti ed il rango è 2. Per u = 0:





2u cos v −u²sin v

1 0

2u sin v u²cos v



=



 0 0 1 0 0 0



 (1.14)

Il vettore nullo è sempre dipendente, quindi r = 1. La curva è regolare quando la matrice jacobina ha rango massimo, quindi per u 6= 0. Si calcolano le coordinate (u0; v0)del punto in cui determinare il piano tangente:

σ (u0, v0) = P (1.15)

u²₀cos v0; u0; u²₀sin v0
= (1; 1; 0) (1.16)







u²₀cos v0= 1 u₀= 1 u²₀sin v0= 0

−→







cos v0= 1 u₀= 1 sin v0= 0

−→

(v₀= 0

u0= 1 (1.17)

Nel punto trovato la supercie è regolare. Si applica la formula per calcolare il piano tangente:

x − x0 y − y0 z − z0

∂σ_x

∂u (u0, v0) ^∂σ_∂u^y(u0, v0) ^∂σ_∂u^z(u0, v0)

∂σ_x

∂v (u₀, v₀) ^∂σ_∂v^y(u₀, v₀) ^∂σ_∂v^z(u₀, v₀)      

= 0 (1.18)

x − 1 y − 1 z − 0 2u cos v 1 2u sin v

−u²sin v 0 u²cos v      _u=1,v=0

= 0 (1.19)

x − 1 y − 1 z

2 1 0

0 0 1

= 0 (1.20)

Risolvendo il determinante della matrice si ottiene l'equazione cercata:

x − 1 y − 1 z

2 1 0

0 0 1

=    

x − 1 y − 1

2 1

= x − 1 − 2y + 2 = x − 2y + 1 = 0 (1.21)

3.

σ (u, v) = u + v; u − v; u²− 3v
, u ∈ [−1; 1] , v ∈ [−1; 1] P (0; 0; 0) La matrice jacobina è:





∂σ_x

∂u

∂σ_x

∂σ_y ∂v

∂u

∂σ_y

∂σ_z ∂v

∂u

∂σ_z

∂v



=





∂

∂u(u + v) _∂v^∂ (u + v)

∂

∂u(u − v) _∂v^∂ (u − v)

∂

∂u u²− 3v
∂

∂v u²− 3v



=





1 1

1 −1 2u −3



 (1.22)

Per stabilire il rango della matrice al variare dei parametri si prende in considerazione un minore:

1 1

1 −1    

= −2 (1.23)

Il minore è sempre diverso da zero, la matrice ha sempre rango 2 e la supercie è pertanto sempre regolare.

Si calcolano le coordinate (u0; v0)del punto in cui determinare il piano tangente:

σ (u0, v0) = P (1.24)

u0+ v0; u0− v0; u²₀− 3v0
= (0; 0; 0) (1.25) (v₀= 0

u0= 0 (1.26)

Si applica la formula per calcolare il piano tangente:

x − x0 y − y0 z − z0

∂σx

∂u (u0, v0) ^∂σ_∂u^y(u0, v0) ^∂σ_∂u^z(u0, v0)

∂σ_x

∂v (u0, v0) ^∂σ_∂v^y(u0, v0) ^∂σ_∂v^z(u0, v0)      

= 0 (1.27)

x − 0 y − 0 z − 0

1 1 2u

1 −1 −3

     _u=0,v=0

= 0 (1.28)

x y z

1 1 0

1 −1 −3

= 0 (1.29)

Risolvendo il determinante della matrice si ottiene l'equazione cercata:

x y z

1 1 0

1 −1 −3

= −1    

y z

−1 −3

+    

x z

1 −3    

= 3y − z − 3x − z = −3x + 3y − 2z = 0 (1.30)

4.

σ (u, v) = (v cos u; v sin u; u) , u ∈ R, v ∈ R P 1; 1;π

4



La matrice jacobina è:





∂σx

∂u

∂σx

∂σ_y ∂v

∂u

∂σ_y

∂σz ∂v

∂u

∂σz

∂v



=





∂

∂u(v cos u) _∂v^∂ (v cos u)

∂

∂u(v sin u) _∂v^∂ (v sin u)

∂

∂u(u) _∂v^∂ (u)



=





−v sin u cos u v cos u sin u

1 0



 (1.31)

Per stabilire il rango della matrice al variare dei parametri si prende in considerazione un minore:

v cos u sin u

1 0

= − sin u (1.32)

Il minore è diverso da zero per u 6= kπ. Per u = kπ:





−v sin u cos u v cos u sin u

1 0



=





0 ±1

±v 0

1 0



 (1.33)

Le colonne sono linearmente indipendenti, quindi, anche in questo caso, il rango della matrice è 2. La supercie è pertanto sempre regolare. Si calcolano le coordinate (u0; v0)del punto in cui determinare il piano tangente:

σ (u0, v0) = P (1.34)

(v0cos u0; v0sin u0; u0) = 1; 1;π

4

 (1.35)

(v0=√ 2

u₀=^π₄ (1.36)

Si applica la formula per calcolare il piano tangente:

x − x₀ y − y₀ z − z₀

∂σ_x

∂u (u₀, v₀) ^∂σ_∂u^y(u₀, v₀) ^∂σ_∂u^z(u₀, v₀)

∂σx

∂v (u0, v0) ^∂σ_∂v^y(u0, v0) ^∂σ_∂v^z(u0, v0)      

= 0 (1.37)

x − 1 y − 1 z −^π₄

−v sin u v cos u 1 cos u sin u 0

     _u=π

4,v=√ 2

= 0 (1.38)

x − 1 y − 1 z −^π₄

−1 1 1

√2 2

√2

2 0

= 0 (1.39)

Risolvendo il determinante della matrice si ottiene l'equazione cercata:

x − 1 y − 1 z −^π₄

−1_√ 1 1

2 2

√ 2

2 0

=

√2 2

y − 1 z −^π₄

1 1

−

√2 2

x − 1 z −^π₄

−1 1

=

√2 2



y − 1 − z + π 4

−

√2 2



x − 1 + z −π 4



= (1.40)

√2 2 y −

√2 2 z +

√2 2

π 4 −

√2 2 x −

√2 2 z +

√2 2

π 4 = 0 Il piano tangente è:

− x + y − 2z +π

2 = 0 (1.41)

1.2 Versore normale.

Calcolare il versore normale alle seguenti superci nel generico punto P (u, v).

1.

f (x, y) = xy

Per le superci cartesiane il versore normale può essere calcolato tramite la formula:

ˆ n =

−^{∂f (u,v)}_∂u ; −^{∂f (u,v)}_∂v ; 1 r

_{∂f (u,v)}

∂u

²

+_{∂f (u,v)}

∂v

² + 1

(1.42)

Applicando la formula al caso in esame si ricava:

f (u, v) = uv (1.43)

ˆ

n = (−v; −u; 1)

√

v²+ u²+ 1 (1.44)

2.

σ (u, v) = u²cos v; u; u²sin v
, v ∈ [−π; π]

La supercie non è cartesiana: la formula applicata nel caso precedente non è valida. Si segue quindi il seguente ragionamento: se i vettori ottenuti derivando la supercie sono in ogni punto ad essa tangenti,

il loro prodotto cartesiano, ortogonale ad ognuno dei due operandi, è normale alla supercie. I vettori tangenti sono:

∂σ

∂u = (2u cos v; 1; 2u sin v) (1.45)

∂σ

∂v = −u²sin v; 0; u²cos v
(1.46)

Il loro prodotto vettoriale è il determinante della matrice:

−

→n =       

ˆi ˆj ˆk

∂σ_x

∂u

∂σ_y

∂u

∂σ_z

∂u

∂σx

∂v

∂σ_y

∂v

∂σz

∂v

=      

ˆi ˆj kˆ 2u cos v 1 2u sin v

−u²sin v 0 u²cos v      

= ˆi    

1 2u sin v 0 u²cos v    

−ˆj    

2u cos v 2u sin v

−u²sin v u²cos v    

+ˆk    

1 2u sin v 0 u²cos v    

= (1.47)

= ˆi u²cos v
− ˆj 2u³cos²v + 2u³sin²v
+ ˆk u²cos²v
= u²cos v; −2u³; u²sin v
La norma di −→n è:

k−→n k =p

u⁴cos²v + 4u⁶+ u⁴sin⁴u = u²p

4u²+ 1 (1.48)

Il versore normale si ricava dividendo il vettore per la sua norma:

ˆ n =

−

→n

k−→n k = u²cos v; −2u³; u²sin v
u²√

4u²+ 1 =(cos v; −2u; sin v)

√4u²+ 1 (1.49)

3.

σ (u, v) = u + v; u − v; u²− 3v
, u ∈ [−1; 1] , v ∈ [−1; 1]

La supercie non è cartesiana. I vettori tangenti sono:

∂σ

∂u = (1; 1; 2u) (1.50)

∂σ

∂v = (1; −1; −3) (1.51)

Il loro prodotto vettoriale è il determinante della matrice:

−

→n =       

ˆi ˆj ˆk

∂σx

∂u

∂σ_y

∂u

∂σz

∂u

∂σ_x

∂v

∂σy

∂v

∂σ_z

∂v

=      

ˆi ˆj kˆ

1 1 2u

1 −1 −3

= ˆi    

1 2u

−1 −3

− ˆj    

1 2u 1 −3    

+ ˆk    

1 1

1 −1    

= (1.52)

= ˆi (−3 + 2u) − ˆj (−3 − 2u) + ˆk (−1 − 1) = (2u − 3; 2u + 3; −2) La norma di −→n è:

k−→n k = q

(2u − 3)²+ (2u + 3)²+ 4 =p

8u²+ 22 (1.53)

Il versore normale si ricava dividendo il vettore per la sua norma:

ˆ n =

−

→n

k−→n k = (2u − 3; −2u − 3; −2)

√8u²+ 22 (1.54)

4.

f (x, y) = sin x cos y

Per le superci cartesiane il versore normale può essere calcolato tramite la formula:

ˆ n =

−^{∂f (u,v)}_∂u ; −^{∂f (u,v)}_∂v ; 1 r

_{∂f (u,v)}

∂u

²

+_{∂f (u,v)}

∂v

² + 1

(1.55)

Applicando la formula al caso in esame si ricava:

f (u, v) = sin u cos v (1.56)

ˆ

n = (cos u cos v; − sin u sin v; 1)

pcos²u cos²v + sin²u sin²v + 1 (1.57)