dispensa 5 - vettori geometrici

1 CAP. 5 - TEORIA DEI VETTORI GEOMETRICI

&5.1 – Introduzione

L'introduzione dei vettori nasce dalla necessità che nelle scienze fisico - matematiche esistono grandezze che sono definite solo da un numero, eventualmente con segno, e grandezze che per essere definite occorre specificarne anche una direzione e un verso.

Le prime sono dette grandezze scalari: esempi sono la massa, la temperatura, la pressione, il lavoro di una forza ecc... ecc.

Le seconde sono dette grandezze vettoriali: esempi sono la velocità, l'accelerazione, la quantità di moto, il momento di una forza, il momento angolare, ecc...ecc.

Per poter operare con queste grandezze dobbiamo introdurre nuovi concetti e definire nuove operazioni.

Nel seguito, indicheremo con S2 il piano euclideo e con S3 lo spazio euclideo: per questioni che valgono sia in S2 che in S3, indicheremo lo spazio con Sn.

&5.2 - Vettori geometrici applicati

Cominciamo col porre la seguente definizione.

2 avente come primo estremo A e come secondo estremo B.

Il vettore applicato si indica con

AB

e sta ad indicare il segmento avente per estremi A e B, al quale è associato il verso di percorrenza che, nell’ordine, va da A a B.

Di conseguenza, i vettori AB e BA pur essendo rappresentati dagli stessi segmenti, sono vettori applicati diversi perché diverso è il loro punto di applicazione e diverso è il loro verso di percorrenza.

In particolare, se AB il vettore dicesi vettore nullo e si indica con O .

D’ora in poi indicheremo con Vn l’insieme di tutti i vettori applicati dello spazio Sn; in particolare, indicheremo con:

 V2 l’insieme dei vettori applicati del piano S2;  V3 l’insieme dei vettori applicati dello spazio S3.

Def.2.2 – v ABV_n, vO:

a) dicesi direzione di v la retta passante per i punti A e B, contenente v ; b) dicesi verso di v la semiretta di origine A e contenente l’estremo libero B del vettore v ;

c) _{dicesi modulo di v = AB e si indica con v o AB la misura del segmento}

non orientato AB (rispetto all’unità di misura u prescelta).

In definitiva, possiamo affermare che ogni vettore di Vn è completamente individuato quando si conoscono:

 il punto di applicazione,

3  la direzione,

 il verso.

Per convenzione, si assume che il vettore nullo abbia direzione e verso indeterminati.

Per il modulo vale la seguente proprietà:

Prop.2.1 – (a) vV_n : v 0; (b) v 0vO.

Def.2.3 - Ogni vettore di V avente modulo uguale a 1 dicesi versore di _n V . _n

Oss. Ogni vettore non nullo di V ha sempre due versori ad esso associati, uno n parallelo e concorde e l’altro parallelo e discorde: il versore di , avente lo stesso

verso, sarà indicato con vers( ).

Def.2.4 – Se AB,A'B'Vn, si dice che AB è parallelo a A' B' e si scrive

AB // A' B'

se AB e A' B' hanno la stessa direzione ovvero se le rette AB e A'B' sono parallele.

In particolare, i due vettori si dicono concordi se hanno lo stesso verso, discordi se hanno il verso opposto.

Per convenzione, si assume che il vettore nullo O dello spazio V sia parallelo _n ad ogni vettore v di V . _n

4 &5.3 - Vettori liberi (o ordinari) - Operazioni con i vettori liberi

Se indichiamo con Vn l'insieme di tutti i vettori applicati dello spazio, in tale insieme possiamo introdurre una relazione di equivalenza, detta relazione di equipollenza, come segue.

Def. 3.1 - Due vettori AB e A' B' di Vn si dicono equipollenti se hanno la stessa direzione, lo stesso verso e lo stesso modulo.

Si verifica facilmente che tale relazione è una relazione di equivalenza in Vn e ciò ha come conseguenza che ogni vettore applicato appartiene ad una ed una sola classe di equivalenza = equipollenza: tale condizione giustifica la seguente definizione.

Def. 3.2 - Dicesi vettore libero o vettore ordinario di Vn l'insieme formato da tutti i vettori fra loro paralleli, appartenenti alla stessa classe di equipollenza.

Di conseguenza, ogni vettore libero può essere rappresentato da uno qualunque degli elementi che appartengono alla stessa classe: il vettore scelto dicesi rappresentante del vettore libero.

Di più, se O è l’origine di un sistema di riferimento scelto in Sn, converremo di applicare tutti i vettori liberi di Vn in O: l'insieme di tali vettori applicati in O sarà indicato con Vn

O .

&5.4 – I sistemi di riferimento

Passiamo ora a introdurre la nozione di sistema di riferimento cartesiano ortogonale sia nel piano ordinario S2 sia nello spazio ordinario S3.

Poniamo la seguente definizione.

Def. 4.1 – Dicesi sistema di riferimento cartesiano ortogonale in S2 ogni insieme O ji in cui:

1. O è un punto di S2, detto origine del sistema di riferimento; 2. i è un versore applicato in O;

5 3. j è un secondo versore, pure applicato in O, tale che il versore i si sovrappone a j con una rotazione antioraria di

2



attorno ad O.

Nella figura seguente è riportato un esempio di sistema di riferimento cartesiano ortogonale secondo la precedente definizione:

 Le direzioni (le rette) dei versori i e j sono dette, rispettivamente, asse delle ascisse (o delle x) e asse delle ordinate (o delle y).

 I versi di i e j sono detti, rispettivamente, versi positivi dell'asse delle ascisse e dell'asse delle ordinate.

Indicheremo con Ux il punto dell’asse x avente distanza 1 da O (Ux è l’estremo del versore i ) e con Uy il punto dell’asse y avente distanza 1 da O (Uy è l’estremo del versore j ).

6 Il generico sistema di riferimento cartesiano ortogonale di S2 sarà indicato con RO i j .

Tutto ciò premesso, si dimostra facilmente che fra i punti P del piano S2, sul quale è stato fissato un arbitrario sistema di riferimento cartesiano RO i j , e le coppie ordinate (x,y) di numeri reali esiste una corrispondenza biunivoca, così che ogni punto P individua ed è individuato da una sola coppia (x,y) di numeri reali: la coppia di numeri reali associata a P in tale corrispondenza dicesi coppia di coordinate cartesiane del punto P e si scrive P(x,y).

In tale corrispondenza:

 x è la misura relativa del segmento orientato OPx, dove Px la proiezione ortogonale di P su x;

 y è la misura relativa del segmento orientato OPy, dove Py la proiezione ortogonale di P su y.

Utilizzando le coordinate dei punti di un piano cartesiano è possibile calcolare facilmente, in modo algebrico, la distanza di due punti ovvero la lunghezza di un segmento AB di estremi A e B e le coordinate del punto medio.

Sussiste la seguente proprietà.

Prop.4.1 - Se A(xA, yA) e se B(xB, yB) sono due punti del piano S2, sul quale è stato fissato un riferimento cartesiano ortogonale RO i j , allora:

1) 2 2

) (

)

(xA xB yA yB

7 In particolare, se O(0,0) è l’origine del sistema di riferimento e se P(x, y), la distanza di P da O è data da:

OP= 2 2

y x 

2) Se M è il punto medio del segmento AB, allora M ha coordinate date da:

) 2 , 2 (xA xB yA yB M  

Anche nello spazio ordinario S3 si può definire un sistema di riferimento cartesiano ortogonale RO i j k .

A tal fine, si pone la seguente definizione.

Def. 4.2 - Dicesi sistema di riferimento cartesiano ortogonale in S3 ogni insieme O i j k in cui:

1. O è un punto di S3, detto origine del sistema di riferimento; 2. i e j sono due versori applicati in O e ortogonali fra loro;

3. k è un terzo versore, pure applicato in O, ortogonale al piano contenente i e j e orientato in modo che la terna i , j , k sia una terna levogira nel senso che un osservatore, posto con i piedi in O con la testa orientata nel verso di

k , veda il versore i sovrapporsi al versore j in senso antiorario.

Esistono altre regole per definire il verso di k : regola della mano destra, regola della vite.

8 Le direzioni (le rette) di i , j , k sono dette rispettivamente asse delle ascisse (o delle x), asse delle ordinate (o delle y) e asse delle quote (o delle z).

Anche Il sistema di riferimento di S3 può essere definito a partire dagli assi e non dai versori e può essere indicato con Oxyz in luogo di O i j k .

Anche fra i punti di S3 e le terne ordinate di numeri reali esiste una corrispondenza biunivoca così che ogni punto P individua ed è individuato da una e una sola terna ordinata di numeri reali, che dicesi terna di coordinate cartesiane del punto P e si scrive

P(x,y,z).

In tale corrispondenza,:

 x è la misura relativa del segmento orientato OPx, dove Px la proiezione ortogonale di P su x;

 y è la misura relativa del segmento orientato OPy, dove Py la proiezione ortogonale di P su y;

 z è la misura relativa del segmento orientato OPz, essendo Pz la proiezione ortogonale di P su z.

Analogamente a quanto già detto per i segmenti del piano S2, la lunghezza di un segmento AB dello spazio S3, è data da:

9 2 2 2 ) ( ) ( ) (x_A x_B y_A y_B z_A z_B AB      

dove (xA,yA,zA) sono le coordinate di A e (xB,yB,zB) sono le coordinate di B nel riferimento prescelto RO i j k .

In particolare, la distanza di P(x,y,z) dall’origine O(0,0,0) del sistema di riferimento è data da:

OP = x2  y2 z2 .

Le coordinate del punto medio M del segmento di estremi A(xA,yA,zA) e B(xB,yB,zB) sono: ) 2 , 2 , 2 (xA xB yA yB zA zB M    .

&5.5 – Operazioni con i vettori ordinari o liberi

D’ora in poi ci limiteremo a considerare lo spazio ordinario S2, sul quale è fissato un riferimento cartesiano RO i j , e i vettori applicati in O di tale spazio: i risultati e le definizioni saranno del tutto analoghi per i vettori dello spazio S3.

Poiché ogni vettore applicato in O è univocamente determinato dal suo estremo libero P(xP, yP), d’ora in poi conveniamo di identificare il vettore OP con la matrice riga (xP yP) formata dalle coordinate di P scrivendo

OP = (xP yP).

La matrice (xP yP_{) dicesi matrice associata al vettore OP e le coordinate di P,} (xP,yP), prendono il nome di componenti cartesiane del vettore OP : è questo il collegamento fra i vettori geometrici e i vettori algebrici dello spazio vettoriale R2.

Operando con le componenti cartesiane dei vettori geometrici, si possono utilizzare tutte le operazioni e proprietà già viste con i vettori algebrici.

10 Si noti che nel piano S2:

 il versore ha componenti (1,0);  il versore ha componenti (0,1). Nello spazio S3:  il versore ha componenti (1,0,0);  il versore ha componenti (0,1,0);  il versore ha componenti (0,0,1).

Def.5.1 – (Somma di vettori) Se u e v sono due vettori di VO2 e se



ux uy



e



vx vy



sono le rispettive componenti, dicesi vettore somma di u e v il nuovo vettore indicato con u + v avente per componenti



ux vx uy vy



.

Questo metodo è detto metodo della somma per il tramite delle componenti cartesiane.

Un metodo geometrico alternativo per ottenere il vettore somma è fornito dalla regola del parallelogramma:

Considerato il parallelogramma avente un vertice in O e due lati coincidenti con i vettori applicati u e v , allora il vettore somma u + v è dato dalla diagonale del parallelogramma uscente da O, OC .

11 Def.5.2 – Se R e se v 2

O V

 è il vettore avente per componenti (vx vy) dicesi

prodotto scalare di  per v e si scrive

v 

il vettore avente per componenti



v_x v_y



. Il vettore v ha:

 la stessa direzione di v ;

 lo stesso verso di v se  è positivo, il verso opposto a quello di v se  è negativo;

 modulo proporzionale a quello di v secondo il coefficiente  , cioè v

v 

  .

In maniera del tutto analoga si definiscono le operazioni di somma di due vettori e di prodotto di uno scalare per un vettore in 3

O V .

Prop. 5.1 - Sussistono le seguenti proprietà:

(S1) v,wV_n(O):vwwv (prop. commutativa della somma)

(S2) u,v,wVn(O):u(vw)(uv)w (prop. associativa della somma)

(S3) 0V_n(O)'vV_n(O):0vv0v

(esistenza elemento neutro per +)

(S4) vV_n(O),v'v(v)vv0

(esistenza elemento opposto per +)

12 (P2) ₁,₂RvV_n(O):(₁ ₂)v₁v₂ v

(P3) Rv,wVn(O):(vw)vw

(P4) vVn(O):1vv

Le dimostrazioni di tali proprietà sono ovvie.

Pertanto, VO n

munito di due tali operazioni è uno spazio vettoriale di dimensione n.

Fondamentale è la seguente proposizione.

Prop. 5.2 – Fissato un sistema di riferimento cartesiano O kij nello spazio euclideo S3, si dimostra che

k v j v i v v R v v v O V v  x y z    x  v  z  3( ), , , ' .

Tale combinazione dicesi espressione cartesiana del vettore v : i coefficienti della combinazione si dicono componenti cartesiane del vettore v .

La dimostrazione è ovvia non appena si tiene conto che è una base di V3(O).

L’uso delle componenti cartesiane permette di eseguire le operazioni fra vettori trattando i vettori come polinomi lineari in i ,,j k.

Diamo un esempio.

Esempio 4.1 – Dati i vettori vi3jk e w2i jk, calcolare:

a) vw b) v2w

13 a) vw= (i3jk)+ (2i jk)i2j.

b) v2w = (i3jk)-2(2i jk)

=(i3jk)+ +(4i2j2k)5i5j3k.

Fondamentali sono le seguenti condizioni algebriche di parallelismo di due vettori e di complanarità di tre vettori geometrici.

Sussistono le seguenti proprietà.

Prop. 5.3 – Se v e w sono due vettori di V3

(O), con v0, si dimostra che

( v // w)(R'wv) ovvero se v e w sono L.D. Ûrang _1      z y x z y x w w w v v v

Prop. 5.4 – Se u , v , w sono tre vettori di V3(O), con v // w , si dimostra che

 

u ,,v w sono complanari  (,R'u vw)

cioè se i tre vettori sono L.D o, equivalentemente, se la matrice formata dalle componenti dei tre vettori ha rango 2 o, ancora, se il determinante formato dalle componenti è uguale a zero.

Infine sussiste la seguente ulteriore proprietà.

Prop. 5.5 - Se Oijk è un sistema di riferimento di S3 e se A(xA,yA,zA), B(xB,yB,zB), C(xC,yC,zC), D(xD,yD,zD) sono 4 punti di S3, si dimostra che:

1) A, B, C sono allineati se rang( _)            A C C A C A B A B A B z z yA y x x z z y y x x 1 

14 2) A, B, C, D sono complanari se rang( )                    A D A D A D A C A C A C A B A B A B z z y y x x z z y y x x z z y y x x 2  .

Questioni metriche dei vettori ordinari:

Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto, componente di un vettore lungo una direzione e proiezione di un vettore lungo una direzione

&5.6 – Prodotto scalare di due vettori Def. 6.1 – Dati i vettori geometrici di V3(O)

k v j v i v v _x  _y  _z e ww_xiw_y jw_zk,

dicesi prodotto scalare di v e w il numero reale

< v , w > = v ∙ w = vx∙wx +vy∙wy +vz∙wz

Prop. 6.1 – Sono immediate le seguenti proprietà del prodotto scalare:

a) vv v  v  vv

2

b) ii j jkk 1 c) ij ik  jk 0

Dalla definizione di prodotto scalare conseguono le seguenti proprietà. Prop. 6.2 – u,v,wV3(O)Rsi ha:

(PS1) v ∙ w = w ∙ v (prop. commutativa)

(PS2) u ∙ ( v + w ) = u ∙ v + u ∙ w (prop. distributiva rispetto alla somma)

(PS3) ( u ∙ v ) = ( _{u )∙ v}

15 (PS4) v ∙ v  0 (il prodotto scalare è definito positivo)

(PS5) v ∙ v = 0 v0

Il prodotto scalare permette di calcolare facilmente le componenti di un vettore rispetto agli assi del sistema di riferimento. Infatti, se vV3(O)risulta:

            k v v j v v i v v z y x , , ,

così che ogni vettore può così esprimersi:

k v j v i v v _x  _y  _z = v,ii+v,j j+v,k k. Def.6.2 – (Angolo di due vettori)

Se u e v sono due vettori di Vn(O), dicesi angolo dei due vettori u e v

i) l’angolo di vertice O, interno al triangolo formato da O e dagli estremi liberi u e v , se u // v ;

ii) l’angolo nullo se u e v sono paralleli e concordi;

iii) l’angolo piatto di misura π se u e v sono paralleli e discordi.

D’ora in poi indicheremo con  la misura in radianti dell’angolo

/\

v u .

Prop. 6.3 – Se u e v sono due vettori di Vn(O) e se  è l’angolo formato dai due vettori u e v , si dimostra che:

16

 

 cos    v u v u

Di conseguenza, l’angolo di due vettori è dato da:

       v u v u v u v u v u v u x x y y z z ) cos( arccos(    ) v u v u ) arccos( v u v u v u v u_{x x y y z z}    .

Il prodotto scalare permette di calcolare la componente di un vettore lungo una direzione, la proiezione ortogonale di un vettore lungo una direzione e la componente di un vettore perpendicolare ad una direzione.

Infatti, con riferimento alla figura seguente

indicato con _{l’angolo formato dai vettori u e v , si ha che:}

1) la componente di u su v è: v v u v v u u u uv v         // cos() cos() 2) la proiezione di u su v è il vettore

17 v v v u v v v v u v vers u uv _v         ( ) ₂ .

3) Si noti che poiché uV₃(O):uu// u┴, si ha che la componente perpendicolare al vettore v è data da:

u┴ = uuv.

Prop. 6.4 – (Condizione di perpendicolarità fra vettori non nulli)



u O V v u,  3( ) 0 :  ┴ v uv0

Dim. u,vV3(O)



0 :u ┴ cos( ) 0 cos( ) 0

2      



   u v uv 

v .

&5.7 – Prodotto vettoriale di due vettori Si pone la seguente definizione.

Def. 7.1 – Se vvxivy jvzk e wwxiwy jwzk sono due vettori di V3(O), dicesi prodotto vettoriale di v e w il vettore di V3(O) così definito

k w v w v j w v w v i w v w v w v ( _{y z}  _{z x}) ( _{x z}  _{z x}) ( _{x y}  _{y x})

equivalentemente, in modo più semplice facendo uso dei determinanti:

k w w v v j w w v v i w w v v w v z x y x z x z x z y z y    

o, ancora, in forma matriciale:

            z y x z y x w w w v v v k j i w v .

18



1,0,0



 i , j 



0,1,0



, k 



0,0,1



si ha: 1) ii  j jkk 0 2) i j k; jk i; ki j 3) jik; k j i; ik j

Proprietà del prodotto vettoriale sono espresse dalla seguente proposizione.

Prop. 7.1 - u,v,wVn(O) e R:

(PV1) vwwv (prop. anticommutativa)

(PV2)

 

uv wuwvw

(prop. distributiva a destra del prodotto vettoriale rispetto alla somma)

(PV3) w

 

uv wuwv

(prop. distributiva a sinistra del prodotto vettoriale rispetto alla somma)

(PV4) (vw)(v)w

Le dimostrazione di tali proprietà sono immediate.

Prop. 7.2 – Sussistono le seguenti proposizioni:

i. v,wV_n(O): v // wvw0

ii. v,wV_n(O)' v // w : vw è un vettore che ha:

a) direzione perpendicolare al piano che contiene i due vettori v e w b) verso tale che la terna ( v , w ,vw) sia levogira;

20 CAP. 5 - ESERCIZI SUI VETTORI

A) OPERAZIONI CON I VETTORI LIBERI

A1) Fissato un sistema di riferimento Oijk nello spazio S3, si considerino i vettori k j i v 3  e w2i jk. Calcolare vw e v2w. Soluzione  w v (i3jk) + (2i jk)i2j;   w v 2 (i3jk)- 2(2i jk)(i3jk)+(4i2j2k)5i5j3k.

A2) Dati i vettori u i3jk e v2i jk dello spazio vettoriale V3(O), calcolare: 1) uv 2) uv 3) l’angolo formato da u e v 4) la proiezione di u su v , u// 5) la componente di u perpendicolare a v , u ┴

6) verificare che il vettore wi2j dello spazio V3 è complanare con u e v . Soluzione 1) uvu_xv_x u_yv_y u_zv_z 1(2)3(1)(1)12316 2) i j k i j k k j i v u 2 5 1 2 3 1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 1 2 1 3 1                           

21 3)                ) 66 6 arccos( 66 6 1 1 4 1 9 1 6 ) cos(  v u v u ) ) 66 6 arccos(   4) u// = v



i j k



i j k v v u _{ }  _{     } 2 2 6 6 2 5) Poiché u// u┴ = uu┴ = uu// (i3jk)(2i jk)i2j 6) wi2j è complanare con u e v 0 1 1 2 1 3 1 0 2 1       : Verifica: 0 2 2 ) 2 1 ( 2 ) 1 3 ( 1 2 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 2 1 3 1 0 2 1                    

Dunque, w è complanare con u e v .

A3 – Verificare che i vettori di V3 (O): k j i v1 2 3  e v i j k 6 5 2 5 3 5 2   

sono paralleli ed esprimere v come multiplo di 1 v . 2

Soluzione

I due vettori sono paralleli se hR'v1 hv2 cioè se le coordinate dei due

22 2 1 2 1 2 1 2 1 // 5 6 6 5 1 5 6 2 5 3 5 6 3 5 2 v v v v v v v v z z y y x x                        e, inoltre, è 1 2 5 6 v v  .

A4 – Determinare λ e µ in modo che i due vettori di V3

(O), di coordinate rispettive (2,1,-3) e (1,λ,µ), risultino paralleli.

Soluzione

I due vettori sono paralleli se le coordinate sono proporzionali:

             2 3 2 1 3 1 2 1     . A5 – Dati i vettori di V2 (O), j i v1 2 3 , v2 i5j v3 3i j

determinare λ1, λ2 tali che sia v3 ₁v1₂v2.

Soluzione

Poiché V2 è uno spazio vettoriale di dimensione 2, i tre vettori sono sicuramente L.D. per cui esistono λ1, λ2 tali che v sia una combinazione di 3 v e 1 v : 2

calcoliamo λ1, λ2.

23                   7 11 7 16 5 3 1 2 3 2 1 2 1 2 1      

Osserviamo che

 

v1, v2 sono una base di V2 e che          7 11 7 16 2 1   sono le coordinate

di v nella nuova base 3

 

v1, v2 .

A5 – Verificare che i tre vettori di V3 (O):

k j i

v1 2 3  , v2 3i2j2k, v3 i5j3k

sono complanari e calcolare λ1, λ2 tali che sia v3 ₁v1₂v2.

Soluzione

I tre vettori sono complanari se

det 0 3 5 1 2 2 3 1 3 2 det               A Infatti: det A = (12 6 15) ( 2 20 27) 9 9 0 5 1 2 3 3 2 3 5 1 2 2 3 1 3 2                .

Dunque, i tre vettori sono complanari e quindi ₁,₂ R'v3 ₁v1 ₂v2.

24             2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 5 3 2 1      

Poiché la matrice dei coefficienti

            2 1 2 3 3 2

A ha rango 2, uguale al rango della

matrice completa              3 2 1 5 2 3 1 3 2 '

A il cui determinante del 3° ordine è nullo, il

sistema è determinato e ammette una sola soluzione data dal sistema:

        5 2 3 1 3 2 2 1 2 1    

Applicando Cramer, si ha:

                        1 13 13 2 3 3 2 5 3 1 2 1 13 13 2 3 3 2 2 5 3 1 2 1   Quindi: 2 1 2 2 1 1 3 v v v v v     .

A6 – Determinare il valore del parametro a in modo che il vettore v = (2,a,1-a) sia complanare con i due vettori v1 = (1,2,-1) e v2 = (3,1,5).

25 Determinare a in modo che v sia complanare con v1 e v2 equivale a determinare a in modo che v sia una combinazione lineare di v1 e v2, cioè che:

v = λ1 v1 + λ2 v2.

Da questa relazione vettoriale si ricavano tre relazioni scalari:

                           3 17 3 1 3 1 5 2 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 a a a        

Dunque, per a = 17/3 risulta v = 3v1 -

3 1

v2.

A7.1 – Esprimere il vettore v = (2,-1,1) come somma di un vettore v1 parallelo al vettore w1 = (0,1,1) e di un vettore v2 complanare con i vettori w2 = (1,2,0) e w3 = (2,0,1). Soluzione Poiché v1 // w1 v1 = λ1 w1 e poiché v2 è complanare con w2 e w3 v2 = λ2 w2 + λ3 w3 risulta v = v1 + v2 v = λ1 w1 + λ2 w2 + λ3 w3

26                              5 6 5 2 5 1 0 1 2 1 2 0 2 3 2 1 3 1 2 1 3 2         

Si ricava, allora, che:

 v1 = 1

5 1

w

 ; le sue coordinate sono: ) 5 1 , 5 1 , 0 (   ;  v2 = 2 3 5 6 5 2 w w 

 ; le sue coordinate sono: )

5 6 , 5 4 , 2 (  ;  .

A7.2 – Nello spazio vettoriale euclideo V2

(O), siano dati i vettori

v1 = 2 i + j e v2 = i + 3 j. Calcolare:

1. le componenti del versore di v1 e del versore di v2;

2. l’angolo dei due vettori v1 e v2.

Soluzione

a) Il modulo di v1 è: 22 12 5

1   

v .

Ne segue che il versore di v1 è:

u1 =  i j  i j v v 5 1 5 2 5 2 1 1 le componenti di u1 sono ) 5 1 , 5 2 ( . Analogamente, il modulo di v2 è: v2  12 32  10.

27 Ne segue che il versore di v2 è:

u2 =  i j  i j v v 10 3 10 1 10 3 2 2 le componenti di u2 sono ) 10 3 , 10 1 ( .

b) cos(v1/\v2)=cos(u1^u2)=u1∙u2= )

5 1 , 5 2 ( ∙ ) 10 3 , 10 1 ( = 50 3 50 2  =  2 2 v1/\v2 = 4  .

A8 – Nello spazio vettoriale V2

(O), è dato il vettore v = i – 2 j. Determinare:

a) i vettori di modulo 2 paralleli al vettore v;

b) le componenti del versore perpendicolare a v e formante un angolo acuto con il vettore u = 2i + 3j.

Soluzione

a) Il generico vettore w // v è w = h ∙ v = h(i - 2j) = hi – 2hj.

Le componenti di w sono (h, -2h).

Imponiamo che il modulo di w sia 2

5 2 4 5 2 4 2 2 2 _{     }  h h h h .

Dunque, i vettori richiesti sono 2 e hanno componenti:

, 5 4 , 5 2        _       5 4 , 5 2 .

b) Ricordiamo che w ┴ v w ∙ v = 0. Di conseguenza, supposto che w = (x,y), deve aversi:

(x,y)∙(1,-2) = 0 x2y 0

28 x2 + y2 = 1.

Risolvendo il sistema della due condizioni si ha:

                        5 1 5 2 1 5 2 1 0 2 2 2 2 y x y y x y x y x

Quindi, si hanno due soluzioni:

w1 = _      5 1 , 5 2 e w2 = _        5 1 , 5 2 .

Vediamo quale dei due vettori forma un angolo acuto con il vettore u.

Poiché _      5 1 , 5 2 ∙

 

   0 ₁  5 7 5 3 5 4 3 ,

2  w1^u è acuto e w1 è una

soluzione del problema.

Poiché _     _{ } 5 1 , 5 2 ∙

 

   0 2  5 7 5 3 5 4 3 ,

2  w2^u è ottuso e w2 non

è una soluzione del problema.

A9 – Nello spazio vettoriale euclideo V2

(O), sono dati i vettori

v1 = i + j e v2 = i – 2j

Calcolare:

a) La componente ortogonale di v1 su v2;

b) Le componenti del vettore w proiezione ortogonale di v1 su v2.

Soluzione

29 v1r = v1∙vers(v2) = v1∙ 5 1 5 2 1 4 1 ) 2 , 1 ( ) 1 , 1 ( 2 2         v v .

b) Il vettore w proiezione ortogonale di v1 su v2 è dato per definizione da:

w = v1r ∙ vers(v2) = ). 5 2 , 5 1 ( 5 2 5 1 5 2 5 1        i j i j

A10 – Dati i vettori v1 = i – j + k e v2 =-2i + k,

a) determinare le componenti del vettore w = v1 x v2;

b) verificare che w è perpendicolare a v1 e v2.

Soluzione

a) Il vettore w, prodotto vettoriale dei vettori v1 e v2, è dato da:

w = i j k i j k k j i 2 3 0 2 1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 1 0 2 1 1 1             . Le componenti di w sono (-1,-3,-2). b) w∙v1 = (-1,-3,-2)(1,-1,1) = -1 + 3 - 2 = 0w┴v1. Analogamente: w∙v2 = (-1,-3,-2)(-2,0,1) = 2 + 0 - 2 = 0w┴v2 .

A11 – Nello spazio vettoriale euclideo V3

(O), sono dati i vettori

= (-1,1,0) e v2 i2jk (1,2,1).

Determinare:

30 b) l’angolo dei due vettori v e 1 v ; 2

c) le componenti del vettore w proiezione ortogonale di v su 1 v . 2

Soluzione

a) Il modulo del vettore v è 1 v1  11 2.

Quindi, il versore di v è 1 j i v u 2 1 2 1 2 1 1    e le componenti sono:        ,0 2 1 , 2 1 .

Analogamente, Il modulo del vettore v è 2 v2  141 6.

Quindi, il versore di v è 2 k j i v u 6 1 6 2 6 1 6 2 2     e le componenti sono: _     _ 6 1 , 6 2 , 6 1 .

b) L’angolo dei due vettori v e 1 v è uguale all’angolo dei due versori di 2 v e 1 2 v ; quindi:    1 2 ) cos( u u      _ 0 , 2 1 , 2 1 ∙ _     _ 6 1 , 6 2 , 6 1 =  0 12 2 12 1 = 6 2 3 3 2 3 12 3 _{  }  .

31 c) La proiezione ortogonale w di v su 1 v è data dal prodotto della 2

componente ortogonale di v su 1 v per il versore di 2 v : 2

2 2 2 2 1 2 1 ( ) v v v v v vers v w r     . Poiché:  v1v2 (1,1,0)(1,2,1)123;  v2  141 6 si ha: . 2 1 2 1 ) 2 1 , 1 , 2 1 ( ) 1 , 2 , 1 ( 2 1 6 3 2 i j k v w       

A12 – Dati i vettori di V3

(O), v1 i jk e v2 2ik, calcolare le componenti

del vettore vv1v2, prodotto vettoriale di v e 1 v . 2

Soluzione

Considerata la matrice formata dalle componenti dei due vettori v e 1 v , 2

        1 0 2 1 1 1 , si ha: 1 1 0 1 1     i v (1 2) 3 1 2 1 1         j v 2 0 2 1 1      k v . Dunque: ) 2 , 3 , 1 ( 2 1     v v v .

32 A13 – Nello spazio V3

(O), sono dati i vettori

), 1 , 1 , 2 ( 1   v v2 (1,2,0), v3 (0,5,1).

Calcolare il prodotto vettoriale misto v1v2v3 e interpretare geometricamente il

risultato ottenuto.

Soluzione

Il prodotto misto è uguale al determinante le cui righe sono ordinatamente le componenti dei tre vettori v1, v2 e v3:

0 1 1 ) 1 0 0 ( ) 5 0 4 ( 5 0 2 1 1 2 1 5 0 0 2 1 1 1 2 1 5 0 0 2 1 1 1 2 3 2 1                     v v v .

Poiché il prodotto misto è nullo, i tre vettori sono complanari.

A14 – Determinare le coordinate dei vettori complanari sia con v1(1,0,1) e v2(2,1,2) sia con v3(1,2,-1) e v4(1,1,1).

Soluzione

Sia w(x,y,z) il vettore complanare sia con v1(1,0,1) e v2(2,1,2) sia con v3(1,2,-1) e v4(1,1,1).

Poiché w(x,y,z) è complanare con v1(1,0,1) e v2(2,1,2), risulta:

                  2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 ) 2 , 0 , 2 ( ) , , ( h h z h y h h x h h h h h z y x v h v h w  ). 2 , , 2 (h₁ h₂ h₂ h₁ h₂ w   

33 Ora imponiamo che w sia complanare con v3(1,2,-1) e v4(1,1,1)w, v3 e v4

siano L.D.              0 3( 2 ) 2 ( 2 ) 0 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 h h h h h h h h h h R h h h h h h h          3 1 6 2 2 2 1 2 2 0 2 0 1 .

Quindi i vettori complanari con (v1(1,0,1),v2(2,1,2)) e con (v3(1,2,-1), v4(1,1,1)) sono:

w = (h1,0,h1), h₁R.

A15 – Verificare che i tre vettori v1(2,1,1), v2(1,0,1) e v3(1,1,0) sono complanari. Stabilire, poi, se v(3,1,2) può esprimersi come loro combinazione lineare.

Soluzione

I tre vettori sono complanari se 0 0 1 1 1 0 1 1 1 2

 : ciò è certamente vero non appena

si osserva che la 1a riga è una combinazione lineare delle altre due righe.

Inoltre, poiché v(3,1,2) = v1(2,1,1) + v2(1,0,1), risulta:

v = h1v1 + h2v2 + h3v3

dove h1 = h2 = 1 e h3 = 0.

E’ lasciato al lettore di risolvere i seguenti esercizi:

A16 – Esprimere il vettore v(1,2,-2) come somma di tre vettori paralleli, rispettivamente, a v1(1,0,1), v2(0,2,1) e v3(1,1,0).

A17 – Stabilire se il vettore v(1,1,2) può esprimersi come somma di un vettore v1

parallelo al vettore w1(1,0,1) e di un vettore v2 complanare con w2(1,2,-1) e w3(0,1,1).