27 Il calcolo dei limiti - I limiti notevoli esponen..>

(1)

36

10. I Limiti notevoli esponenziali e logaritmici

Teorema

Dalla definizione del numero di Nepero sappiamo che: 1 lim 1 x x x e  _  _ _ _  _  _  

Si dimostra che se risulta

 0  lim ( ) x x x f x     allora:  0  ( ) 1 lim 1 ( ) f x x x x e f x    _  _ _ _  _  _   La forma indeterminata1

I limiti notevoli sopra enunciati si presentano nelle forma 1, che risulta essere indeterminata, infatti se riscritta opportunamente si riconduce alla già nota forma 0   . Poniamo che sia:

lim ( ) 1 xf x  e lim ( )xg x   risulta: ( ) lim ( )g x 1 x f x    tuttavia: ( ) ( ) ln ( ) ( ) ln ( ) 0

lim ( )g x lim f x g x lim g x f x

x f x x e x e e         Esempio 1 3 lim 1 1 x x x    _  _ _ _  _  _   Si riconduce al caso ( ) 1 lim 1 ( ) f x x f x e  _  _ _ _  _  _   , con ( ) 3 x

f x  che soddisfa il requisito richiesto lim ( ) xf x  : 3 3 3 3 1 1

lim 1 lim 1 lim 1

3 3 x x x x x x x x x e    _  _     _  _  _                              __ __ ___ _{ }_     Esempio 2 2 3 1 lim 1 3 5 x x x x     _{ }  _ _  _  _    

(2)

37 Riconduciamo al limite notevole sommando e sottraendo 5 al numeratore:

2 2 2

3 1 3 5 5 1 3 5 6

lim lim lim

3 5 3 5 3 5 3 5 x x x x x x x x x x x x x        _ _  _{  } _  _ _  _ _  _ _  _ _ _  _  _  _  _  _  _              2 2 6 1 lim 1 lim 1 3 5 3 5 6 x x x x x x      _  _  _  _  _      ___  _ __  __  _ __    _     Si riconduce al caso ( ) 1 lim 1 ( ) f x x f x e  _  _ _ _  _  _   , con 3 5 ( ) 6 x

f x   che soddisfa il requisito richiesto

lim ( )

xf x  . Moltiplichiamo e dividiamo l’esponente per il fattore necessario

3 5 6 x  : 6( 2) 3 5 6 3 5 3 5 ( 2) 6 3 5 6 6 2 3 1 1 lim 1 lim 1 3 5 3 5 6 6 x x x x x x x x x x e e                _ _ _ _  _  _  _ _ _ _           _  _  __  _ _        _ _ _ _  _  _          _  _   Esempio 3 2 2 2 2 5 lim 1 4 2 x x x x    _{ }  _            2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 4 4 5 2 4 1

lim lim lim

4 2 2 4 2 4 2 4 x x x x x x x x x x x x x     _ _  _{  } _  _ _  _  _  _            _  _  _                    2 2 2 2 2 2 1 (2 4) 2 4 2 4 1 2 4 ₂ 2 2 1 1 lim 1 lim 1 2 4 2 4 x x x x x x x _x x _x e e            _  _   _ _ _ _  __  __  ___  __ _      _   _   Teorema Si dimostra che:





1 0 lim 1 x x x e 0 ln(1 ) lim 1 x x x   _ 0 1 lim x 1 x e x   _

Si dimostra inoltre che se risulta

 0  lim ( ) 0 x x x f x    allora:  





0 1 ( ) lim 1 ( ) f x x x x f x e      0  ln 1 ( ) lim 1 ( ) x x x f x f x    _     _{ }  0  ( ) ₁ lim 1 ( ) f x x x x e f x    

(3)

38 Dimostrazione della sola prima parte:

- Il primo limite si presenta indeterminato:





1 0 lim 1 x 1 x x     . Poniamo y 1 x

 . Si ha che se x  allora y   . Pertanto: 0





1 0 1 lim 1 lim 1 y x x x y y e  _  _   _  __   

- Il secondo limite si presenta indeterminato:

0 ln(1 ) ln 1 0 lim 0 0 x x x     . Riscriviamo: 1 0 0 0 ln(1 ) 1

lim lim ln(1 ) lim ln(1 )x ln 1

x x x x x x e x x           

- Anche il terzo limite si presenta indeterminato:

0 0 1 1 1 1 0 lim 0 0 0 x x e e x   _  _  _ .

Poniamo yex  . Risulta che se 1 x  allora anche 0 ye0  . 1 0 Ricaviamo la x : 1 1 ln(1 ) x x ye   e  y  x  y Riscriviamo infine: 0 0 0 1 1 1

lim lim lim 1

ln(1 ) ln(1 ) 1 x x y y e y x y y y     _ _ _{ }  

Nel caso più generale si dimostra anche che: 0 1 lim ln x x a a x    Esempio 4 0 ln(1 5 ) 0 lim 3 0 x x x    0 0 ln(1 5 ) 5 lim lim 3 x x x x x     3 x ln(1 5 ) 5 5 3 x x    Esempio 5 2 1 ln 0 lim 0 1 x x x  _  2 1 1 1 ln[1 ( 1)] ln ln 1 1 1

lim lim lim 1

( 1)( 1) 1 ( 1) 2 2 1 x x x x x x x x x x x              _  _         

(4)

39 Esempio 6 2 2 0 lim ln ln 2 0 x x x   _ 













2 2 2 2 2 1 1 2 2 ₂ ₂

lim lim lim 2 lim 2 1 2

ln ln 2 _ln _ln _{ln 1} ₁ 2 2 2 x x x x x x x x x x x x                   _ _ _ _   Esempio 7 2 0 3 1 0 lim 0 5 x x_  x  _ 2 0 0 3 1 1 3 1 ln 3 lim lim 5 5 0 x x x_  x x_  x x         Esempio 8 2 0 1 0 lim 3 0 x x e x    _ 2 0 0 1 2 lim lim 3 x x x e x x       3 x 2 ₁ ₂ 2 3 x e x    Esempio 9 5 0 ln(1 4 ) 0 lim 0 1 x x x e     5 0 0 ln(1 4 ) 4 lim lim 1 x x x x x e      5 x 5 ln(1 4 ) 5 4 4 x 1 5 x x x e      Esempio 10 3 0 sin 4 0 lim 0 1 x x x e  _  3 0 0 sin 4 4 lim lim 1 x x x x x e  _   _{3 x} 3 sin 4 3 4 4 x 1 3 x x x e     Esempio 11 2 0 1 cos 2 0 lim 0 ( x 1) x x x e   _  2 2 2 0 0 1 cos 2 1 cos2 2 1 lim lim 2 2 1 1 2 ( x 1) 4 ( x 1) x x x x x x e x x e             